Предел последовательности #25 lim(a^n/n!)=0

Предел последовательности #25 lim(a^n/n!)=0.
Поддержать Проект: donationalerts....
Мои занятия в Скайпе: id22434...
Новая Группа ВКонтакте: volkovv...
Демидович #61

[@vitiavol]

спасибо большое! учусь в универе и завтра мат.анализ. Ваше доказательство буквально спасло!

[@AlexeyEvpalov]

Спасибо за понятное и подробное решение.

[@gleboni]

Спасибо большое за разбор! Могли бы вы рассказать, как научиться видеть такие решения? Как можно прийти к таким оценкам и так далее, а то когда только берёшься за задачу, ничего в голову не идёт

[@МихаилКириллов-и6у]

Возьмём k+1 такое, что k+1>|a|, тогда, если заменить знаменатели начиная с k+1 на |a| (дробь увеличится), кроме n, т.о. всё до k+1 - константа, а после бесконечно малая, т.е. изначальная посл. при n-> беск. зажата между 0 и бескончено малой, т.о. по Лемме о двух городовых сама является бесконечно малой, т.е. стремится к нули, т.е. имеет предел равный нулю.

[@ДарьяКузнецова-т5п]

Спасибо!

[@ValeryVolkov]

Дарья, спасибо за донат!

[@조성혁-y4m]

Best teacher good good

[@RomanMisakyan-mg8jl]

ochen slojno

[@ndimlovezacharielove7970]

Спасибо

[@inna1294]

Здравствуйте, а почему мы во втором способе взяли строго :k+1>2[a]?

[@gh8499]

спасибо за видео

[@sergeiivanov5739]

Не вижу смысла брать по абсолютной величине, поскольку степень и без того положительна, а факториал тем более. Речь идёт о поле действительных чисел, поэтому ясно, что a^n > 0 как для 0 < n < 1 так и для n > 1. Далее идея решения показать, что x_n = a^n/n! суть убывающая прогрессия, именно поэтому предел даст 0. Смотрим: a^n/n! = (a * a * … * a)/(1 * 2 * … * n) = a/1 * a/2 * … * a/n = = a/1 * a/2 * … * a/k * a/(k+1) * … * a/n. Ясно, что если a/k > 1 (а вдруг), то a/(k + 1) < 1, следовательно, все числа после a/k будут меньше 1. Отсюда следует, что имеем дело с убылью - предел даст 0, т. к. знаменатель будет расти. Примечательно выяснить истину неравенства a < n. Но оно очевидно, поэтому логично сказать, что коли a = const, то найдется такое число (с 1 до n), что a = k => a < k + 1.

[@faust8th316]

Здравствуйте, разве не достаточно расписать эту формулу 1:02 и, используя формулу, говорящую о том, что предел произведения равен произведению пределов, заключить, что предел искомой последовательности равен нулю ?

[@bladee5140]

интересная идея, но мне кажется так нельзя делать. Например, по такой логие lim(n/n) = lim(n) * lim(1/n) = 0, но это неверно

[@ken1b]

​@@bladee5140 так там не n же, а константа которая никуда не стремится

[@bladee5140]

Уже не понимаю, что я тогда написал, но нельзя перемножать, т.к. теорема о произведении пределов только для конечно числа пределов применима, если интересно​@@ken1b

[@РусланТопорков-й1п]

не понял как там двойку в числитель подняли)

[@кириллсыроежкин-х1и]

А нельзя ли было просто последний сомножитель представить как 0 (a/n стремится же к нулю)

[@nobodyisperfect4937]

+100500 !!

[@firstgoal9870]

Спасибо за видео

[@gemeni0]

Вы кажется доказали это уже в номере 30

[@_G0R_]

Да, там был рассмотрен частный случай, для a = 2. Я еще тогда понял, что lim = 0, при любом а

[@РоРо-ш8ч]

а нельзя ли просто показать что функция факториала растет быстрее чем степенная?

[@oruelmaiklmaikl2179]

математический анонизм .

[@luckiest-nf6mq]

ты о чём

[@sergeiivanov5739]

Гм! А через ряды нельзя... Действительно, ряд a_1 + … + a_n + … имеет сумму S, т. е. S = a_1 + … + a_n + … , которая суть предел частичной суммы, поэтому S = lim S_n. Но согласны ли Вы, что S - S = lim (S_n - S_n-1) = lim a_n = 0. И если данный предел не равен 0, то ряд расходится. Смотрим на вашу задачу: предел есть ноль. Значит докажем, что ряд расходится. Так думал я. Пока не вспомнил, что написал выше... В этом случае выясняется, что ряд мало того, что сходится, так его сумма равна e^a (разложите функцию e^x в ряд Тейлора, скажем). Кстати, сходимость подтверждается в этом случае как Раабе, так и Коши. И как исходя из e^a = a/1 + … + a^n/n! доказать, что ваш предел есть нуль? Да никак... Обычно помогает. Тут исключительно мажорируем общий член последовательно, ведь очевидно, что факториал растет быстрее - есть идея. Попробуем доказать. В силу a^n = e^(ln a^n) = e^(n ln a). Далее подгоняем числитель под знаменатель: n! = n! * (ln a)^n/(ln a)^n = 1/(ln a)^n * (n ln a)!. После этого имеем S = lim (ln a)^n * e^(n ln a)/(n ln a)! Положим t = n ln a и e^(n ln a)/(n ln a)! = e^t/t! Теперь у нас конкретное число - экспонента на факториал. Что растет быстрее? Взяв в руки калькулятор: e^10 = 22026.4657948, а 10! = 3628800. Внезапно :) Поэтому легко сказать, что lim e^(n ln a)/(n ln a)! = 0, но S нет, там бублик на бесконечность. Это неопределённость. берем в руки логарифм: ln S = lim n ln (ln a) + lim ln( e^(n ln a)/(n ln a)! ) = (ln (ln a)) lim n + (ln a) lim n - lim ln (n ln a)! = = (ln a + ln(ln a)) lim n - lim ln (n ln a)! = минус бесконечность. Почему? Правая бесконечность больше. Действительно, если ln k < k, то ln (n ln a)! < (n ln a)! а последнее больше, чем n. Тупо подставляя n = 1, 2, … , 00, можно убедится, что все верно. Будет накручиватся большое отрицательное число. Отсюда S = e^-oo = 1/e^00 = 1/00 = 0. Так, что мы доказали, что наш предел все равно есть 0. А значит a^n растет медленнее, чем факториал.

[@ЛавриченкоНиколай]

Честно говоря, это объяснение для тупиц только утомляет. Какие могли возникнуть вопросы в первом способе, у кого, черт уго знает.

[@drinkmypotion]

Последний член, который а/n при n->inf стремится к нулю. Можно принять его за нуль => и вся эта штука стремится к нулю, т.к. там произведение же..