[ENEM 2016] 172 📕 ANÁLISE COMBINATÓRIA Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma

Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha.
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ENEM 2019 - 1ª Aplicação - Prova de Matemática Resolvida pelo Prof. Caju.
Problema sobre Análise Combinatória
Questão 172 da Prova Rosa - ENEM 2016
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[@rakellrodrigues1874]

Posso ver mil resoluções, mas eu só aprendo se for contigo que macumba é essa, macho kkkkkkkkkkk

[@profcaju]

rsrsr... muito boa essa, Raquel! 😊 Fico muito feliz em saber que meu trabalho está lhe ajudando a aprender! Esse é o principal objetivo de qualquer professor, e seu comentário me mostrou que estou conseguindo atingir esse objetivo 🤗 Tmj. Grande abraço

[@rakellrodrigues1874]

@@profcaju 💙

[@profcaju]

🤗

[@wendelgomes2517]

À procura de uma explicação que me fizesse entender, de fato, a questão, somente seu vídeo me ofereceu o que precisava. Parabéns!!!

[@togurourameshi3114]

eae, boy, tu que quer ir pra UFPA também ?

[@wendelgomes2517]

@@togurourameshi3114 Quero sim, UFPA ou UEPA para Medicina. Como tu sabe?

[@togurourameshi3114]

@@wendelgomes2517 Vi vc no estuda.com quando fui dar uma olhada naqueles rankings, aí imaginei que seria vc ou só coincidência. Aliás, também quero med na UFPA ou UEPA, que dê tudo certo pra gente!

[@togurourameshi3114]

​@@wendelgomes2517EAE MAN, VI TEU NOME NO LISTÃO, PARABÉEEEENS, PASSEI EM MED NAS DUAS TAMBÉM NO CAMPUS DE BELÉM, TMJJJJJJ

[@maelledesouza]

Quem precisar de ajuda em matemática, assine a plataforma dele, vale muitoo a pena. O meu único arrependimento foi não ter assinado antes. O cara é fora de sério. A plataforma dele tem vários (vários mesmo) exercícios corrigidos em vídeo, a didática não tem nem o que falar, e ele não deixa passar nenhum detalhe, além das dicas para acelerar os cálculos. Assinem sem medo, vai ser o maior investimento de estudo!

[@profcaju]

🥰🥰🥰🥰

[@musicsounds874]

Sempre tive dificuldade com matemática e acabei desenvolvendo uma frustração em relação a matéria. Graças a você, professor, finalmente estou vendo resultado na minha aprendizagem. Muito obrigada mesmo, admiro muito seu trabalho

[@danimenezesv]

esse professor ama o que faz! que didática.

[@oliviavirgolino7572]

agora sim entendi o porquê de permutar depois: outras configurações da ordem

[@jhonatanlucas1686]

Toda vez que a questão não deixar claro que as repetições n importam elas tem que ser mostradas no cálculo, aprendi isso há um tempo numa questão

[@Sarahingp]

Vc é tão dedicado no que faz, dá pra ver isso de primeira. Obrigada pela dedicação!

[@profcaju]

🥰 Brigadão pela força, Sara. Muito legal receber esse comentário 🤗 Tmj. Grande abraço

[@karolmendes9795]

professor, faz as resoluções da FUVEST UNICAMP E UERJ!!! acho que ia dar bom com a sua didática

[@anaclaracavalcante8024]

Única resolução com clareza que achei. Obrigada, ajudou muito!!

[@victoriaciribelli]

muito obrigada prof, minha duvida era extaamente a que voce citou no fim do video. seu trabalho é essencial pra nos! agradecemos de coracao

[@kesiaavelino7153]

Assisto uma resolução qualquer e acho que entendi. Venho ver a resolução do prof Caju e percebo que não havia entendido kkkk. Muito obrigada, professor, pela excelente didática. Que Deus te abençoe!

[@guilhermebraz6803]

O canal + completo de matemática do youtube,aprendo muito com as suas resoluções!

[@profcaju]

🥰 Vlw pela super força, Guilherme 🤗 Tmj. Grande abraço

[@yasmimoliveira5292]

Professor você é simplesmente incrível! Está me ajudando bastante 😁

[@profcaju]

🥰

[@marialuisa.34]

só aprendo com você, seu trabalho é incrível

[@MegaRara25]

entendi tudinho!!!! olha que nao sei quase nada de analise combinatoria e permutaçao, vc é incrivel!!

[@profcaju]

🥰

[@ictorgrande]

tinha marcado a letra D porque eu não entendi a parte de "letras minúsculas diferem das letras maiúsculas" af

[@marialuisapeixoto2209]

Ótima resolução, Professor! É maravilhosa a forma que o sr destrincha os assuntos. Parabéns!

[@user-ok5cc4kx3m]

Esse professor merece milhoes de inscritos e, ele é o melhorrrrr

[@juliachagas4385]

Professor Caju, poderia gravar a questão 143 do ENEM 2016 ppl amarelo, pfvr? Um dos grandes desafios do Brasil é o gerenciamento dos seus recursos naturais, sobretudo os recursos hídricos. Existe uma demanda crescente por água e o risco de racionamento não pode ser descartado. O nível de água de um reservatório foi monitorado por um período, sendo o resultado mostrado no gráfico. Suponha que essa tendência linear observada no monitoramento se prolongue pelos próximos meses. Nas condições dadas, qual o tempo mínimo, após o sexto mês, para que o reservatório atinja o nível zero de sua capacidade? A 2 meses e meio. B 3 meses e meio. C 1 mês e meio. D 4 meses. E 1 mês

[@aranmeira1942]

Muito obrigado! sua didática me faz entender de verdade as questões

[@profcaju]

Uhull!!! Adorei seu comentário, Aran 😊 Brigadão pela força 🤗 Tmj. Grande abraço

[@veronicagama4741]

Vlwwww!

[@barlleymarques6883]

esse professor é fera!

[@epheby]

Excelente, obrigado professor.

[@stturyp]

Parabéns professor!! Ajudou muito a gente

[@rafaelabarreto5342]

Aqui a gente aprende de verdade

[@arthurdiasb]

muito bom obrigado

[@nataalvesdearaujo]

Valeu professor. Você poderia colocar mais resoluções dessa prova de 2016?

[@profcaju]

Olá Natã! Amanhã mesmo irá ao ar a resolução da questão 169 dessa prova! Mas se você quiser pedir a correção de alguma questão em específico, pode solicitar aqui nos comentários que eu gravo. Tem uma fila grande, mas tá andando 🤗 Tmj. Grande abraço

[@Luis-lp5sr]

perfeita a explicação, como sempre

[@laurabrasil4924]

Excelente explicação! Muito obrigada!!

[@uPortug4]

esse vídeo foi perfeito!! me ajudou demais e explicou muito bem, obrigado

[@mateususu]

Melhor explicaçao dessa questao.Meus parabens !!!

[@gabriellemarinho1484]

da um alívio qd eu acho resolução sua

[@EduardoSouza19_]

OBGRIGADOO

[@professordimasdamatematica1864]

Boa...professor....muito show...a explicação

[@joaovictorferrera699]

alguém pode explicar porque são permutações com repetição? pois dessa forma que está no vídeo tem-se que, por exemplo, ln12 é igual a nl21. agradeço desde já!

[@anyd4709]

então, quando permutamos, mesmo que o anunciado não fale, temos que levar em consideração que a permutação de letras ou números iguais é sempre uma. Isto é, Permuta 4 e 4 será sempre 4 e 4. Da mesma forma A e A, sempre será A e A. Portanto, não são duas opções. Diferente de 4 e 5. Pois 45 e 54 são números diferentes, entende? E como na questão fala que pode haver a repetição, fica subentendido que haverá alguma possibilidade de repetir as letras e os números, por isso permutamos, e com repetição.

[@joselima4556]

Professor obrigado, explicação top.

[@anyrul4515]

Que Professor da hora, explicação maravilhosa, com uma linguagem clara e sem muitos arrodeios. Adorei o vídeo me ajudou bastante vllw irmão(^○^)

[@FelipeOliveira-yp4hr]

Excelente resolução. Muito Obrigado! Abç.

[@giovannabueno4158]

tinha que ser a C ou a E, fui na C porque fui no raciocínio do final do vídeo kkkk Caju cê é essencial na vida dos estudantes, seu canal devia ser uma utilidade pública, ninguém explica como você

[@eduardasilva3147]

Ótima explicação!!

[@brendamoreira811]

Ótimo!!!

[@NoobnoComando]

Muito obrigada!!

[@mariceusilva7560]

linda resolução.

[@liviacavalcante3188]

muito boa a resolução!

[@luiseduardorodriguespereir4859]

obrigado, prof!!

[@MariaClaraSantosAraujo]

OBRIGADAAAAA POR ESSA RESOLUÇÃO PERFEITA!

[@alexiafreire7191]

Melhores resoluções!!

[@frogfrogsonjr]

Valeu professor! :D

[@profcaju]

🤗

[@nayareclaro657]

Oii, obrigada pelas resoluções! Poderias, se possível, resolver a seguinte questão, também do ENEM 2016: “Um adolescente vai a um parque de diversões...”

[@bernardocesar7259]

Professor, mas o princípio fundamental da contagem já não considera a permutação entre os fatores? não entendi a necessidade de ter que multiplicar pela permutação.

[@julianygadelha1312]

excelenteeeeee amei

[@luciminho6000]

os vídeos do Caju são atemporais kk

[@Meinicke1]

Valeu.

[@thamiriscarmo2844]

Muito bom!

[@MariaEduarda-oo2eg]

Professor nessa questão ele não leva em consideração as letras e os números em si, mas o fato de ser letra e número né? Porque se a gente pensar em uma senha AB12 É diferente de B1A2, e com isso, as letras e os números são diferentes e ñ faria sentido repetição

[@geovanakarine5201]

obrigadaaa

[@giovanna589]

prof, se os caracteres não pudessem se repetir a resposta seria 10^2 x 56^2 x 4! ?

[@profcaju]

Olá, Giovanna. Se os caracteres não pudessem se repetir (tanto as letras quanto os números), a resposta seria: 10·9·52·51·4! / (2!·2!) 🥰 Tmj. Grande abraço

[@gabriellycristinymagalhaes1458]

explicação perfeitaa

[@profcaju]

🥰

[@JoaoVictor-ut1ms]

very nice and geh

[@MajuHoseokkie]

Oii eu fiquei em duvida sobre a permutação do AALL Tipo, se eu permutar esses dois AA, eles não podem mudar? Caso sejam duas letras diferentes

[@ytallosilva8662]

A multiplicação de todas as possibilidades já contempla essa situação, 10x10 significa que há 100 possibilidades de se usar todos os algarismos pra criar um número com 2 casas. O mesmo pra letra, só que 52x52.

[@marinac.4668]

@Mauricio Castro amigo, qual é a pergunta que deveria ta ai para a resposta ser a dúvida da Maju

[@marinac.4668]

@Mauricio Castro MUITO OBRIGADA por continuar respondendo mesmo após já ter passado hahahaha, esclareceu dms, no fututo quero ser igual vc

[@bernardopapadakis]

Tive a mesma dúvida que você, e analisando, acho que entendi. A parada é que quando temos por exemplo (vou chamar o par de dois algarismos como A1 e A2 para conseguir diferenciar) o par de números "01", com "A1" sendo o "0", e o "A2" sendo "1", ao invertemos os algarismos, de A1A2 para A2A1, obtemos 10, que é diferente, correto? Correto, no entanto, no caso do exercício, "AA" representa 10 algarismos vezes 10 algarismos, ou seja, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 26, 28, 29... e por aí vai, se você perceber, só nessa sequência que eu dei, temos o número 01 e o número 10, se você perceber, sempre teremos a sua cópia invertida, pro 01 tem o 10, pro 02 tem o 20, e por aí vai... Pensando nos pares de algarismo trocados, A2A1 ao invés de A1A2, seria, invertendo cada par de número na ordem que escrevi antes, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 01, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81,91, 02, 12, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29... Logo, ao permutar os dois AA, temos que dividir por 2, já que ao inverter a ordem do par de algarismos, sempre vai ter um correspondente. Acho que essa confusão acontece, pois pensamos intuitivamente que só números iguais irão cortar, 11, 22, 33, mas não, o que ocorre é que esses números são exatamente iguais às suas copiais invertidas, tipo, no A1A2 temos o 22, que vai ser exatamente igual à sua cópia invertida A2A1, 22 tmb, agora pensando no 21 dentro do A1A2, sua cópia invertida no A2A1 é 12, logo, intuitivamente pensamos que, por eles serem diferentes, não poderíamos considerar uma permutação com repetição. Porém a parada é que nós também temos 12 no A1A2 e o par invertido de 12, no A2A1, é justamente 21, logo, a gente não consegue fazer essa associação de maneira tão intuitiva. Espero ter esclarecido sua dúvida, ou a de qualquer pessoa que esteja lendo isso e tenha passado pelo mesmo problema que passamos!

[@MajuHoseokkie]

@@bernardopapadakis Já estou na faculdade hehe :) mas muito obrigada pela explicação!! Li e foi bastante esclarecedora e espero que ajudem outros estudantes também 💖

[@CarlosAugusto-cm7lu]

Prof, nessa questão se não fosse permitido repetir número ou letra já usado, ainda assim usaria permutação com repetição no final para embaralhar?

[@madu.8409]

professor por mais que as letras e os números se repitam por exemplo: L24L e L42L são senhas diferentes como, mas com a configuração LAAL ,mas mesmo assim é permuta com repetição. Pq se elas podem não esta repetidas?

[@anajuliasangi4280]

perfeitooo

[@loicbrighton7957]

Professor, mas essa resposta está 100% correta? Se minha senha fosse, por exemplo, 8 8 A A, não vejo como ela se encaixaria nessa fórmula geral usando a permutação com repetição

[@profcaju]

Olá, Loic. A senha 88AA é formada por dois algarismos no início e duas letras no final. Ou seja, ela é do tipo AALL. Veja que quando calculamos a quantidade de senhas do tipo AALL, estamos utilizando 10·10·52·52, ou seja, estamos contabilizando TODAS senhas do tipo AALL que tenham dígitos repetidos (tanto algarismos repetidos dentro das casinhas AA ou letras repetidas dentro das casinhas LL). Se tivéssemos contado 10·9·52·51, daí estaríamos retirando as senhas com algarismos ou letras repetidas dentro das senhas do tipo AALL. Ao usarmos a permutação com repetição, estamos contando quantos TIPOS de senhas existem (chamei de "configuração" no vídeo, mas acho que "tipo" é melhor). E, dentro de cada tipo de senha, calculamos quantas senhas existem (10·10·52·52), que foram considerados os dígitos repetindo-se. Portanto, o raciocínio deve primeiro encontrar o tipo de senha pra depois contabilizar quantas senhas existem dentro daquele tipo 🥰 Tmj. Grande abraço

[@camilabeatrizfrotaoliveira1452]

Professor tudo bem contigo hoje ? Nessa questão eu fiz por combinação de 4, 2, 2, porque pensei que não precisa de uma ordem definita. Também está correto? Abraço e sucesso!

[@fhistology]

Pq não são mais que 6 formas de organização? Visto que letras maiúsculas e minúsculas são diferentes? EX: AANn, AAnN...

[@profcaju]

Olá Fernando. Quando utilizamos 52 para a quantidade de letras, já estamos contando as maiúsculas e minúsculas. Ou seja, para as formas de organização só precisamos pensar onde é que tem LETRA e NÚMERO, não precisando dividir em maiúsculas ou minúsculas 🤗 Tmj. Grande abraço

[@juanmonteiro4795]

Caju me tira uma dúvida conceitual do PFC , nessa questão por exemplo quando se aplica o princípio múltiplicativo da quantidade de letras em cada espaço e quantidade de números para cada espaço tipo aí falou que tinha que ter duas letras e dois números letras são 52 contando com as maiusculas e 10 números então dá 52²×10² só que ao fazer esse tipo de conta vc não tá levando em consideração a ordem de posicionamento das letras e números,ao fazer isso eu estou levando em conta uma ordem só tipo LLDD , e na LDLD e por isso se multiplica pela permutação deles que não caso é com repetição blz , o ponto que quero chegar quando se faz o princípio múltiplicativo vc não leva em conta a maneira de organizar os elementos certo ? Aí tem a questão do Enem 2019 do tênis que no caso não vou falar dela toda mas no fim das contas era para formar as duplas de tênis são 6 Destros e 2 canhotos , calculando SEM restrição , seria C8,2xC6,2xC4,2xC2,2 oqeu eu bugwui foi na real conseguir compreender o motivo de dividir pelo fatorail 4! , Eu entendi que vc falou que ao adotar esse princípio múltiplicativo vc consideraria os casos de ordem diferentes ,tipo dupla 1 e dois é diferente de dupla 2 e 1 oque não é vdd ,ok então ao multiplicar vc considera todas as formas de se organizar os elementos,MAS pq nessa questão não teve isso ,tipo eu multiplique os elementos mas considerei uma ordem 🙏ples tira essa duvida

[@raqueldecrisci3821]

Olá Caju, tudo bem ? Tenho uma dúvida. A alternativa C só seria correta se a questão estivesse falando que a ordem importa, certo? O 4!/2! se refere a um arranjo ?

[@luiiginunes]

fácil

[@augus8331]

Professor, bom dia. seria permutaçao com repetição se fosse 10 algarismos e 9 algarismos? (caso a questao fosse com restrição tal como o senhor falou no começo da resolução, isto é, sem poder repetir numeros e algarismos).

[@LucasReiss]

Bom dms

[@Esther-ho3st]

Ammeeeeeiiiii

[@mariaclarafeijo4623]

prof, quando eu faço PFC ou arranjo eu já não conto que a ordem importa? Então pq eu preciso permutar? Essa questão me lembrou a da unesp de 2017 dos blocos coloridos, nas duas eu aplico pfc e permuto e pra mim não há necessidade dessa permutação, já que pelo pfc(ou pelo arranjo) eu teoricamente já estaria contando todas as outras ordens. Vc pode pfv me explicar?

[@profcaju]

Ótima pergunta, Maria Clara! Pela sua pergunta, você possui uma base boa em Análise Combinatória! Você está corretíssima ao falar que PFC a ordem importa! Ou seja, dentro do valor 10²⨉52² não precisamos permutar!!!! Mas, olha só. O resultado 10²⨉52² é referente apenas à formatação AALL. Mas, existem outras formatações! Agora começa uma NOVA QUESTÃO! Esquece tudo que foi feito até aqui e pense comigo em uma nova questão que pede: ▶ Quantas maneiras existem de formarmos uma sequência de dois A's e dois L's? Ou seja, queremos permutar as letras AALL para saber quantos anagramas existem com 2 letras A's e 2 letras L's. Isso nos dá Permutação de 4 com 2 repetidos e 2 repetidos! 4!/(2!2!) que resulta 6. Ou seja, existem 6 diferentes anagramas de AALL. São elas: AALL ALAL ALLA LLAA LALA LAAL Agora podemos voltar à nossa questão do vídeo. Já sabemos que a formatação AALL tem 10²⨉52² senhas disponíveis. E já sabemos que existem 6 diferentes formatações, cada uma com a mesma quantidade de 10²⨉52² senhas. AALL - 10²⨉52² senhas ALAL - 10²⨉52² senhas ALLA - 10²⨉52² senhas LLAA - 10²⨉52² senhas LALA - 10²⨉52² senhas LAAL - 10²⨉52² senhas E não existe nenhuma outra formatação de senha. Por isso o resultado final é 6⨉10²⨉52². Eu falei um pouco sobre isso em 8:03 também 🤗 Tmj. Grande abraço

[@mariaclarafeijo4623]

@@profcaju professor, mas 10²x52² já não me dá todas as ordens? já que no pfc a ordem importa.

[@profcaju]

Sim! Todas as ordens de AALL. Dentro de 10²⨉52² estamos contando senhas do tipo 23aB e 32Ba. Mas não estamos contando Ba32. Veja que, na formatação AALL, a primeira casinha só pode conter Algarismo. Ou seja, esse cálculo de 10²⨉52² não está contando as senhas que possuem algarismo na terceira casinha, pois AALL só pode ter letra na terceira casinha. 🤗 Tmj. Grande abraço

[@mariaclarafeijo4623]

@@profcaju agora eu entendi!!! muitooo obrigada professor, o senhor me salva demaisss, já tava ficando doida aqui kkkkkk

[@profcaju]

Show 🤗

[@GuilhermeAlves-un5uq]

Caju, não achei essa no seu canal! Corrige ela pra mim, por favor! ENEM 2016- Primeira aplicação- PROVA AMARELA- 155- O setor de recursos humanos de uma empresa...

[@profcaju]

Feito, Guilherme! Adicionei a sua solicitação na fila de gravação 🤗 Tmj. grande abraço

[@jullekele8660]

Essa questão não poderia ser resolvida por combinação? Já que a ordem não importa

[@profcaju]

Olá, Julie. A ordem importa, sim. Veja que a senha AB12, por exemplo, é diferente da senha BA21, que usa os mesmos dígitos em outra ordem e forma uma senha diferente. Portanto, a ordem importa, sim 🥰 Tmj. Grande abraço

[@felipesilva5837]

@@profcaju Mas se considerar a Combinação de C4,2 = 4!/2!x2! Está errado?

[@arthursss1]

@@felipesilva5837 "Olá, Vic. Você está se referindo à contagem de quantas maneiras temos de posicionar 2 algarismos e 2 letras, não é? Eu coloquei AALL e permutei esses 4 elementos com 2 A's repetidos e 2 L's repetidos, chegando em 4!/(2!2!). Outra maneira de se pensar na quantidade de maneiras de posicionar 2 A's e 2 L's em 4 casinhas é o seguinte: começamos posicionando os A's. Ou seja, dentre as 4 casinhas, iremos escolher 2. Como a ordem de escolha não importa (pois os 2 A's são idênticos), temos um total de C4,2 maneiras de escolher 2 casinhas para posicionar nossos 2 A's. Agora que já escolhemos a posição dos A's, colocamos os L's nas 2 casinhas restantes. Ou seja, o total de maneiras de posicionar 2 A.s e 2 L's em 4 casinhas é C4,2=4!/(2!2!), como você encontrou 🤗 Tmj. Grande abraço"

[@editz962]

@@profcaju eu entendi que a ordem dos elementos importa, como você demonstrou nas senhas AB12 e BA21, que são diferentes. O problema é que, caso as letras escolhidas ou os algarismos sejam iguais, como na senha AA11, por exemplo, a ordem deixa de importar. Nesse caso, a troca de posição do A pelo outro A, ou do 1 pelo outro 1 não gera uma senha diferente. Essa é a minha dúvida, já que você não considerou isso na resolução.

[@profcaju]

Olá. Realmente, a senha que tenha números repetidos, como AB11, não estão sendo contabilizadas duas vezes. No cálculo apresentado estamos contando apenas uma senha, pois 11 e 11 são iguais. 🥰 Tmj. Grande abraço

[@luanaferreirarodrigues1724]

faalaaaaaa Galeraaaa!

[@Nicolas_Alberto]

Professor, uma dúvida sem ser dessa questão, mas sim do T.R.I. . As questões já tem seus níveis pré-determinados, ou as questões vão ser consideradas fáceis, médias e difíceis somente após a prova, quando eles poderão analisar a quantidade de acertos que cada questão obteve, e assim determinar seu nível...

[@profcaju]

Olá Nicolas! Não é assim. O INEP aplica as questões em um grupo de alunos antes da prova do ENEM e faz essa análise estatística com eles. Daí fica mais fácil de montar a prova fazendo um equilíbrio de questões fáceis, médias e difíceis. 🤗 Tmj. Grande abraço

[@CarlosAugusto-cm7lu]

!

[@victoriacarollina7771]

professor, me tira uma dúvida, por favor?! em vez de permutação eu fiz combinação e cheguei no mesmo resultado 4!/2!x2!, fazer por combinação também está certo ou eu acertei na cagada?

[@profcaju]

Olá, Vic. Você está se referindo à contagem de quantas maneiras temos de posicionar 2 algarismos e 2 letras, não é? Eu coloquei AALL e permutei esses 4 elementos com 2 A's repetidos e 2 L's repetidos, chegando em 4!/(2!2!). Outra maneira de se pensar na quantidade de maneiras de posicionar 2 A's e 2 L's em 4 casinhas é o seguinte: começamos posicionando os A's. Ou seja, dentre as 4 casinhas, iremos escolher 2. Como a ordem de escolha não importa (pois os 2 A's são idênticos), temos um total de C4,2 maneiras de escolher 2 casinhas para posicionar nossos 2 A's. Agora que já escolhemos a posição dos A's, colocamos os L's nas 2 casinhas restantes. Ou seja, o total de maneiras de posicionar 2 A.s e 2 L's em 4 casinhas é C4,2=4!/(2!2!), como você encontrou 🤗 Tmj. Grande abraço

[@victoriacarollina7771]

@@profcajuobrigada pela explicação professor. Sempre muito boas :D

[@dbzrpggamer]

excelente professor, muito obrigado