Théorème de Jordan-Schur (sous-groupes finis de GLn(C))

[@sobrikey]

Merci pour cette belle leçon !

[@totototo8119]

Bonsoir, Commentaire sur un calcul. Pour l'exercice 2, ça me semble plus simple en tout cas pour moi, d'écrire le terme de gauche comme ||B- conjugué(D)AD|| où D est diagonale comme dans la vidéo au lieu de ||AB-BA|| En tout cas je vois tout de suite quelle inégalité utiliser pour conclure.

[@iPat69]

Bonjour, dans le début de la preuve du théorème, est-ce qu'on est sur que la famille F contient autre chose que l'identité ?

[@philcaldero8964]

@@iPat69 non par exemple si G est simple La famille est uniquement l identite

[@ciaopeople9664]

Bestial ... 😅😅😅

[@philcaldero8964]

@@ciaopeople9664 c'était comme ça qu'on appelait mon prof en prépa

[@totototo8119]

Bonsoir, Exercice 1, à partir de A et BAB* diagonales et de même spectre, je ne vois pas l'intérêt d'introduire la matrice P. En effet, on peut affirmer que si ces deux matrices ne sont pas égales alors il y a au moins deux termes qui diffèrent. Je ne vois pas l'intérêt d'introduire une permutation P puis de faire des sous cas pour affirmer ce fait. Un point doit m'échapper car j'ai trouvé le même argument dans un poly de Lazlo sur Internet.

[@philcaldero8964]

@@totototo8119 en fait quand j'ai cherché l'exercice j'ai fait deux cas diamétralement opposés c'est-à-dire quand toutes les valeurs propres sont distinctes et quand elles sont toutes égales. Dans le premier cas j'ai eu besoin d'une matrice de permutation est dans le second évidemment les choses étaient évidentes sans matrice de permutation. Du coup je me suis dit qu'entre les deux il fallait faire un mélange et que ça allait être une permutation par bloc. C'est vrai que je n'ai pas réfléchi s'il était possible de se passer de cette matrice de permutation.

[@totototo8119]

J'ai trouvé la même preuve sur internet (cours de Lazlo). Norme de I-B inférieur à 2, il me semble que ça donne partie réelle de trace de B strictement supérieur à n-2. Mais trace de B=sum sur i de (Be_i, e_i) où ei base canonique de Cn. Si par ex les deux premiers termes des deux matrices différent alors on a d'une B^*e1 est un vecteur propre de A orthogonal à e1 (car e1 vecteur propre de A associé à une valeur propre différente). Idem pour be2 et e2 et comme B est unitaire tous les salaires (Bei,ei) sont de modules inférieurs à 1. Et donc module de trace de B inférieur ou égal à n-2 ce suivi contredit sa partir réelle supérieur strictement à n-2. Ay a t il une erreur ???

[@philcaldero8964]

@totototo8119 je ne vois pas trop mais l'impression que ça me donne c'est que tu es en train de trouver une autre preuve par l'absurde

[@totototo8119]

Oui, j'espere que c'est correct et s'il y a une erreur je en la voit pas. J'avais également traité le cas vp 2 à 2 distinctes, puis vu l'existence de P, dans la cas général, mais je ne voyais pas comment exploiter l'hypothèse. Et en fait je me suis même dit que c'était pas une bonne idée cette histoire de matrice de permutation car on ajoute de l'ambiguïté là où il n'y en pas au départ. Par ex si on prend la matrice diag (t1,t1,T2) égale à elle même, on a deux matrices de permutation qui l'envoie sur elle même alors qu'au départ on a une matrice égale à elle même. Bref si on introduit une matrice P on rajoute de l'ambiguïté là où il n'y en a pas au départ et on peut pas de dire : mon plan c'est de montrer que P est l'identité. Du coup ça me plaisait pas trop... Après je n' arrive pas à voir si c'est la même preuve ou pas que celle de la video car j'avoue que la preuve donnee dans la vidéo, j'ai du mal à la comprendre si je en ai pas sous les yeux.