Théorème du point fixe de Banach - Démonstration détaillée

[@mehdi2062]

Merci énormément. Super bien expliqué et une vidéo sur ce théorème est difficile à trouver. Bonne découverte pr ma part :)

[@robmar4702]

Très utile, merci. Pour prouver f(X*)=X* on pourrait invoquer diretement la continuité de f, non? lim Xn= lim f(Xn)=f(lim Xn). Pour l'unicité dire que (1-q)\x**-x*\ est inférieur ou égal à 0, ce qui implique \x**-x*\ nul (si on veut éviter l'argument par l'absurde)

[@mbaverlaine99]

Un Merci infini✌✌✌😘😘😘

[@paulanghjulinajouffroyfili7071]

Mais si Un+1-Un tend vers 0 on peut pas dire directement que Un converge non ? Comment on passe de cette limite de la différence à Un admet un limite ? C’est pcq I est fermé et donc (Un)n est bornée ?

[@simonaubrycpge6032]

Merci énormément pour votre vidéo

[@hanazrafi5151]

merci enormement

[@jeanlouis1345]

Merci pour cette démonstration très claire. Néanmoins, j’ai l’impression qu’il n’existe pas de fonction définie sur un segment et contractante (le cas limite sur un segment [a,b] , identité, n’est pas accepté…) Auriez vous donc un un exemple de telle fonction ?

[@vector7669]

Une fonction, disons croissante pour simplifier, telle que f([a,b]) est inclus dans [a,b], qui est telle que sa dérivée est strictement plus petite que 1 sur tout l'intervalle, satisfait les hypothèses du théorème. Exemple 1 : f(x) = √x est contractante sur [1,b] pour tout b>1 et satisfait les autres hypothèses. L'unique point fixe serait x=1. Exemple 2 : f(x) = ½ + ½x sur [0,2]. Les hypothèses sont satisfaites et l'unique point fixe est en x=1 Noter que dire f : [a,b] -> [a,b] ne veut pas forcément dire que f([a,b]) = [a,b]. Il n'existe en effet aucune fonction contractante telle que f([a,b]) = [a,b]

[@ghitabelaouad9027]

merci

[@stanieschlass7482]

Hyper clair merci

[@sohaybelyaktini4806]

merci infiniment

[@imenezerguiniya9371]

Merci bcp 💙💙

[@addghvbbnm4071]

Merci bcq

[@elalaouimhamdi3367]

Peux-tu démonter le théorème de Reitz et ou banach steinahauss. Merci infiniment

[@vector7669]

Je ne connais malheureusement pas ces théorèmes. Peut-être que si un jour je les découvre dans ma carrière de physicien théoricien j'en ferai une vidéo.

[@elalaouimhamdi3367]

Bravo !

[@caramel5755]

Bonsoir, merci pour la démonstration; Pourquoi précisez-vous que l'intervalle I doit être fermé? Pareil pour l'intervalle ]0,1[, vous précisez qu'il doit être ouvert,pourquoi? Sachant que l'application contractante est une lispchitzienne de rapport k

[@vector7669]

Concernant l'intervalle fermé I, je précise dans la suite de la démonstration le moment où cette hypothèse est importante (17:25). C'est quand il s'agit d'expliquer que la limite de la suite construite est bien dans l'intervalle I. Si l'intervalle était ouvert, rien ne garantissait que la limite de la suite soit dans l'intervalle. Pour pouvoir utiliser le fait que f est contractante en x* (comme on le fait à 17:25) il faut satisfaire l'hypothèse x* est dans I. Quant à q dans l'intervalle ]0,1[, il est vrai que l'on aurait pu choisir l'intervalle [0,1[. Noter que cela est équivalent car le cas f(x) - (y) = 0 est traité avec n'importe quel q>0. En revanche, on doit exclure le cas q=1, car on ne pourrait plus construire une suite de Cauchy comme on l'a fait, la série ne serait pas convergente avec q=1. Par exemple la fonction f(x)=x satisferait les hypothèses sur n'importe quel intervalle fermé avec q=1, mais le nombre de points fixes serait infini. En fait, on aurait pu formuler l'hypothèse sous la forme "|f(x) - f(y)| < |x-y|". Il a simplement été plus simple, au vu de la démonstration, de directement utiliser la formulation équivalente avec q.

[@caramel5755]

@@vector7669 Merci beaucoup pour votre réponse, il faut avouer que la notion de point fixe est assez délicate ,en plus on la situe difficilement dans les programmes de mathématiques (en fait c'est une notion transversale), c'est vrai qu'il est souvent introduit avec les suites itératives , mais bon, on trouve de tout dans les ouvrages concernant ce théorème , je veux dire différentes façons de l'énoncer, parfois contradictoires, du coup merci d'avoir pensé à faire une vidéo sur sa démonstration.

[@vector7669]

C'est vrai. Merci :) Noter que j'ai démontré ce théorème dans l'espace des nombres réels. Mais il est applicable à n'importe quel espace de Banach (où les suites de Cauchy convergent, avec une norme bien définie, etc.). Par exemple, on pourrait démontrer ce théorème dans l'espace des fonctions Lebesgue carré-intégrables, dans des espaces vectoriels, etc, ce qui rajoute encore des façons d'énoncer le théorème.

[@halimasrhiri5209]

merci bien