素数が無限にあるユニークな証明

[@kantaro1966]

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[@ポン吉ポン田]

多くの人が勘違いしてるけど前半の方法はユークリッド原論の証明方法じゃないですよｗ ユークリッドの方法は背理法じゃないです １．p1,p2,...pnを任意の素数の集合とする ２．N=p1*p2*...pn とする ３．N+1は素数か合成数 　　N+1が素数の場合：p1,p2,...pn以外の新たな素数となる 　　N+1が合成数の場合：N+1の約数となる素数が存在するがそれはp1,p2,...pn以外 ４．いずれにせよp1,p2,...pn以外の新しい素数が得られるので素数は無限にある

[@山﨑颯斗]

おはようございます いつも動画楽しんで観てます！

[@kantaro1966]

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[@express-channel]

おもしろー 本の宣伝として強すぎる

[@nrgoip-ytv]

後半の1からNまでの個数の話にやっぱり違和感があるのですが、 最初のNまでの数から2の倍数を除くと半分の1/2N個が残るのはわかります。 ここでPの一つ前の素数をQとするとき、この作業をQまで繰り返すと残るのは1とPだけになると思うのでそこからPの倍数を除くとさらに(P-1)/P残るというのが感覚的にわかりません

[@acchan3.14]

2×3の中に素数2コ 6×7の中に素数3コ 42×43の中に素数4コ 1806×1807の中に素数5コ以上 くりかえし… 連続する整数は互いに素だから新しい素数どんどん追加😊

[@mizukintv]

サイダックの方法ですね！

[@kosei-kshmt]

5個以上惜しい！5個なら素数の規則性が、と思ったのに残念。(爆笑)

[@HachiKaduki0501]

3,7,43は素数だけど1807=13×139で合成数だから、追加分もどんどん増えて行くんでしょうね。 きっと"ワシ"じゃなくて、貫太郎先生がよく使われる一人称の先生が絡む"あの数"でしょう…。 ５番目のアルファベットで表される…。 QuizKnock風に言うと、「「２番目の素数」番目の素数」番目のアルファベット…でいいのかな？

[@西本邦明-s2o]

僕も、前に読みました！　とても面白い本でした。

[@bearstrawberry9142]

勉強になります。自分ではなかなか読めそうにないので、解説を聞くのが楽しみです。今日もありがとうございました。

[@山川-w5s]

この話面白くて何回も観ちゃいます😂

[@セイル-x7i]

私も昔、ユークリッドの証明が、素数を無限に生み出す魔法のアルゴリズムだと思っていました。 実際、数の小さい範囲では、Nが素数になってしまうから勘違いを助長するんですよね。

[@mizukintv]

おはようございます。貫太郎先生いつも勉強になる動画をありがとうございます！ 私も素数が無限にあることの証明の式が素数生成機になるんじゃない？って思ったことがありました。が、飽くまで最大と仮定した素数までに約数が無いんですよね…

[@KT-tb7xm]

これは初耳ですねー🤔 最近，かなり本を読まれているようなので，そろそろ新ネタが来るかなとは思ってましたが 昨日のフェルマーの小定理の別の証明方法に続いての新ネタですね😄

[@kosei-kshmt]

論理を使う前の確認作業ですかね。前提条件を忘れては論理が意味を持たなくなると。(笑)

[@KT-tb7xm]

@@kosei-kshmt さん ご返信ありがとうございます。 まあ、数学の世界の前提やら何やら、分からなくなることが多々😅

[@vacuumcarexpo]

ヨシッ❗ 今日はお話を聞く回ですな。

[@shiki2483]

素数の話と宇宙の話は飽きることが無い。

[@uncle-monk]

複･素数 などと云う 甚だ厄介(?)な呼称まで在る

[@mips70831]

「数学の傑作を味わう」出版当初に面白そう！と思いつつもまだ読んでおりません。 改めて、Amazonでサンプルの目次とかを見るとますます読みたくなります。 でも、ここのところ色々本を買ったり、デスククリーナーが突然壊れたりして出費が･･･。 キャンペーン期間終了までまだ数十時間あるので、検討します。 本日も勉強になりました。ありがとうございました。

[@kiyagarundana]

私も、最初の証明が素数無限生成機になっていて「現在知られている最大の素数」というものがあるのは単に最初の掛け算がコンピューターでさえ大変になってくるからだろうと思いこんでいました。 ２つ目の証明についてはすみません。この手順に沿って数を取り除いていった後も、3個に1個が3の倍数、5個に1個が5の倍数になるという部分が本当にそうなのかいまいち納得いかないのです。

[@yamachanhangyo]

”素数が無限にあることの証明”は色々提案されていますが、『この形の式は必ず素数になる』という問題もなかなか面白いですね。 素数が数学の進歩の原動力の一つなのは数学好きの方ならご存知だと思いますが、”素数”って実は物理学にも結構絡んでいたり。 本当に面白いですね。

[@HachiKaduki0501]

私の微々たる財産が守られているのも、素数あらばこそ…

[@p-1math38]

前半の方法は知っていたけど、後半のエラトステネスのふるいを使う方法は知らなかったです。5の倍数が本当に5回に1回出てくるのか疑問に思ったけど、2の倍数、3の倍数を取り除くときに5回に1回5の倍数を取り除いているから、、と考えれば納得です💡

[@randomokeke]

素数は素敵だ

[@Bombcat14]

1〜Nまでの自然数から2の倍数を除いたものがN/2個なのは自明で良いと思いますが、これ以降の、2の倍数を除いたN/2個の数の中で3の倍数が3回に1回出現する、あるいは、2および3の倍数を除いた数の中で5の倍数が5回に1回出現する、(以下同様…)についての議論は自明でしょうか？

[@みふゆもあ]

自明。オイラーのトーシェント関数考えれば良いと思う。 それじゃわからない、という場合、次のように考えてみてはいかがでしょうか？ ２の倍数を全部消したあと、３の倍数を消すときに、それが残っている数の３分の１に本当になっているのか？ 6k, 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4, 6k+5 と表される数のうち、２の倍数として 6k, 6k+2, 6k+4 はすでに消えている。残ったものの中の３の倍数は 6k+3 のみ。つまり３分の１。 次、５の倍数消すとき。このときは 30L, 30L+1, 30L+2, ... 30L+29 と表される数のうち、２の倍数でも３の倍数でもなく残っているのは 30L+1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29 の10種。これらのうち５の倍数として消えるのは 30L+5, 30L+25 の２種。やっぱり５分の１。

[@so.6483]

​算数的に考えると、1~30までの数のうち5の倍数はその1/5、2の倍数、3の倍数、6の倍数のうち5の倍数はそれぞれの1/5、従って2の倍数でも3の倍数でもない数のうち5の倍数はその1/5ということですかね。。

[@ザカリテ]

>1〜Nまでの自然数から2の倍数を除いたものがN/2個なのは自明 １から５までの自然数の場合、違う気がします。 １から７の場合２の倍数を消すと １，３，５，７ ３の倍数を消すと １，５，７ 結果、int((int(7/2)+1)/3*2)+1 1*(1/2)*(2/3)にはならない数もある

[@randmax3821]

​@@ザカリテ Nは全素数（仮定）の積ですから7ってことはないです

[@user-Ib6gw4xi2m]

本来のユークリッドによる、素数が無数に存在することの証明は、背理法ではなく、直接証明だったそうですね。

[@山田敬三-z4i]

この動画の主題は後半の証明なのですが，前半の証明も面白いですよね． 前半の証明は，こんな感じでいいのかな．論理の力を使ってみました．具体的には「論理和の消去」です．wikipedia にもありますが，まとめると次の通りです． (論理和の消去) a) P または R である． b) P ならば Q である． c) R ならば Q である． この a), b), c) がそろえば，Q を結論してよい． これは，砕けた言い方をすると「P か R かのいずれかで，いずれの場合も Q が言える．ということは Q が成り立つ」という推論規則です． 次に事実確認です． (事実) d) 2 以上の整数は素数か合成数かのいずれかである． e) 合成数は 2 つ以上の素数の積で表すことができる． f) 「矛盾する」も命題のひとつである． ここで，事実 e) は「素因数分解ができる」ことを確認していて，その一意性までは言及していません． では，証明にかかりましょう． (証明) 素数は有限個であるとする．このとき最大の素数が存在するので，これを p とする． すべての素数 (2～p) の積に 1 を加えた数を N とする． a') N は整数なので，素数か合成数かのいずれかである． b') N が素数のとき，p < N なので，p が最大の素数であることに矛盾する． c') N が合成数のとき，N はすべての素数 (2～p) のうち，いずれでも割り切れないので，事実 e) と矛盾する． ここで，論理和の消去を使うと矛盾が導ける．これは，素数が有限個であるとしたために起こった矛盾なので，素数は有限個ではない．■ おまけ： 「素数が有限個の世界」では，先ほど見た通り矛盾が導けます． 矛盾からは任意の命題が導かれるので， 素数が有限個の世界では，「N は素数である」，「N は合成数である」，「N は素数でも合成数でもない」，「N は素数であり，かつ合成数である」いずれも(同時に)成り立ちます．(これらの命題が真かどうかは知りませんが，導くことができます)

[@nightstay738]

エラトステネスの篩

[@石川洋臣]

買っちゃったイチゴ大福２割引き 　これも、図書館でリクエストしてみます。何度も読まないと、わからないので。ただ、買っていただけるかどうか。日経サイエンスすら、ダメなので。 　スーパーで。それでも百円以上でした。

[@紅茶花伝-l7j]

当初、本気でわからなかったです。 後半の方法は、別にpを最大の素数と置かなくても同じことでは？と思いました。 自己解決しました。 1〜Nの数字たちをpまでの素数の倍数を順次消したとしても、 Pが最大の素数でないなら、「1以外全て消える」わけではない、ということですね。 pを最大の素数としているから、「1以外は消える」すなわち、個数は1個になる でも2×4…×(p-1)個あるはずで…と矛盾が生じるのですね。 当初わかりませんでした。

[@study_math]

以前数をごちゃごちゃいじってるときに、2^2^n-1 にはn種類の素数が含まれることに気づきました。 あとはnを∞に飛ばせばいいだけの話。 フェルマー数同士が互いに素だということと、ファルマー数1つに対して最低でも素因数を1つ含むことから示せます。

[@Flont136]

Nは認知できていないから素数はちょっと...。 ただ単に結果の数「2*3*・・・*Pn+1」はPnより小さい素因数を持たないがわかるだけです。 結果の数はPn+1から結果の数（結果の数含む）の間のいづれかの素因数を持つはずなので、 有限個以外の素数が見つかるでいいんではないかと思う。

[@77south1]

前半の証明で、ちょっと理解が・・・？ Nが素数なら、P以上の素数が存在して矛盾 Nが合成数なら、素因数としてP以上の素数をもつことになるので矛盾 こういうことだと思っていました

[@_safari4476]

よくあるミスのようです(パスラボさんのほうでもありました) そもそも仮定により最大の素数が定められており、その総積+1がNですから 合成数である可能性は排除される、されなくてはならないのです(あくまで仮定のもとで矛盾を示す必要があるため)

[@山田敬三-z4i]

p 以上の素数に言及するのはまずいですが，大体そんな感じだと思いますよ．

[@so.6483]

何かだまされたような、面白い考え方ですね。 ここで出てくる (p-1)/p は逆数をとると1/(1-1/p)、これの総積は自然数の逆数の和(無限大)になる形ですね。 （…で何か言えるかと思ったが、何も言えない）

[@soulman2357]

サイダックの証明がいいと思う。

[@_safari4476]

5年前の動画の訂正の訂正みたいな回ですね 最大の素数が13という仮定のもとには30031は素数ですからね 「素数」そのものの定義と、背理法の中で提示した「仮定の素数」には差があるということで

[@donkeysong]

最大の素数が13という仮定なら30031は13以下の素数で割り切れるべきだが、割り切れないので矛盾。というのが正しくて、30031は素数というのは正しくないのでは？（素数だったら13が最大じゃなくなる）

[@_safari4476]

@@donkeysong 最大の素数が13であるという仮定がある以上は、30031(13までのすべての素数の積+1)は素数であるということになります 仮定のもとには30031の約数は1と30031のほかに存在しないことになりますよね 矛盾の指摘として、30031を合成数だと指摘するにしても「30031は59で割れるので合成数であるが、素因数分解の一意性よりすべての素数(2～13)で割りきれないことから矛盾」となりますが、これはかなり違和感がありますね 13が最大の素数である仮定から、実際には59で割れることを示すところにはかなりの論理の差があります 30031だからみな理解していますが、巨大な数においてこれを担保できる人類はおそらくいませんし、今回は一例を示したことで巨大な例に結びつくものでもありません そもそも「13よりも大きい未知の素数が存在する」ことを示すのが目的ですから、仮定に則ったうえで矛盾が指摘できるべきなのです 30031が素数であると断言しても仮定は矛盾するので 背理法においても「仮定的な素数」に該当するものとして証明されるわけです

[@kosei-kshmt]

​​@@_safari4476 さん 最大の素数までの素数が総て見つかっているとしても、それらの積に1を加えた数が素数になる保障がないのは、見つかっている最大の素数とこの計算で出した数との間に素数が存在するからでしょうが、見つかった素数の次の素数が見つけられないようでは私はスッキリしません。無茶を言ってすいません。 m(_ _)m

[@_safari4476]

@@kosei-kshmt 「見つかっている最大の素数」←違います。仮定で「最大の素数」とした以上は、この仮定において上回る素数はありません

[@kosei-kshmt]

@@_safari4476 さん だとすると30031は素数でないにも関わらず発見されるまで素数になると？仮定が間違っているとの結論ではダメですか？必要条件でしかないからだ、と私には思えるのですが。

[@みふゆもあ]

今日はパイの日、赤木春恵さんの誕生日でもあります。

[@みふゆもあ]

難しいな〜。無限を扱った証明で腑に落ちたものない。ミソ腐ってんのかも🧠 サイダックの証明方法はわかりやすかったけど。 未知と既知。 罪と罰。 加害者の僕から被害者の君へ。

[@kosei-kshmt]

被害者の私から加害者の貴女へ。 『カラマーゾフの兄弟』の大審問官。(笑)

[@Golgo1.3]

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