@@chaosbattlelover数単位 i の「-1の平方根」って性質を持つ数を、i 以外に二つ程追加した数の事で、それぞれ j,k と置かれる。 四元数は複素数平面を元にして考えると発送が分かり易くて、端的に言うと四次元空間に数が目一杯詰め込まれてるイメージ。 実数をx軸上、純虚数を y軸上の点だとすると、j,k を実数倍した数はそれぞれ z,w軸 (又は w,z軸) 上の点となる。 経緯としては、ベクトルが存在しなかった時代、虚数が持つ"回転"の作用を三次元空間でも使いたいという強欲に基づいて、複素数は三元数として拡張される予定やった。 そうなると、実数、純虚数、j の実数倍数、これら三つの和だけで色々な関数の拡張を行って行く事になるんやけど、何とそれが四則演算の段階で頓挫してまうんよな。 理由は明確、i × j の積が定義出来ひんねや。(商も同様) せやから、i × j の積と成る数を k と置き、複素数の直系なる拡張された数は四元数となったんや。 然し此処で、実数→複素数に至る迄成り立っていた、乗法に於ける法則が一つ消える。(除法も同様) それは交換法則で、 i × j = j × i = k を成立させると下式 1 = (-1)² = i² × j² = (i × j)² = k² = -1 が成り立ってしまい、破綻する。 やから、 i × j = -( j × i) = k と定義し、交換法則を犠牲にする事で1 = -1 と成る事(他にも色々)を防いだんや。 これで、四次元空間での回転作用を持つ数が無事作れた訳やけど、四元数の回転は複素数平面の頃に比べて少し複雑かも知れん… 自分なりの説明としては、実数を x軸上の点とし、i,j,k それぞれを選んで y軸上の点とした平面での i,j,k の性質は、複素数平面の時のiと殆ど変わらず。 簡単の為に実数を省いた i,j,k の (右手系) 三次元空間では、それぞれを x,y,z軸上の点とすると、 ×i は x軸を鉛直 (+i 方向が上) に上から見た時に、四元数全体を x軸を軸に右ねじの法則で90°回転させる。 j × i = -k -k × i = -j -j × i = k k × i = j j │⤵×i k ─┼─ -k │ -j ×j,×k も同様に、y,z軸を鉛直 (+j,k 方向が上) に上から見た時に、四元数全体を y,z軸を軸に右ねじの法則で90°回転させる。(式・図 共に省略ゥ!) と成る。
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四元数の直系の拡張された数として八元数というものも存在し、此方は八次元空間での"回転"を表す。(此処では特別に追加された数をそれぞれ l,m,n,o と表す。) 八元数では m,n,o,lはそれぞれ i × l = -(l ×i) = m j × l = -(l × j) = n k × l = -(l × k) = o m × i = -(i × m) = n × j = -(j × n) = o × k = -(k × o) = l で定義される。 この八元数では交換法則に続き結合法則迄もが失われるんや。 理由は下式 -o = i × n = i × j × l = k × l = o 等が成り立ってしまうから。 八元数ともなると一々定義を思い出して計算することすら煩わしく成ってくるが、そこで便利な考え方が有る。 (先駆者も居るかもやけど一応自分発なので厳密性には欠けるかも…) 定義式に入っていなかった i × n や m × nの積は、無矛盾の為に定義とは別にそれぞれ -o,-k と定まっている。この様な定義式でない関係式は多く有り、全て覚えるのは面倒だ。 そこで「 l を関数として扱う」という考え方を導入する。 l を、積の符号が反転した上でl が掛けられる特別な乗法の二変数関数として定義する。 l(a,b) := -(a × b) × l 関数l への代入は以下の通り a × (b × l) = a → l(b) = l(a,b) (b × l) × a = l(b) ← a = l(b,a) (例: i × n = i × ( j × l) = l(i, j) = -k × l = -o n × i = ( j × l) × i = l( j, i) = k × l = o ) 又、l を因数に持つ数どうしでは、l が打ち消し合い (-1)× だけが残る。 (例: m × n = (i × l)(j × l) = l(i) × l(j) = {l( )}² × i × j = -k )
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今迄の流れで、十六元数というものも存在するが、此方はもう実用的ではない。 交換法則や結合法則よりも大事な、「0を掛けずに積が0になる事はない」という法則を満たせなく成るからだ。(ちな分配法則はまだ成り立つとする。) (此処では特別に、追加された数をそれぞれ p,q,r,s,t,u,v,w と表す。) 十六元数ではそれぞれ i × p = -(p × i) = q j × p = -(p × j) = r k × p = -(p × k) = s (以下八元数と同様) q × i = -(i × q) = r × j = -(j × r) = s × k = -(k × s) = (中略八元数と同様) = p で定義される。 (pは l と同様関数pと考えて良い) (追記: (i × l) (j × p) と、l と p が競合した場合には、 p{ (i × l), j) } の様に、l の積を内側に入れ込む。 例: (i × l)(j × l × p) = p{ (i × l), (j × l)} = -[ {l( )}²(i × j) ]p = -(-k) × p = s ) そして積として0が出る式は下式 (i + u)(o + s) = io + is + uo + us = l(i, k) + p(i, k) + p(m,o) + {p( )}²(m × k) = n + r - [{l( )}²(i × k)]p - l(i, k) = n + r - r - n = 0 等が有る。 新たな概念を入れれば成り立つと思うかも知れないが、直系の拡張された数はまだ見付かっていない (存在しえないと証明されたかは調査不足なので分からないです。すみませぬm(_ _)m)