✓ Свободные от квадратов | Теория чисел | Ботай со мной

Назвемо натуральне число вільним від квадратів, якщо воно не ділиться на 𝑝² для жодного простого числа 𝑝. Дано число 𝑛 більше 1, що вільне від квадратів і має 𝑑 натуральних дільників. Яку найбільшу кількість дільників цього числа можна обрати так, щоб для будь-яких двох з цих обраних, наприклад, 𝑎 і 𝑏, число 𝑎² + 𝑎𝑏 − 𝑛 не було квадратом цілого числа?
Как поддержать канал:
Регулярная помощь (Boosty): boosty.to/trus...
Регулярная помощь (KZbin): / @trushinbv
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Разовая помощь (Ю-money, бывшие Яндекс.Деньги): yoomoney.ru/to...
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/trus...
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donational...
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 12-18): trushinbv.ru/eg...
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
10-11 классы. Подготовка к Перечневым олимпиадам: trushinbv.ru/olymp
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/co...
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Магазин мерча: trushinbv.ru/shop
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
Личный сайт: TrushinBV.ru
вКонтакте: ege_tru...
Facebook: / trushinbv
Instagram: / trushinbv
TikTok: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Twitter: / trushinbv
KZbin: / trushinbv

[@trushinbv]

Опечатка и оговорка ( 7:15 должно быть 𝑛 не делится на 𝑝²

[@kirylh]

Я уже собрался коммент писать, а уже нашли.

[@d1amondzz_]

1:19 кажется, что ещё оговорка, d же количество не простых делителей, а всех

[@tolich3]

@@d1amondzz_ Не оговорка, число d зависит от числа k различных простых делителей числа n: d=2^k.

[@d1amondzz_]

@@tolich3, Борис говорит, что у числа ровно d различных простых делителей, но d по условию- количество натуральных делителей, я только про это

[@tolich3]

@@d1amondzz_ Цитата: "те, кто разбирается в теории чисел, они понимают, как связано это число d с количеством простых делителей, но об этом чуть позже поговорим, может быть, и не понадобится." Конец цитаты. Конечно, поговорить об этом он забыл, да и реально не понадобилось. Но как они связаны, я уже написал выше.

[@mrgold4678]

О кстати. Знаю одну хорошую задачу про свободные от квадратов числа. Мб даже настолько хорошую, что решат далеко не все и БВ разберёт потом. В общем, если хотите разбор от БВ, ставьте на коммент лайк. Натуральное число n таково, что разность суммы всех его четных делителей и суммы всех его нечетных делителей является степенью двойки. Докажите, что n свободно от квадратов.

[@СтаниславВокеутов-ю2э]

Халява

[@АлександрХристин-ж1ь]

Выражение (1+р+p^2+p^3 ...+p^k) не является степенью двойки при k>1 для любых натуральных р. Фрагмент доказательства.

[@letsplay1626]

Отличное видео!!! Спасибо, приятно видеть Трушина с улыбкой, активного и в потоке😊математика все вырулит и решит! Значит все будет хорошо

[@TSM_149]

👍 Для меня точно "сурово". Ещё раз посмотрю ☝

[@pashaak7453]

Отличная , задача. Спасибо автору.

[@nickyurov6558]

я с первого раза не догнал. нужно будет пересмотреть этот ролик раза 3-4.

[@vasily_maths]

Хорошая задачка, спасибо за разбор! Я 11 класс, решил за 10 минут. На финале Всероса думаю только на первой позиции могла бы быть.

[@trushinbv]

Это 9 класс.

[@ffdd2315]

Хахахахахах

[@ДмитрийГнатюк-з3ф]

9:45 можно и сопоставить благодаря уже имеющемуся соображению: a n/a

[@ВасяПупкин-д5с6и]

Я понял с первого раза, спасибо вам)

[@сражениетанков]

Блин никак не пойму, как доходить до таких решений

[@someoneneverknown1120]

Я думаю, что Трушин - читер ) Он не искал среди всех возможных решений, а просто взял свои готовые знания про делимости. Когда знаешь так как он, то условия задачи как бы сами намекают как ее решать. А вот если ты шкооооольник....

[@emiyakiritsugu9020]

Решить N задачек на теорию чисел, где N следует взять как можно больше. И будет видно. Рассмотреть степень вхождения простого делителя - напрашивающаяся идея. Если есть опыт

[@djadjeyedessdjohnchrist3340]

Merci beaucoup

[@glebdrozdov3204]

француз

[@ФедяБахвалов]

Борис, расскажите пожалуйста про интересные теории вероятности, к примеру парадокс Монти Холла, будет интересно услышать от очень умного математика) Заранее спасибо

[@mega_mango]

d = 2^k --> d/2 = int. Если мы возьмём какое-то число, то автоматически не можем брать n/это число --> Мы не можем взять больше d/2 делителей. Сразу пришла идея, что если задачка не Перельмановская, то наверное d/2 и есть кол-во делителей. n = aу, из выражения достанем а за скобку, а(а + b - y) ≠ s². Допустим a и b дел на некоторое p > 1 --> a = p*a_1, b = p*b_1. p*a_1*(p(a_1 + b_1) - y) ≠ s². Т к y не дел на a, у не дел на p, --> p(a_1 + b_1) - y тоже не дел на p. Тогда выраж дел на p но не дел на p². Так что если мы прость возьмём какое-то количество не взаимно простых делителей, то любые два из них автоматически соотвествуют условию. Допустим n = a_1*a_2*...*a_k. Найдём кол-во делителей числа n/a_k, их соответственно 2^(k-1). Если каждый из них, умноженнвй на a_k, выписать как делители, то любые два из них как не взаимно простые будут соответствовать условию. А всего таких (2^k)/2 = d/2. Крч по сути мы доказали, что максимсльное число делителей может быть d/2, и не может его превышать. Пойду по видео проверю себя. Но мне кажется я правильно решил

[@ivankaznacheyeu4798]

Можно взять d/2 наименьших делителей. a^2+ab-n делится на a, а число a тоже свободно от квадратов, значит, чтобы a^2+ab-n было квадратом оно должно делиться на все простые делители a дважды, то есть должно быть не меньше a^2. Для этого ab должно быть не меньше? чем n. Если взять d/2 наименьших делителей, то для любой пары ab будет меньше чем n, а значит нужное условие будет выполняться.

[@trushinbv]

А почему больше, чем d/2 взять нельзя?

[@ivankaznacheyeu4798]

@@trushinbv тут то же, что и у Вас, если взять больше, обязательно окажутся парные, дающие ab=n. Я только иначе выбрал d/2 делителей.

[@trushinbv]

@@ivankaznacheyeu4798 а, да, понял )

[@charlestucker5195]

Главной итог спецоперации: 1) в латинском алфавите стало на 2 буквы меньше 2) трушин стал украинским блогером Хд

[@DiamondSane]

если бы только удалось этим отделаться, но нет

[@sklyarsveta]

@floppa floppovich от сотен тысяч трупов например, и детей без родителей, родителей без детей, людей без конечностей, сошедших с ума, от разрухи навсегда в местах, где кипела жизнь.. Много всего

[@quattroPensil]

Сложновато довольно )

[@IgorGusev28]

Классная задачка!!! Спасибо БВ. Побольше роликов по теории чисел! Вот тоже из теории чисел, такая задачка: Натуральные числа а, b, c удовлетворяют соотношению: а + b + ab = c^2 . Какое наибольшее количество простых чисел может быть среди чисел а, b, c? Вот сразу ясно, что все три не могут быть простыми. Т.к. если хотя бы одно из чисел (а или b) равно 2, то (с^2 +1) делится на 3, что невозможно. Если же оба числа (а и b) нечётные простые, то то (с^2 +1) делится на 4, что тоже невозможно. Подскажите, плз, кто знает, как построить пример с парой простых, следуя хотя бы какой-то логике?

[@maslinomyot]

7:15, там надо записать, что n не делится на p^2, а это там какой-то бред

[@ДжумалбекИванов]

Да. n^2 делится на p^2, т.к. n делится на p

[@saint8283]

Было очень интересно, но я условие задачи не понял

[@tufoed]

Борис ты неправ! Сначала ты разбил все делители на пары и сказал, что из каждой пары можно взять не более одного делителя. Затем ты говоришь, что достаточно предъявить половину всех делителей, которые удовлетворяют определенному критерию. Но ведь любая половина делителей не годится, а критерии, по которым была отобрана половина делителей, и критерии, по которым делители были разбиты на пары не одинаковы до тех пор пока не доказано обратное! Ну хотя бы сказать, что это очевидно надо было

[@rosalyrdw]

БВ, можете, пожалуйста, заснять ролики про другие разделы математики? Булеву алгебру, например. Или аналитическую геометрию? Интересных разделов математики много и хотелось бы послушать объяснения такого учителя как Вы

[@tomato3871]

👀

[@bonintimo]

Надеюсь на ЕГЭ такого не будет 🤣

[@DmitryNetsev]

Я ничего не понял. В смысле я не понял о чём вообще была задача.

[@screemer949]

Сделай видос про функцию Ламберта. Достаточно интересная тема

[@nozimkamolov5999]

a^2+b^2=100 yechimlari kerak

[@valeraag5634]

Можно проще. n = P1 * P2 * ...* PK , где р1, р2, ...рк - простые множители. Делителей числа n - сумма сочетаний от 0 до к элементов по к, всего 2 в степени к , это то что в условии обозначено буквой d. А число пар делителей, при умножении дающих n - всего 2 в степени к-1, то есть d/2. Отсюда d - d/2 = d/2.

[@АндрійЛещук-я1т]

Здравствуйте, БВ. Можете пожалуйста посмотреть 3 задачу из 2 тура областной олимпиады 2021 года (тоже для 9 класса) и оценить её с задачей из этого видео ? Задача тоже на теорию чисел, но немного отличается от этой.

[@kislyak_andrei0]

Надо будет позже пересмотреть А то с момента, когда мы говорим о том, что количество делителей, содержащих р, столько же, сколько и делителей, не делящихся на р, я немного потерялся Не понимаю почему это доказывает то, что нам нужно

[@trushinbv]

Значит, что их ровно половина среди всех делителей

[@kislyak_andrei0]

@@trushinbv я нашёл в чем дело Сначала мне показалось, что вопрос задачи про то, сколько можно выбрать делителей, что выражение, которое дано, будет квадратом Неправильно услышаное условие привело к ступору Как всегда

[@arkanoid1965]

Я пенс, но угараю по твоему видео)

[@DmitryNetsev]

А почему мы ограничиваемся d\2, а не просто d?

[@stditetator]

Потому, что если мы перебираем только половину делителей числа n, и, скажем, у нас есть текущий делитель аi, то у нас точно есть число вида n/аi. А так как у нас n на квадрат натурального не делится по условию (никакое число 2 раза там не встречается), то нам достаточно перебрать d/2 делителей и каждому i-тому делителю поставить в соответствие n делённое на этот i-тый делитель. Как-то так.

[@canniballissimo]

Ещё бы пример такого числа n увидеть!

[@trushinbv]

6, например, )

[@tolich3]

2

[@romansharafutdinov5262]

Что-то подобное было на УТЮМе для 5-6 класса (только делителей было не d, а 2^100)

[@user-hv1cg8tt3i]

Ну фактически, то, что число n - свободное от квадратов, то его кол-во делителей - это степень двойки.

[@ЮрийКубань-щ6щ]

Почему пар d/2, допустим 30 это 2*15, 3*10, 5*6 ровно d пар

[@trushinbv]

У 30 есть такие делители: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. То есть d = 8

[@ЮрийКубань-щ6щ]

@@trushinbv а, почему то решил что d это количество простых множителей

[@lili-cw6xl]

@@ЮрийКубань-щ6щ условия прочитай

[@cjejxhbejwkdiejd2139]

можно ли заняться после элементарная математика с дискретной математики ¿

[@akio-the-lazzycatto]

5:40 ... возможно я туплю, но я не понимаю этого перехода. если из всех делителей мы не можем брать числа a и b такие, что ab = n, то разве таких пар не будет d(d-1)/2? пример: для 30=2*3*5. d=2^3=8 тогда пары 1 15; 1 10; 1 6; 1 5; 1 3; 1 2; 1 1; 2 30; 2 10; 2 6; 2 5; 2 3; 2 2; 3 30; 3 15; 3 6; 3 5; 3 3; 5 30; 5 15; 5 10; 5 5; 10 30; 10 15; 10 10; 15 30; 15 15; 30 30 - различны с точностью до перестановок и их произведение не дает 30 и их ровно 28 ( 8(8-1)/2 ) ???

[@trushinbv]

Мы смотрим не количество пар. Мы из всех делителей выбираем некоторое множество, и хотим, чтобы какие два элемента этого множества мы не взяли, у нас не получился квадрат

[@akio-the-lazzycatto]

@@trushinbvПонял, спасибо)

[@KOMAR292]

А если P = 1 , тогда уравнение делится как на Р, так и на Р^2 . Это не противоречит решению?

[@trushinbv]

1 - не простое число )

[@panamka]

@@trushinbv - мне синий карандаш, пожалуйста - у нас в продаже только простые - а что, синий для вас слишком сложный?

[@kszk2937]

Может я что-то не понял, но конкретно какие значения могут быть у a, b, n? Это же теория чисел.

[@igorsirenko9744]

Для 9 класса задачка довольно непростая. А точно ответ d-пополам, а не d/2-1 ?

[@trushinbv]

Вроде, ровно половина подходит

[@BOB4uk_84]

А если d - нечётное?

[@ligpar]

Так получается, что если d - нечётное, то n делится на квадрат простого, чего в условии нам запретили. Пример: 2 делится на 1 и 2 3 делится на 1 и 3 4 делится на 1, 2 и 4, но 4 это 2^2, то есть 4 не свободно от квадратов. И так со всеми другими числами.

[@fostergrand4497]

А я не понял, как простые делители числа n могут делится на p. Впрочем, неважно.

[@trushinbv]

Не простые делители, а любые делители

[@niksha6099]

Борис, перелай мерч,пожалуйста. Сдей больше шуток и частых ошибок на тему егэ по математике. Вот кепки реально классные.

[@glebzhigaloff9569]

а если представить геометрически квадраты .кубы .. наглядно то можно на пальцах .не грузить знаками как ксати вам метод в.б.шаталова

[@Mathematician3.14]

The first.

[@СтаниславВ-о5ю]

Два раза посмотрел, но не понял(( Какая-то исскуственная задача. Проблема в том, что не интересно. "Засыпаю" уже ко второй минуте.

[@СергейСергеев-е9м8в]

9:50 не понимаю как это доказывает что их половина

[@trushinbv]

Ну, если таких ровно столько же, как и не таких

[@СергейСергеев-е9м8в]

@@trushinbv вроде понял но мозги кипят. извините

[@sliadkyiperchik]

Знаю я одну задачу: Геи спорят, кто из них больший гей. Так вот вопрос:"Если геи уже знают, что они геи, то они меньшие геи, чем те, что решают параметры?"

[@9TailsExar]

очень сложно для восприятия. Честно говоря, не помешал бы любой пример в числах. Просто для понимания схем

[@trushinbv]

Возьмите число 30, например )

[@9TailsExar]

@@trushinbv дааа, заработало, клево) И сразу буквы стали яснее после прогонки частного примера

[@ВасяЕфимов-х4э]

«разбор 25 задачи ЕГЭ информатика», такое название лучше передаёт суть видео))

[@Vlad-sh5kj]

Не понял, почему делителей n которые делятся на p ровно d/2:( Почему не возможен такой a', который делит n, но не делит a?

[@alexbulgaru2991]

Как же сложно и не понятно

[@АлексейФимкин-ь4с]

На Украине

[@enolagay3557]

А обязательно текст задачи на видео должен быть на инопланетном языке?

[@trushinbv]

А вы с какой планеты? оО

[@letsplay1626]

Это обычный язык, тем более очень похож на русский

[@amadeus8928]

борька просто хочет на двух стульях усидеть

[@letsplay1626]

@@amadeus8928 дурь вы несёте. Если вы смотрите математический канал, то разум должен быть на первом месте. С имперскими настроениями, можно к Савватееву. Там и патриотизм и один язык, что-то более там туго идет

[@ДаніілШевченко-и9у]

@@amadeus8928 Просто у него честь в отличии от вас присутствует

[@luckyloser5962]

Ребят, есть идея!!! Давайте создадим что-то типа кружка по подготовке к экзаменам/олимпиадам по математике, будем собираться скажем в ZOOM и решать варианты, разбирать какие-то задачки, делиться знаниями. Если интересно поставьте плюсик РАСПРОСТРАНИТЕ пожалуйста

[@brkfdd552]

Нужно быть весьма специфическим человеком чтобы такого рода задачи казались интересными.

[@trushinbv]

Так про любое увлечение можно сказать ) Я, например, не понимаю тех, кому нравится смотреть футбол

[@brkfdd552]

@@trushinbv ну надо же сначала придумать какую то наглядную интересную геометрическую, алгоритмическую, какую угодно, но интересную задачу, а потом уже...

[@trushinbv]

@@brkfdd552 кто-то любит геометрию, а кто-то - теорию чисел. Всем не угодишь )