Тригонометрическое уравнение: cos(z)=2, а при чём тут формула Эйлера?

Из этого видео вы узнаете, может ли косинус быть равен 2, как решить тригонометрическое уравнение cos(x)=2, используя комплексные числа, как определить функции от комплексного переменного (sin x, cos x, e^x) через ряды Тейлора и получить известную форму Эйлера.

[@maxm33]

Следующая ступень на пути к просветлению - осознать физический смысл косинуса, равного 2 🙄 Пошел за грибами 🍄

[@raff_anglewood7456]

Супер! Всё по полочкам от восьмого класча и до университетской скамьи. Спасибо!)

[@eresque7766]

Шикарное видео, очень хорошо, что вы включили выведение формул, все стало понятно

[@vvoooov]

У тебя очень хороший канал Не останавливайся

[@Hmath]

спасибо! новые видео еще лучше :) посмотрите новогоднее! ;)

[@vvoooov]

@@Hmath Искал интеграл Эйлера-Пуассона, ваше понравилось. Я студент первого курса и столкнулся с этим в выводе распределения Максвелла. Вот было мое удивление когда я не смог взять интеграл e^-x^2. Люблю такие моменты, сразу видишь насколько мало ты знаешь.

[@vvoooov]

@@Hmath Еще осталось разобраться с повторными интегралами. А вообще, возвращаясь к вашему каналу, на русском ютубе очень мало хорошего контента. В основном всплывают видео по теме ЕГЭ, что жутко надоедает и не дает разобраться в сути.

[@Hmath]

да, я сам ничего практически по математике на русском не смотрю. в русском ютьюбе что бы ни пытался искать по математике, все будет забито ЕГЭ :)

[@vvoooov]

@@Hmath Вот я и рад что вы есть.

[@barackobama2910]

Как нас учили на военной кафедре, в военное время (как сейчас) косинус может достигать четырех и на действительной оси!

[@Hmath]

Это да, и черное можно называть белым (как сейчас)

[@alexandergretskiy5595]

Предполагаю, что фраза "косинус может достигать четырех" относилась к той части формулы, в которую входил косинус - именно эта часть и могла достигать четырех. Считать военных недалёкими - заблуждение.

[@barackobama2910]

@@alexandergretskiy5595 Недалекий человек это ты. На военной кафедре военные знают что студенты считают их тупыми но молчат. Поэтому троллят студентов прикидываясь гвоздями а студенты не остаются в долгу. Хохм очень много и по ним и идет "соревнование". А дурь она у всех есть.

[@FastStyx]

Запросто косинус может достигать четырёх на действительной оси для чисто мнимых аргументов. Синус, в свою очередь может достигать четырёх, если его мнимая часть равна половине пи.

[@barackobama2910]

@@FastStyx нет. В военное время косинус достигает 4 без всяких комплексных заморочек. просто на форсаже.

[@AlexeyEvpalov]

Отличное видео. Большое спасибо за вашу работу.

[@igorsoftvariant]

Отличное объяснение

[@BITniki]

Видео топ! Спасибо!

[@DarkAiR3]

сюда бы еще добавить визуализацию cos(z) в комплексных значениях, мне кажется забавнвя волнистая поверхность получилась бы

[@inketroll5984]

Спасибо автору за формулу. Я немного с ней проигрался и вывел так сказать общую формулу для нахождения любого числа. Может кому-то пригодится. cos(±i*ln(±√(х²-1)+х)+2πk)=х Выводится это формула достаточно просто. Повторяем те же действия что и автор данного видео, но заменяем cos(z)=2 на cos(z)=x. (e^(it)+e^(-it))/2=х e^(it)+e^(-it)=2х |*е^(it) e^(2it)-2xe^(it)+1=0 e^(2it)=k k²+2k+1=0 K(1;2)=±1/2*√(4k²-4)+k k(1;2)=±1/2√(4*(k²-1))+k k(1;2)=±√(k²-1)+k Дальнейшие шаги не вижу смысла расписывать так как с этим прекрасно справился автор.

[@Hmath]

в середине что-то х пропал :)

[@oleg.shnyrkov]

Да, во-первых, в середине пропал x, во-вторых, дискриминант может получиться и отрицательным и комплексным (в зависимости от x), а значит, аргумент может быть другим.

[@inketroll5984]

@@oleg.shnyrkov Второй пункт учтён. Посмотрим на формулу внимательно. Да я понимаю что я её плохо доказал, но ты сам можешь её через калькулятор проверить. Или даже построить график чтобы убедиться что она верна

[@user-ug5zj2tc1u]

Как научиться также красиво писать мышкой? 😍

[@Hmath]

Ах, если бы я знал. Хороший способ: писать не мышкой. Им я и пользуюсь ;)

[@elchinsalimov5770]

Thanks. Everything was nice.

[@user-yc4yo1zy6o]

Спасибо. А есть ли графическая интерпретация решения?

[@user-uh2rw1by6g]

Тут такая проблема: чтобы представить комплексное число, нам нужна двумерная плоскость. Значения функции также комплексные. То есть для того, что бы графически интерпретировать график функции, нам нужно 4-мерное пространство

[@proninkoystia3829]

Вот определили мы косинус и сунус на поле комплексных чисел, а геометрический смысл есть у них какой-нибудь? Может их свойства связаны с геометрией пространства?

[@vikivanov5612]

Еще можно было бы рассказать про математический смысл возведения в мнимую степень. Экспонента от мнимого аргумента. exp(i*fi) - это поворот на комплексной плоскости на fi. А в целом возведение z=exp(lnr+i*fi) в мнимую степень меняет местами реальную и комплексную компоненты. А также показать, как устроен график cos(z), и где он достигает двух.

[@Hmath]

ради любопытства, а как вы представляете себе график функции комплексного аргумента? Аргумент функции комплексное число - его значит откладываем на плоскости (2 оси), и значение функции - тоже комплексное число, чтобы его как-то изобразить, понадобится еще 2 оси. Т.е "график" такой функции будет в 4-х мерном пространстве.

[@vikivanov5612]

@@Hmath по третьей оси можно откладывать отдельно модуль и фазу. в данном случае нас интересует модуль

[@Hmath]

ну т.е нужно изобразить 2 поверхности отдельно. Надеюсь, кстати, понятно, что |z|=2 и z=2 - это не одно и то же :) т.е если изобразить только поверхность соответствующую |cos z|, то точек, где |cos z| = 2 будет значительно больше, чем тех, где cos z =2

[@vikivanov5612]

@@Hmath да, размерность первого множества скорее всего будет на 1 больше. спасибо за интересный момент))

[@VSU_vitebsk]

необычное видео

[@hehgendary]

Почему пишет "видео не доступно"?

[@Animal_2444]

❤❤❤

[@screemer949]

Пожалуйста, ответьте на вопрос. Какой смысл имеет возведение числа в степень с комплексным показателем? Какую пользу это приносит?

[@oleg.shnyrkov]

Практически везде в физике это используется. От электричества до квантовой механики.

[@whatislove3850]

12:53 чему будет равен аргумент если допустим e^iz < 0 ???

[@itzrealzun]

Был бы pi + 2pi*k

[@lukandrate9866]

Вот как я решал: cos(z) = 2 cos(z) = (e^(iz)+e^(-iz))/2 = 2 Домножим на 2: e^(iz)+e^(-iz) = 4 Домножим на e^(iz): e^(-iz)×e^(iz) = e^(iz-iz) = 1 (e^(iz))²+1 = 4e^(iz) Получаем квадратное уравнение: (e^(iz))²-4e^(iz)+1 = 0 Находим два корня по дискриминанту: e^(iz) = 2±√3 Логарифмируем: iz = ln(2±√3) Домножаем на -i и получаем: z = -i•ln(2±√3)

[@lukandrate9866]

Надеюсь, кому-то будет интересно

[@amady4547]

Спасибо

[@chghswwldp2862]

iz*(-i)=z*(-i^(2)), а не z

[@lukandrate9866]

@@chghswwldp2862 z*(-i^2) = z*(-(-1)) = z

[@user-yk4bf8vi8o]

Да уж. Эх... Ни когда не понимал.

[@user-nt7cg6ok6f]

Сначала я нашёл синус ± i*sqrt(3) Далее тождество e^(iφ)= 2 ± i*i*sqrt(3) e^(iφ) = 2 ± sqrt(3) iφ = ln(2 ± sqrt(3)) + 2iπn, n c Z φ = -i*ln(2 ± sqrt(3)) + 2πn φ = i*ln(2 ± sqrt(3)) + 2πn

[@ggggg4267]

Автор, Вы случайно не потомок Андрея Петровича?

[@Hmath]

какого Андрея Петровича?

[@ggggg4267]

@@Hmath Андрей Петрович Киселёв математик советский)

[@Hmath]

нет, не потомок

[@user-yn7ue1lk6u]

Косинус от комплексного числа. Это же безумие) хотя...

[@alexandermorozov2248]

Значения ln[2+sqrt(3)]=1,317 и ln[2-sqrt(3)]=-1,317 равны по модулю, но отличаются знаком - это просто совпадение или тут есть какой-нито глубинный смысл?

[@Hmath]

наверно, глубинный смысл в том, что 1/(2+sqrt(3)) = 2-sqrt(3) :)

[@bezobrazie7607]

Когда разность квадратов в логарифме равно 1 то +- можно из него вытащить: ln(a +- b) = -+ln(a - b), при а^2 - b^2 = 1

[@user-ki6ld7wf8w]

А давайте решим уравнение |x| = -1 (минус один). Начнём с того, что любой школьник, сдающий ЕГЭ скажет что тут ошибка, и модуль может быть только неотрицательным... И тут я скажу, что недавно придумали новые числа, модуль которых есть отрицательное число, тогда как-будто понятно, x = ± j (где j новая хитрая единица). Так вот интересная задача, найти квадрат этой самой хитрой единицы. То есть, если |x| = -1, найти x^2 = ? А что, по аналогии, ведь для параболы же придумали мнимую единицу x^2 = -1, x = ±i

[@xleoxjeffx]

комплЕксных

[@Hmath]

кОмплесные ru.wikipedia.org/wiki/Комплексное_число

[@xleoxjeffx]

@@Hmath с большим уважением как к математику, но уточните пожалуйста ещё раз) (ссылка битая)

[@Hmath]

@xleoxjeffx Ко́мпле́ксные чи́сла под каждым видео это странное франкофильство с ударением :) И главное, все прекрасно знают, что в русском языке есть общеупотребляемое слово с ударением на первый слог и только узкий кружочек математиков очень любит отделять себя, используя французское ударение.

[@xleoxjeffx]

@@Hmath а, то есть там два ударения? то есть не так уже и однозначно, да? кружок настолько узкий, что третий раз в жизни слышу ко́мплексные числа, вместо компле́ксные. наверное у нас кафедра французской математики

[@Hmath]

несомненно :) Можно, кстати, даже какую-нибудь перекличку уже организовать. Интересно, где географически базируются любители ударений на Е :) Есть ведь еще и физики и вообще все остальные люди, которые используют слово "комплексный" с ударением на О - явно всех их больше, чем одна кафедра :)

[@user-mr8qm3ii8x]

чего тут думать. Как в школе учили: x=+-arccos(2)+2пn

[@user-ki6ld7wf8w]

Ну начнём с того, что школьники, сдающие ЕГЭ не должны говорить об ошибке в уравнении, так как левая и правая часть могут быть в уравнении любыми, их дело его решить. Даже, казалось бы такое абсурдное 1=2, x=? Кто решит?

[@bezobrazie7607]

Да, из логарифма можно плюс минус вытащить, сопряженные комплексные в ответе куда симпатичнее 😊

[@arkanoid1965]

Клёво вам, математикам! Упёрлись в нерешаемую проблему? Ха, ща мы мнимую единицу и комплексное поле добавим, и всё норм! А чо такова?) Потом упрёмся в повороты 3Д, ага, вот вам кватернионы и октанионы! Замечательно! Студенты пляшут и машут? Нет? Ой, а чо такова?)

[@purwic]

в математике много такого, когда для решения сложных проблем создаётся мощная теория