Un groupe d'ordre 15 est cyclique

[@samy9751]

Bonjour Monsieur peut on alors généraliser ce résultat dans le cas ou G est un groupe d'ordre a*b avec b>a tel que a ne divise pas b-1 ?

[@pascalortiz]

Bonjour, Dans la preuve ci-dessus que tout groupe d'ordre 15 est cyclique j'ai supposé admis qu'un tel groupe est abélien comme montré dans cette vidéo kzbin.info/www/bejne/hYK0n3eveZuEecU. Dans ces conditions, le raisonnement s'adapte pour tout groupe abélien G d'ordre p*q où p et q sont premiers distincts (avec ou sans les conditions que vous donnez). Mais, dans votre question, vous semblez faire allusion au résultat classique selon lequel tout groupe d'ordre a*b où a, b sont PREMIERS (qu'il faut indiquer sinon ça ne marche probablement pas) tels que a

[@alainrogez8485]

2:07 Np=1 (mod p), cela ressemble au théorème de Sylow.

[@alainrogez8485]

Bonjour. Pour prouver que G est cyclique, n'est-il pas plus facile d'utiliser les théorèmes de Sylow ? 15=3×5. Il y a donc des 3-Sylow et des 5-Sylow. N3 divise 5 et est congru à 1 mod 3, donc N3=1. De même, N5=1. Comme 3 et 5 sont premiers entre eux, les 3-Sylow et les 5-Sylow n'ont en commun que le neutre. En comptant le nombre d'éléments de ces deux groupes, cela donne 1+2+4 = 7 éléments. Les 8 éléments restants de G sont donc d'ordre 15 (car ils sont différents du neutre). G contient des éléments d'ordre 15, donc il est cyclique et ainsi abélien.

[@pascalortiz]

Comme indiqué en 00:23, je renonce volontairement à utiliser le simple théorème de Cauchy donc ce n'est pas pour utiliser le théorème de Sylow duquel découle immédiatement Cauchy et qui est bien plus complexe à prouver. Sinon votre raisonnement est correct et il a l'avantage de ne pas devoir nécessiter de savoir que G est abélien.