T(x,y)=(x-3y-1,2x+5y) é uma transformação linear de R2 para R2?

Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares?
T: R2 para R2. T(x,y)=(x-3y-1,2x+5y)
Link do vídeo: • T(x,y)=(x-3y-1,2x+5y) ...
Playlist Transformação Linear
Se gostou e te ajudou se inscreva no canal
/ @matematicahackeada
Matemática Hackeada

[@liviagabi263]

obrigadaaa, clareou demais

[@anasantos-tw3fb]

MUITO BOM, FALTOU SÓ UMA EXPLICAÇÃO PARA A SEGUNDA CONDIÇÃO, PARA UM CASO DE TRASFORMAÇÃO

[@gatanery1]

professor me responda essas aqui por favor? 1. Sejam 𝑉 = 𝑅2 e 𝑊 = 𝑅3, 𝑇: 𝑅2 → 𝑅3 definida por 𝑇(𝑥, 𝑦) = (3𝑥, −2𝑦, 𝑥 − 𝑦). Verifique se 𝑇 é uma Transformação Linear. 2. Sejam 𝑉 = 𝑅3e 𝑊 = 𝑅2, 𝑇: 𝑅3 → 𝑅2 definida por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑧, 𝑥 + 𝑦 − 𝑧). Verifique se T é uma Transformação Linear. 3. Seja 𝑇: 𝑅2 → 𝑅3 uma transformação linear. 𝛽 = {(0, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0)} uma base de 𝑅3. Determinar 𝑇 sabendo que 𝑇(0, 1, 0) = (1, 1), 𝑇(1, 0, 1) = (2, −1), 𝑇(1, 1, 0) = (2, 1). 4. Seja 𝑇: 𝑅2 → 𝑅2 uma transformação linear, tal que 𝑇(𝛼 𝑢) = 𝑇(1, 0) = (3, 4) e 𝑇(0, 1) =(1, 2) . Determinar 𝑇(𝑥, 𝑦). por favor

[@felipedossantos707]

mano cê explica tão bem véi, 🥺 qria ver mais vídeos

[@eullerl4768]

Em 3:57 eu não entendi o porquê de você não ter colocado outro -1 para substituir os valores de V

[@PauloCesar-eu2sn]

Eu também não entendi

[@matematicahackeada]

Só poderia ser feito isso se na linha anterior fosse "-2". Vou fazer aqui de outra maneira e vou usar apenas x e y na notação. Vamos verificar que a transformação T(x, y) = (x - 3y - 1, 2x + 5y) não satisfaz T(x + y) = T(x) + T(y): Para isso, consideramos dois vetores x = (x1, x2) e y = (y1, y2). obs.: Notação diferente da usada no vídeo. Agora, podemos calcular T(x + y) e T(x) + T(y) e depois vamos compará-los para mostrar que são diferentes. De fato, Primeiro, calculamos T(x + y): T(x + y) = T((x1, x2) + (y1, y2)) = T((x1 + y1, x2 + y2)) = (x1 + y1 - 3(x2 + y2) - 1, 2(x1 + y1) + 5(x2 + y2)) = (x1 + y1 - 3x2 - 3y2 - 1, 2x1 + 2y1 + 5x2 + 5y2) Agora, calculamos T(x) + T(y): T(x) + T(y) = T(x1, x2) + T(y1, y2) = (x1 - 3x2 - 1, 2x1 + 5x2) + (y1 - 3y2 - 1, 2y1 + 5y2) = (x1 + y1 - 3x2 - 3y2 - 2, 2x1 + 2y1 + 5x2 + 5y2) Agora podemos comparar T(x + y) com T(x) + T(y): T(x+ y) = (x1 + y1 - 3x2 - 3y2 - 1, 2x1 + 2y1 + 5x2 + 5y2) T(x) + T(y) = (x1 + y1 - 3x2 - 3y2 - 2, 2x1 + 2y1 + 5x2 + 5y2) Observe que os dois resultados diferem em uma constante, sendo -1 em um e -2 no outro. Assim, T(x + y) ≠ T(x) + T(y). Portanto T(x, y) = (x - 3y - 1, 2x + 5y) não é uma transformação linear. Voltando para sua dúvida: Temos que T(x+ y) = (x1 + y1 - 3x2 - 3y2 - 1, 2x1 + 2y1 + 5x2 + 5y2) = (x1 - 3x2 - 1, 2x1 + 5x2) + (y1 - 3y2, 2y1 + 5y2) = T(x) + (y1 - 3y2 , 2y1 + 5y2) ou T(x+ y) = (x1 + y1 - 3x2 - 3y2 - 1, 2x1 + 2y1 + 5x2 + 5y2) = (x1 - 3x2 , 2x1 + 5x2) + (y1 - 3y2 - 1, 2y1 + 5y2) = (x1 - 3x2 , 2x1 + 5x2) + T(y). Mas não poderíamos ter T(x+ y) = (x1 - 3x2 -1, 2x1 + 5x2) + (y1 - 3y2 - 1, 2y1 + 5y2), pois só posso usar o "-1" para apenas o x ou y. Espero que tenha entendido. :)

[@biancabb61]

Faltou testar mais um critério que é o vetor nulo

[@fabianaandrade8649]

Prof, consegue me ajudar com esse exercício? Verifique se a transformação abaixo é linear: a) T: Pn (t)-> Pn(t), T(p) = p' + p'', Muito obrigada!

[@matematicahackeada]

Fabiana, ajudo sim. Essa é uma ótima questão. Daria um ótimo vídeo :D Primeiro vc tem que entender que essa T(P) = p' + p" transforma um polinômio em outro polinômio que é a soma da primeira derivada com a segunda derivada do polinômio. Ex.: T(5x^2) = (5x^2)' + (5x^2)'' = 10x + 10. Daí é só usar os passos do vídeos. Para a transformação ser linear então deve ser verdade 1) T(p+r) = T(p) + T(r) e 2)T(kp) =kT(p). Para 1 temos T(p+r) = (p+r)' + (p+r)'' = p'+r' + p''+r'' = (p'+p'') + (r'+r'') = T(p) + T(r) --> T(p+r) = T(p) + T(r). Nota que usamos a propriedade de derivada: a derivada da soma é a soma das derivadas: (p+r)' = p' + q' (Exemplo: (5x+4x)'= (5x)'+(4x)' = 9) Agora falta provar 2) T(kp) =kT(p). Tenta fazer, é semelhante ao que foi feito em 1). Se também for verdade 2) T(kp) =kT(p) então essa é uma transformação linear. Qualquer dúvida só comentar.

[@fabianaandrade8649]

@@matematicahackeada Nossa, muuuito obrigada! Coloquei no papel o seu passo a passo e consegui compreender, não é nada difícil!. O problema, pelo menos para mim, é que quando vejo as equações/transformações postas de forma geral, sem exemplo númerico ou expressões, dou uma pequena travada kkkkkk.

[@jhonoliver2850]

bastava verificar t(0) é diferente de (0,0) tm.

[@matematicahackeada]

Correto. E isso mostra que 2)T(ku) =kT(u) é falso, pois para k=0 temos T(ku) = (0,0) que é diferente de kT(u) = (-1,0).