UK | A Nice Algebra Problem | Math Olympiad

[@zawatsky]

Проще всего решать через единицу: [(a-1)/a]⁴=(1-1/a)⁴=1. 1/a:=b. (1-b)⁴-1=[(1-b)²-1][(1-b)²+1]=0⇒(1-b)²-1=0 ∨ (1-b)²+1=0. 1-2b+b²-1=b²-2b=b(b-2)=0⇒b=0 ∨ b-2=0. Если a=0, 1/a=0⇒1=0a. 1≠0⇒a≠0. 1/a=2, a=½. (½)⁴=1/16. (½-1)⁴=(-½)⁴=1/16. a₁=½. (1-b)²+1=1-2b+b²+1=b²-2b+2=0. D=4-4*2=4-8=-4. √D=2i. b=(2±2i)/2=1±i. a=1/(1±i). a⁴=1⁴/(1+i)⁴=1/(1+i)⁴=1/(2i)²=1/(-4)=-¼. [1-1/(1+i)]=(1-i-1)/[(1-i)(1+i)]=i/(1-i²)=i/[1-(-1)]=i/(1+1)=i/2=-1/(2i). [-1/(2i)]⁴=1/{[(2i)²]}²=1/[(-4)²]=-1/16≠-¼.⇒a≠1/(1+i). 1/(1-i)⁴=1/{[(1-i)²]²}=1/[(1-2i-1)²]=1/[(-2i-2)²]=1/{[-2(i+1)]²}=1/[4(i+1)²]=1/[4(-1+2i+1)]=1/(4*2i)=1/8i=-i/8. 1/(1-i)-1=(1+i-1)/(1+1)=i/2. i⁴/(2⁴)=1/16. В общем, с комплексными корнями, по ходу, не совпадает либо правая, либо левая часть - как-то так... %)

[@SALogics]

Very nice! ❤