Talteori: Diofantiska ekvationer - några specialfall

Tar upp några specialfall av diofantiska ekvationer där vår generella metod stöter på problem när det gäller att hitta en första lösning (x0, y0), samt visar hur vi enkelt kommer förbi dessa problem. Nedan finns länk till ritade bilder.
Länk till ritade bilder:
www.dropbox.com/sh/6aqbgjl8t96qcid/AABsS4CzB3p7AgipxMbgXc4Ja?dl=0
Länk till spellistan DISKRET MATEMATIK: kzbin.info/door/oN_-3gxLKimHCQwOxCGOqQ

[@emiledin2183]

Du glömde t.ex. 6x + 15y = 1, då kommer resten vara 3 och x och y lösningar kommer inte vara heltal.

[@DanielCarlsson2]

Vid diofantiska ekvationer söker man bara heltalslösningar, så det du skriver besvaras av den ursprungliga satsen, d v s att då sgd(6,15)=3 och 3 inte delar högerledet som är 1, så saknas det lösningar. I detta klipp tar jag dock upp några fall där den vanliga lösningsmetoden inte fungerar. Alltså lösningar finns, men vi hittar inte (x0, y0) enligt den tidigare presenterade metoden med ”Euklides baklänges”.

[@fadihanna2705]

vid 6:48, varför har vi sätt minus efter X0 (48) trots att formeln är X = X0 + b/sgd(a,b) n. Samma fall för y där vi sätt + istället för minus efter y0 vid tiden 7:12

[@DanielCarlsson2]

Tack för frågan! Det stämmer att det i satsen står plus på x och minus på y och jag borde ha följt det här för att inte förvirra, men då n får anta alla heltal, både positiva och negativa kan vi faktiskt välja om vi vill skriva plus i uttrycket för x och minus i uttrycket för y eller tvärtom. Bara vi använder olika tecken i uttrycket för x respektive y så fungerar det och ger samtliga lösningar. Beklagar att det förvirrade, men är samtidigt glad för att det lyfte frågan. Jag brukar välja minus om x_0 är positiv och plus om x_0 är negativ då det ger låga positiva tal på n för positiva lösningar om man söker det, men det är alltså en smaksak. (Uttrycket som följer efter dessa tecken (a/sgd resp b(sgd) kan också ha positivt eller negativt tecken, så till slut kan det därför bli minus på båda eller plus på båda ihop med dessa.) Blev det klarare?

[@fadihanna2705]

@@DanielCarlsson2 nu blir det helt klart! Tack för hjälpen..

[@leun6768]

4:50, ska man inte skriva ett uttryck för alla lösningar?

[@DanielCarlsson2]

Helt rätt! Här hade jag mer fokus på vad som blir annorlunda med att hitta den första lösningen i några fall och tog därför inte med det, men det borde jag nog gjort. Du kan använda satsen uppe till höger och startlösningen vi tagit fram för att skriva upp den.