無限と有限が繋がる！？面積無限の紙を少量のペンキで塗り切れるパラドックスがヤバい！【ゆっくり解説】

[@heroshihezaki3699]

発想が面白く図も分かりやすくてかなり楽しく拝見しました。 紙に厚さがない雰囲気で、回転させたそうしてできた立方体の表面に色を着けたりして、無限の紙を回転させたカップに無限の紙を入れて色を塗る、のは本当かしら？と思いました。 無限の紙でドリルでも作って旋盤でもするような感じかと思いました。

[@RoyRhys]

化学的には紙の分子構造より細くなると紙の構造が保てないので、面積は有限だろうね。

[@usejehwikuhehejidjcuruehje]

そういうとこが自然科学と形式科学の違いやろうね

[@暇人-i3g1d]

一方は面積で2次元、一方は体積で3次元。最初の紙の無限面積を体積に置き換えれば1×1×0×無限でしか、成立しない、かな

[@sezari9242]

伊あぁ間近仇､ﾏﾜﾔ⭕ですまま😅😅😅😢まぬさん ？ 。

[@namwons33]

このパラドックスの根本には、複数次元の♾️の扱いを等価に扱ってる点が有るのだと思います。 円柱の高さが♾️になるとき底面が1/♾️(ゼロ)になるわけですが、このとき底面はゼロ次元の円(つまり点)なので、円柱自体が一次元(つまり長さ♾️の線分)になります。 ここに長さ♾️で面積1の面を突っ込む訳ですが、面積がある以上、この面には(1/♾️では有るものの)非ゼロの幅が有ります。 要するに半径ゼロの円柱(線分)に幅非ゼロの面をはめ込めるということで、ここにパラドックスが生じます。 数学的には正しくても、我々が常識と感じる空間規則に反してるので、違和感が生じるものと思います。

[@namwons33]

ちなみに、同じ様に♾️×(1/♾️)のような構図が出るにも関わらず円柱の体積がゼロに収束し、面の面積が2に収束するのは、面積の方は1/♾️(半径)になるのが1次元で、体積の方は2次元(半径×半径)だから、体積の方が早く収束するためですね〜

[@暇人-i3g1d]

@@namwons33 まだいらっしゃるかな、体積は3次元じゃないのでしょうか？数学的には2次元？あるいは、この文書の円柱の底面を指して1次元と2次元と表現を？

[@namwons33]

@@暇人-i3g1d 円柱の長さ(高さ)が有限の間は底辺の半径も有限なので三次元ですね。 円柱の高さが無限大になったとき、底辺の半径がゼロ(1/無限大)になります。このとき半径がない円(半径が有れば二次元)が点(ゼロ次元)となりますので、高さしか無い円柱は一次元(始点があるけど長さが無限の線分)となります。 円柱自体が一次元なので、体積も一次元(長さ無限大×底面積無し)となります。 このおかげで円柱の体積がゼロとなるので、円柱の連なりの体積が有限に収束します。

[@暇人-i3g1d]

@@namwons33 「円柱自体が一次元なので、体積も一次元(長さ無限大×底面積無し)となります。」が動画で言う円柱にいれて両面を塗装する紙、「円柱の体積がゼロとなるので、円柱の連なりの体積が有限に収束します。」が動画でいうπ/2＾ｎ-1の円柱ですかね？

[@namwons33]

@@暇人-i3g1d さん 前者について。 両面を塗装する紙は、縦幅が無限大、横幅が1 ÷ 無限大ですが、面積(縦幅 × 横幅)は1なので縦幅・横幅共に非ゼロです。 よってこちらの面積は二次元のままですね。 しかし、これを回転させた円柱の体積は一次元になるところが不思議で違和感が出るところなのです。 二次元の面を回転させるのだから三次元になりそうなものですが、三次元の回転体だとすると(底面積が非ゼロかつ高さが無限大なので)円柱の体積も無限大になり、それを満たすには無限のペンキが必要になるのでパラドックス自体が成立しなくなるのです。 こちらの方が感覚的には納得しやすいですが、数学的にはそうはならないと。 後者はその通りです。

[@くまふぁるこん]

無限ホルンに無限ホテル、…どうも同じ無限と言ってもいくつか種類がありそうですね（濃度の話もありそうですし）。古代の人が無限を嫌ったのも分かりま💦 人間は大きな数を扱うのが苦手で、「1，2，いっぱい」と数える言語が多かったはずです。 実用上は現在でも兆やその上の京ぐらいしか使われることはなく、「無限」が実際に出てくるのは数学の中だけの話です。 数学と切っても切れない縁のある自然科学なら目で見たりして直観的に理解できることが多いですが、数学は完全に頭の中で思考実験するしかないので、 正確に理解するのが難しいのだと思います（←いまいち無限ホテルの話もよく分かっていない）

[@manpowerdtank]

最後にペンキの厚みの話が出てくるけど、数学での点には大きさがなく線には太さがない、有限の長さの線に無限の点を打つことができ有限の面には無限の長さの線が描ける。同様に、数学的に抽象化されたペンキは塗装に厚みがなく有限でも体積を持った時点で無限の面積を塗り潰せるだろう。ただ、この話のキモはそこじゃないんだよな。

[@tts-th3mc]

最後に物理学的には、って話があったが、そもそも長さが無限なので、ペンキを満たすには無限の時間がかかり(ry

[@aa-iz9eu]

これ今回は2次元と3次元の話だけど、1次元と2次元で同じような話をしようとするとどうなるんだろう なんとなく円が作れそうだけど

[@人浪-t6q]

コッホ切片っていう雪みたいな形の有名なフラクタル図形があるけど、あれは面積有限周長無限になる

[@lifeacademy5370]

面白かったです。ですが、最後に述べたように体積と面積を一緒にしては駄目ですね。この理屈が成り立つのは紙の厚さが０ｃｍの時だけですが、厚さ０ｃｍの紙なんて存在しませんからね。紙の厚さをどんなに０ｃｍに近づけても有限の値になるので、管の面積が無限に小さくなるのであれば、どこかで紙の厚さよりも小さい径になり、そこで引っかかって紙が管に収まらなくなります。まあ、こういった話は「ちょっとしたパラドックスを楽しむ」みたいな感覚で聞いた方がいいでしょうね。

[@morimarimo]

円柱を扇柱にして中心角を狭めたらもっともっとペンキをケチれそう

[@malo2793]

どこまでも狭められるので無限にケチれますね