Wie man π mit einem Würfel bestimmen kann (Pi Day 2023)

[@MischMat]

Das ist wirklich Leidenschaft pur, sich das Verfahren auszudenken, die Website zu programmieren und das Video mitsamt den 1000 Würfen aufzunehmen. Hut ab und fröhlichen Pi-Day! :)

[@mt31415]

Frohen Pi-Tag euch allen!

[@lukure04]

Ebenfalls 😉

[@minecrafter0082]

Danke, dir auch :)

[@mamoffel17]

❤ cool vid ❤

[@hanskywalker1246]

Gleichfalls

[@030dievorwahl4]

Jo ebenso

[@alexanderkobyzev263]

Chapeau für diese Riesen-Mühe und einen frohen Pi-Day! Bin nach 14 Versuchen auf 22/7 gekommen, also besser wird es wahrscheinlich kaum noch. Die heutige Challenge: 355/113 schaffen ;)

[@DorFuchs]

355/113 könnte man frühestens nach 113*4 = 452 Versuchen treffen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, hier genau 355 Treffer zu erzielen, ist Binom(452, 355) (pi/4)^355 (1-pi/4)^(452-355) = 0,045665... = 1/21,89856... Also wenn du immer wieder bis zum 452-ten Versuch durchziehst, dann schaffst du es im Durchschnitt nach 22 Versuchen. 😋

[@joni5028]

Super Video! Eine nette Überlegung Monte Carlo als Würfelwurf darzustellen und mit dem Tool schön die Rechnung im Fall eines Quadrats mit Rand erleichtert …. Aber die Dedication auch 1000 mal zu Würfeln verdient Respekt - versüßt meinen Tag

[@dustinbachstein]

"Viel zu viele" Treffer waren das ja gar nicht mal unbedingt. Mit nur 5 Treffern weniger hättest du eine Pi-Näherung von 3.14 bekommen, die für 1000 Würfe optimal gewesen wäre (die zweitbeste mögliche Näherung wäre dann schon 3,144). Bei 1000 Würfen beträgt ja die Standardabweichung 1000*pi/4*(1-pi/4) = ungefähr 13 Treffer, und damit eine erwartete Abweichung des geschätzten vom tatsächlichen Pi-Wert von 4*13/1000 = 0,052, d.h. das "normale" Intervall für das geschätzte Pi wäre von 3,09 bis 3,19, also kann man mit 1000 Würfen nur erwarten, Pi auf eine Nachkommastelle genau zu bestimmen. Dein Ergebnis lag also voll in der Standardabweichung, für genauere Pi-Bestimmung braucht man eben mehr Würfe (für 2 Nachkommastellen dann bereits 10000 Würfe für 9 weitere Pi-Days!) :D "1000 Würfe" sind ja in Wirklichkeit auch mehr als 1000 Würfe, weil ja noch die Extrawürfe fürs Reinzoomen hinzukommen :D

[@MrJonas1995]

Auf das Vorgehen bist du komplett selber gekommen, mit dem Wissen der Wahrscheinlichkeit von dem Viertelkreis? Richtig stark! Die Idee, daraus ein Koordinatensystem zu bauen und vor allem das "Ranzoomen" sind echt interessant

[@pi_xi]

Nein, diese Methode ist in der Numerik als Monte-Carlo-Verfahren bekannt und wird zur Berechnung von mehrdimensionalen Integralen verwendet. Hier wird als Spezialfall die Funktion f(x) = √ ( r^2 - x^2 ) integriert.

[@datpudding5338]

@@pi_xi Aber seine Erklärung verstehe ich wenigstens :p

[@MrJonas1995]

@@pi_xi Ah ok, cool danke. Vom Monte-Carlo-Verfahren habe ich sogar schon mal gehört

[@kglmg93f]

Der beste Wert den man kriegen kann wenn man weniger als 40.000 mal würfelt, ist, wenn man nach 452 Versuchen genau 355 Treffer geschafft hat.

[@leoloeffel5609]

Sehr cool und sehr stark. Ich stimme den anderen Kommentaren zu: Absoulute Leidenschaft die sich hier zeigt mit 1000 🤯 Würfen, einer Website und noch einem eigenen Verfahren. Happy Pieday!

[@orange-vlcybpd2]

Ich kenne das als Monte-Carlo Methode. Das ist echt cool.

[@fhurlbrink]

Vielleicht könntest du in deinem Tool einen Zufallsgenerator einbauen, der einem das Würfeln abnimmt.

[@MoBeMoyt]

Dann wär es aber kein echter Zufall. Echter Zufall ist sehr teuer

[@uroboric]

@@MoBeMoyt Im Grunde ist ja nichts echter zufall. Auch das real life läuft ja nach festen Regeln wie ein Computerprogramm. Bloß ist das real life ein bisschen komplexer

[@sagmalrasmus]

Großartiges Tool, auch wenn es sehr sehr langsam konvergiert!

[@dernougatstrudel8980]

Jedes Jahr am 14.03. weiß ich, dass ich mich auf ein Video von Dorfuchs freuen kann 🫶

[@theflash2873]

On the 14th of March, we celebrate Pi🧮 A special number that makes math geeks high⚡ It starts with three point one four and never ends🔚 A never-ending sequence that never bends⭕ Dorfuchs loves to calculate and solve Equations that would make most people evolve Into madness, confusion, and despair But not him, he loves the numbers and the care So let's raise a slice of pie to the sky And say cheers to the math whizzes who fly Through the digits and the decimals and the curves Like Dorfuchs, who has the math nerve!

[@jojogepard]

hab gestern extra apfelkuchen gebacken, frohen Pi-Tag euch allen

[@wissenschaftenundpraxishan1952]

Weil Apfelkuchen kreisrund ist, nicht wahr?

[@jojogepard]

wegen pie im englischen

[@winterfeuer7825]

Sehr gut erklärt, was ich von dir ja auch gewohnt bin =) Danke 💪

[@rayantilles]

Sehr lässig! Die Quadratmethode haben wir in Computermethoden der Physik im Studium auch schon programmiert. Die Idee daraus den Würfel zu machen ist schon klasse!

[@ripsad1847]

Brilliant! Mathematik aus einem ganz neuen Blickwinkel.👍

[@myvideo000]

Interessant, was man zum pi-Tag alles lernen kann. Tipp: Verwende für das b als Variable das Schreibschrift-b aus der Grundschulzeit.

[@pi_xi]

Monte-Carlo-Verfahren 😁 Es freut mich, dass du auch mal Methoden aus der Numerik vorstellst. Ein Teilgebiet der Mathematik, das von vielen nur belächelt wird.

[@mienencraft]

Wirklich interessant!!! 😃

[@sushiladevi9799]

I don't know German , still I've watched so many videos of yours..

[@martinis263]

Funfact: Heute ist nicht nur Pi-Day sondern auch Albert Einsteins Geburtstag und Stephen Hawkings Todestag

[@wissenschaftenundpraxishan1952]

Stimmt sogar!

[@OnyeteyevweChukwudiApopeporebu]

Ja mensch, das ist doch lustig. Ein Todestag. Toll

[@habernadine4968]

Das ist mathematisch korrekt

[@patrickwienhoft7987]

Wichtig ist noch, die Würfel konsistent zu ordnen - entweder mit unterscheidbaren Würfeln, wie du es gemacht hast, oder aber indem man bspw. immer die kleine Zahl auf der senkrechten Achse einträgt. Visuell landet man damit immer unterhalb der Diagonale des Quadrats.

[@cwcoc170]

Könntest du es so machen, dass alle ergebnisse zusammengezählt werden und sich sm ende das DorFuchs community-Pi ergibt?

[@wissenschaftenundpraxishan1952]

Das ist richtig genial!!! Super!!!

[@Florian.Dalwigk]

Was für ein Zufall, dass wir beide heute eine gleiche Videoidee zu Pi hatten :) Dein Zufallszahlengenerator gefällt mir aber besser ;) Viele Grüße!

[@CountOfWoodlands]

Leider schade, dass sich so intelligente und hilfsbereite Menschen wie du sich nicht besonders vermehren. Die Welt wird immer dümmer.

[@horstschattenhirn9081]

hab keine Ahnung von Mathe und einfach 'nen Apfelkuchen gebacken ... der ist auch nicht ganz so geworden, wie ich mir das gewünscht hätte ... happy Pie Day!

[@multiarray2320]

bevor ich auf das video geklickt habe, habe ich mir gedanken gemacht wie man das mit würfeln machen kann. ich bin auf eine sehr ähnliche lösung gekommen. deine ist aber eleganter.

[@klausewitz5216]

Ich feiere ja den pi-day am 22. 07. (22/7) Das ist nämlich genauer als am 14. 3. (3,14).

[@soccerxop]

Geiles Video! Frohen Pi-Day!

[@T1T0R3]

Coole Idee. Die Würfelarbeit könnte man sich bestimmt auch mit Excel etwas erleichtern (aber das wäre natürlich nur halb so witzig) ;)

[@skyscraperfan]

Zumindest, wenn Excel hinreichend "zufällige" Zahlen produziert. Das kann der Computer nur mit Hilfe eines menschlichen Inputs. Zum Beispiel kann der Mensch eine Taste drücken, Excel kann dann die Microsekunden seit 1970 berechnen und daraus dann durch ein paar Rechenoperationen eine unendliche Folge gleichverteilter Ziffern erzeugen. Die sind dann allerdings auch zu "pseudo-zufällig".

[@T1T0R3]

@@skyscraperfan Hm naja, wenn man so rangeht, dann könnte man aber auch mehr oder weniger jeden Würfel kritisieren. Die sind ja in der Regel auch nicht ideal ;)

[@bernhardammer5106]

Ja ja, die gute alte Monte-Carlo-Methode. Ob wir die in der Schule richtig durchgenommen haben, oder ob sie nur erwähnt wurde, weiß ich nicht mehr. Nun ja, ca. 40 Jahre sind auch eine lange Zeit. 😉 Einer meiner Lehrer hat sich recht viel mit solchen Zufallsexperimenten beschäftigt. Hat fleißig Würfel und Heftzwecken geworfen, und die Ergebnisse mit Programmen auf seinem programmierbaren Tachenrechner ausgewertet.

[@florianbauer2463]

Für den Fall das die Würfel nicht perfekt mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine Zhal anzeigen, müsste man das Verfahren umdrehen, sprich unten Links wäre die 6 und nach oben/rechts die kleineren Zahlen. Vlt würde man mit dem Durchschnitt schneller ein korrektes Ergebnis bekommen

[@sushiladevi9799]

You should give English subtitles at least, if not description.

[@isabellemuller7498]

Happy pi day

[@impossiblephysix2633]

Genial 👍

[@magic_opi]

Geniale Idee!! Frohen pi-Tag!

[@filmaadin]

Herrlich!

[@zukunftssicher]

Coole Idee. Hatte schon überlegt, das mal in Excel zu versuchen. Aber jetzt bietest du ja schon so nett deine Seite an. Dann nutze ich das mal😅

[@stevetimelinger9679]

tolles video

[@MangoNutella]

Ich wusste schon, dass du anlässlich des heutigen Tages ein Video machen wirst :D

[@alexgamingtv7118]

Fröhlichen Pi Day!!

[@makaveli_9457]

Ist echt ne schöne Aufgabe mit dem Viertelkreis im Quadrat

[@glumaz5590]

Ich habe das ohne Würfel einfach mal so ausprobiert. Drei mal etwas unklares und danach etwas klares macht daraus bei mir 4 und danach bleibt es 4 bei jedem Treffer.

[@dongwooxv5318]

Ein frohes Pi-Day!!

[@blenderpete]

Selten hat es so viel Spaß gemacht, jemandem bei Würfeln zuzuschauen 😊

[@habernadine4968]

So ist es, Bruder^^

[@Chris-gx1ei]

Jetzt muss ich an die Kritik eines Freundes von mir über Gauß denken, die er unserem Mathelehrer gesagt hat: "Wie ist der überhaupt auf diese Komplexen Rechnungen und Gleichungen gekommen? Das selber herauszufinden dauert doch ewig, hat der Typ kein Leben?" Das ein der Legendärsten Sätze aus meinem Abi-Jahrgang gewesen 😂 Aber ist doch so, wie viel Zeit nehmen sich Leute bittesehr für sowas wie im Video oder für das was Gauß und so alles gemacht haben? 😅😅😅

[@habernadine4968]

Für Gauß war vieles o.B.d.A. trivial

[@Carusme]

Frohen Pi-Tag an alle, hab heute schon einen Pi-Contest in der Schule gewonnen :D

[@Amon_Gus6969]

Extrem gutes video

[@SM321_]

Update zur Doktorarbeit 🙏🙏 Intuitive Einführung in Funktionalanalysis Playlist 😭😭🙏 Playlist zu Millennium Problemen 🥰🥰🙏

[@midgardgamingMD]

Wenn man sonst nix zu tun hat.^^ Schönes Video und noch einen schönen PI Day.

[@Armara1989]

Sehr cool :)

[@morril_]

Das Video kommt doch aber zwei Tage zu früh, wo doch eindeutig gezeigt wurde, dass π = 3,16 ist. Naja ... Schönen Pi-Tag an alle :)

[@vinzenzgeisler]

cooles video. lernst du in der Freizeit programmieren?

[@mofalaufkultur46]

Grande!!

[@patrickwienhoft7987]

Man auch einen größeren Würfel verwenden. Die Rechnung ist die gleiche und mit größerem Würfel wird auch die Wahrscheinlichkeit in so einem "Noch Mal würfeln"-Fall zu landen kleiner. Wird der Würfel sehr groß, kann man dieses nochmal Würfeln auch auslassen und einfach nicht zählen. Dann erhält man nicht genau Pi, aber je größer die Anzahl der Seiten des Würfels, desto kleiner die Abweichung

[@domr.2694]

Sehr cooles Video :)

[@Godchilla]

HAPPY PI-DAY! 🙂

[@christophkuntz8523]

In 400 Jahren findet dann irgendein Quantencomputer die Dorfuchs Berechnung von Pi so schön, dass es für die nächsten 40.000 Stellen zur Standardberechnung erhoben wird.

[@habernadine4968]

So ist es, Bruder^^

[@phis7230]

cool.

[@nerdlichbynature]

Super Idee! Konvergiert das evtl. schneller, wenn man das Volumen einer (n-dimensionalen) Kugel als Basis nimmt, also pro Schritt n Mal würfelt?

[@anonymeperson7092]

Es erinnert mich etwas an "Kuhfladen-Bingo"

[@christianschneider4926]

Wenn du zwei würfel nimmst ist der mindestwurf 2 Du solltest einen 12 Saitling nehmen!

[@mazeltov6752]

Kannst du mal bitte ein Video zu Grahams Zahl machen?

[@sandundhund]

Dank des Videos ist der Pi Day wohl der 16.3 jetzt :D:D

[@Jaweissnich]

Nach 100 Versuchen ist mein diesjähriger Pi Day schon der 8.3. gewesen.

[@ghostban3743]

Meine Kategorie, unnützes Wissen hat sich eben hochgewürfelt.

[@notenoughmice]

Dann ist doch erst übermorgen Pi-Day bei dir! 😉

[@TheTherichie89]

Kenne das aus der Monte Carlo Simulation. Das wird dann mit dem Kreis bestimmt

[@aaronwelther3536]

Ihr kennt die "normale iwas - deutsche iwas" memes? Wir haben ihn gefunden: den deutschen matt parker :) Super video, freu mich immer, wenn du wieder eins veröffentlichst!

[@Lotschi]

ist die Musik, die du am Ende eingespielt hast deine eigene? Ich finde die nämlich mega!

[@DorFuchs]

Ja, die hatte ich damals mal für das Video erstellt, wo ich meinen silbernen Play-Button ausgepackt habe.

[@Lotschi]

@@DorFuchs 👍 Menschen wie du, inspirieren mich auch selber musikalisch mich auszuprobieren! Heute hab ich mein erstes solches Video hochgeladen.

[@Lotschi]

7:10 Ist „fast sicher“ eigentlich ein mathematisch definierter Begriff? Ich hab mich letztens mit einem Freund über die mathematische Definition von „fasst alle“ unterhalten, war eine sehr witzige Diskussion!

[@JoGurk]

Ja, ist es. Fast sicher heißt "Mit einer Wahrscheinlichkeit von Eins". Das heißt aber nicht, dass das Ereignis "sicher" ist, also "in jedem Fall" eintrifft. Zum Beispiel: Wirf unendlich oft eine Münze. "Fast sicher" wird irgendwann Kopf geworfen. Das heißt aber nicht, dass "sicher" irgendwann Kopf kommt, weil es ja möglich ist, dass ausschließlich Zahl geworfen wird (auch wenn dieses Ereignis eine Wahrscheinlichkeit von 0 hat).

[@Lotschi]

@@JoGurk ok, danke 😄

[@shadows143]

Hätte noch ne Simulation in Mathematica oder so interessant gefunden.

[@furkani.]

Happy Pi-Day

[@fufu_212]

Sehr spannend! Und theoretisch müsste ein Würfel mit 12 oder sogar 20 Seiten ja schneller sein. Nicht schneller konvergieren, aber die Fälle, in denen man erneut würfeln muss, sollten prozentual weniger sein. Also könnte man das ganze dadurch noch beschleunigen;)

[@furstottovonbismarck8724]

Mit einem Unendlich-eder bräuchte man nie erneut würfeln. Würds dann auch genausoschnell konvergieren? Mich würd interessieren welches Polyeder als Wüfel am geeignetsten wäre um am schnellsten auf die Lösung zu kommen..

[@CrafterLui]

Jaaaa

[@hassanalihusseini1717]

Das ist ja Verarschung pur, mußte sofort an die "Radosophie" denken. Ich verwende einen Zufallsgenerator. Wenn die n- te Stelle beim ersten Versuch nicht mit Pi uebereinstimmt, wird eine neue Zufallszahl erzeugt.

[@drderbe]

6:5x4:3x2:1 = 3,2 dieser Näherungswert reicht mir persönlich - muss jetzt los

[@JayFolipurba]

Lange nich gesehen! 2012 lässt grüßen

[@quinn_tessa]

Hast du JavaScript mal selber würfeln lassen? Wie lang braucht der Algorithmus zum Würfeln?

[@lt-ganymed]

Wenn ich das dem guten Monte-Carlo erzähle 😜

[@ingohuse1928]

Ich habe mal ein kleines Programm geschrieben, das das Würfeln übernimmt. Nach etwa 270 Tausend Versuchen liegt das Ergebnis mit ca. 3,67 deutlich über Pi.

[@spekulatiu]

wilst du auch was zum tau tag machen?

[@Drakonaa]

Es ist schon wieder Pi Day???? Wo ist die Zeit hin...

[@Markus-je5km]

Monte Carlo Methode?

[@ribaldc3998]

Das hab' sogar ich verstanden, denke ich....

[@litbmeinnick]

Wenn man unendlich viel würfeln könnte, hätte man somit ein Maß für die Unfairness der Würfel.

[@XuMuKHC]

Monte Carlo day 🙂

[@Booyaka]

Digger was 😂 bin alle 10sekunden raus 😂

[@minhuang8848]

Monte Carlo bester Carlo

[@burgitech8643]

Aus der Kombination aus zwei Zufallsexperimenten einen Radius zu bilden, .... da kommt auch nur ein Mathematiker darauf.

[@JuHu427]

bei 1000 Versuchen in der Praxis könnte auch schon die Qualität der physischen (realen) Würfel das Ergebnis beeinflussen?

[@juttagut3695]

Sollte man nicht die größeren Quadrate stärker gewichten als die kleinen? Ein 1/6 * 1/6-Quadrat trägt ja mehr zur Fläche bei als ein 1/36 * 1/36-Quadrat.

[@lukascampidell9376]

Hatte 3.12 nach 150 mal würfeln.

[@roncondor9249]

Fröhlichen Pi-Day. Die Punkte auf Ihren Würfeln sind ausgebohrt. Je mehr Punkte die Zahl hat, desto mehr verschiebt sich das Gewicht auf die Seite mit den höheren Zahlen. Am Ende kommt bei manuellen Würfeln ein etwas höheres Pi heraus. Meiner Meinung nach haben Sie die Stärke dieses Effektes errechnet.

[@MsDancer5000]

Ui das dient uns als Community als Beweis, dass er wirklich 1000 Mal gewürfelt hat. Er hätte ja auch nur die Würfe mit echten Würfeln würfeln können, die er auch filmt. Und alle anderen Würfe heimlich vom Computer machen lassen

[@skyscraperfan]

Interessant wäre es, das automatisch mit einer Million oder einer Milliarde (Pseudo-)Zufallszahlen zu probieren. Man könnte auch die Zahlen irgendeiner Konstante mit gleichverteilten Ziffern nehmen. Zum Beispiel e. Dabei ignoriert man einfach alle Ziffern außer 1 bis 6. Wurzel 2 würde auch gehen oder von mir aus Wurzel 17. Es müssen nur genügend Ziffern bekannt sein. Man könnte auch pi selber nehmen. Dann hat man pi zwar durch sich selber berechnet, aber dabei nur die Eigenschaft verwendet, dass die Ziffern von pi gleichverteilt sind. Würfeln könnte das auch mit einem Ikosaeder. Der hätte den Vorteil, das weniger Quadrate mehr als einen Schritt benötigen. Bin mir noch nicht sicher, ob das Verfahren mit einem Viertelkreis besser geht als mit einem ganzen Kreis. Dazu müsste man die Quadrate zählen, die ganz drinnen oder ganz draußen liegen. Könnte man mit 1000 Versuchen pi nicht sogar noch exakter berechnen, wenn man nicht würfelt, sondern strategisch Punktepaare auswählt? Erst einmal alle 36 Paare aus einem Versuch und bei den Quadraten, die nicht ganz drin und nicht ganz draußen liegen, macht man dann weiter. Die Frage ist, wie weit man dann mit 1000 Versuchen kommt.

[@uwose]

Zum letzten Abschnitt, systematisch über alle Kombinationen aufsummieren, statt sich dem Zufall anzuvertrauen: Dann würde ich 2 Würfel mit z.B. 256 Seiten simulieren. Die erste Näherung erhält man durch alle Felder, die komplett innerhalb oder außerhalb des Viertelkreises liegen. Für die zweite Näherung zoomt man alle bislang unberücksichtigten Felder 256-fach und nimmt dort wieder nur alle Felder, die komplett innerhalb oder außerhalb liegen (den Wert der ersten Näherung kann man dann 256 x 256 Mal verwenden und muss ihn nicht jedes Mal neu berechnen). Sinnvoller wäre allerdings, gezielt den Rand zu suchen, statt flächendeckend alle Quadrate auszuwerten. Doch spätestens jetzt sind wir von der ursprünglichen Idee des Würfelns - die so unglaublich erschien - ziemlich weit entfernt.

[@skyscraperfan]

@@uwose Da wächst der Aufwand aber auch exponentiell mit der Anzahl der Würfel.

[@uwose]

@@skyscraperfan Du meinst, der Aufwand wächst quadratisch mit der Anzahl der Seiten. Die Anzahl der Würfe kann man auf diese Weise drastisch reduzieren, vor allem wenn man gezielt den Rand detektiert. Jede Kombination muss man höchstens einmal berechnen und ihr Ergebnis wird dann für weitere Berechnungen einfach wiederverwendet. Von mir aus kann man auch Würfel mit nur zwei Seiten verwenden (auch Münzen oder Bits genannt).

[@multiarray2320]

in meinem kommentar hatte ich das rrgebnis von 10 millionen würfen gezeigt. hat sich nur auf zwei nachkommastellen angenähert, ist also ein unglaublich schlechter algorithmus.

[@helmuttrzoska4572]

Kannst du die Würfel reklamieren? Sie scheinen defekt zu sein 🤣

[@maltethehutt4498]

Fröhlichen Pi day! ◯ = π × --

[@melonenlord2723]

Fehlt noch ein Button, der einen automatisch virtuell n-mal Würfeln lässt, wenn man zu faul ist. :D

[@impossiblephysix2633]

Warum verfälscht das reinzoomen nicht die gleichverteilte Zufälligkeit eines Treffers ? Denn nach dem reinzoomen ist man doch im Fall der bedingten Wahrscheinlichkeit. Oder habe ich einen Denkfehler?

[@svenreichard8726]

Wir können jede reelle Zahl im Einheitsintervall im 6er-System darstellen, fast alle davon eindeutig. Also entspricht eine unendliche Folge von Würfen einer gleichverteilten Zufallsvariablen in [0,1]. Allerdings brechen wir das Würfeln ab, sobald feststeht, ob der entsprechende Punkt innerhalb oder außerhalb des Kreises liegt.

[@impossiblephysix2633]

@@svenreichard8726 danke für die Antwort. Ich habe auch nochmal nachgedacht und hab es mir so erklärt dass man bei den eindeutigen Punkten aus einem ersten Wurf ebenfalls weiter verfeinern könnte es aber unsinnig ist da in jeder rasterung jedes Feld gleich gefärbt ist.