WURZELGLEICHUNGEN mit binomischen Formeln und 2 Wurzeln

Wurzelgleichungen mit binomischen Formeln und 2 Wurzeln
In diesem Video geht es um Wurzelgleichungen. Ich erkläre euch an Beispielen wie man die binomischen Formeln anwendet und die Lösungen der quadratischen Gleichung findet. In einem zweiten Beispiel haben wir 2 Wurzeln in der Gleichung. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Wurzelgleichungen mit 2 Wurzeln
0:28 Beispiel 1: Wurzelgleichung lösen
6:00 Beispiel 2: Wurzelgleichungen mit binomischen Formeln
11:43 Bis zum nächsten Video :)
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[@oleritthaler1421]

Danke einfach nur Danke wirklich super erklärt hast mich einfach gerettet

[@olgaschmidt3752]

Ach ich freu mich! 👏 Habe es dank Dir so toll verstanden!! Ich Habe das Video angehalten und dann alleine gerechnet und schon hatte ich das gleiche Ergebnis wie du! Viele lieben Dank du hast mir sehr geholfen ♡

[@MathemaTrick]

Cool, das freut mich sehr, dass du es so gut verstanden hast!! 😍

[@p4ul1scr4zy]

Super gut erklärt, war krank und nicht in der Schule , hab es dank dir richtig gut verstanden👍👌

[@MathemaTrick]

Hey Paul, freut mich, dass ich dir weiterhelfen konnte! Hoffe du bist jetzt wieder fit! 🥳

[@user-lh5nf3gf6s]

Danke, ist das hochqualitativste Video was ich dazu gesehen habe. Abonniert :D

[@MathemaTrick]

Das freut mich total, danke dir! Dir ein schönes Wochenende!

[@utedalheimer1742]

Dankeschön 👍

[@psxchofnr6329]

Sehr gute erklärenung danke

[@michaelstahl1515]

Tolles Video . Ich habe SQR ( x+10 ) isoliert und exakt das gleiche Ergebnis erhalten .Hat Spass gemacht.

[@anneelovesyou]

Vielen Dank, das ist wirklich ein sehr gutes und informatives Video! Ich hätte es nur noch ganz hilfreich gefunden, wenn du nochmal die binomische Formel und die pq Formel vor der Anwendung gezeigt hättest, aber ansonsten, top! :)

[@bluedaywalker2008]

hallo Susanne, mein Kompliment..... ....ich bin mittlerweile 71 und sehe mir mit zunehmender Begeisterung Deine Videos an. Ich war zu Schulzeiten in Mathematik eher abwesend und habe bei Kurvendiskussion/Integralrechnung und Wahrscheinlichkeitsrechnung eher weg gehört. Mittlerweile hast Du mich durch Deine Videos für Mathe begeistert und fest gestellt, dass unser Unterricht gut war und einiges aus den Tiefen meiner Erinnerung wieder zum Vorschein kommt.Leider hatte ich nicht eine solche Pädagogin.

[@MathemaTrick]

Heeey, Dankeschön für die lieben Worte!! 😍 Freut mich sehr, dass dir meine Videos gefallen! ☺️

[@DoxxTheMathGeek]

Ich bin zwar nicht wirklich gut im Gleichungen lösen, aber es macht mir Spaß!

[@carolinlinder922]

Hey Susanne, danke für das tolle Video. wie gehe ich mit einer gleichung mit 3 Wurzeln um? Liebe Grüße Caro

[@ynosaut3505]

Danke 😊

[@MathemaTrick]

Sehr gerne! Ist das gerade euer aktuelles Thema?

[@ynosaut3505]

@@MathemaTrick ja genau. Ein Teil davon zumindest. Gleichungssysteme quadratische gleichung und natürlich Mechanik ;)

[@MathemaTrick]

Mechanik? Dann machst du aber was Spezielles oder? :-)

[@ynosaut3505]

@@MathemaTrick werkmeister maschinenbau und Betriebstechnik Mathe haben wir ja eigentlich nur, um in Mechanik überhaupt was rechnen zu können 😬

[@AnaJHMH]

Das sieht so einfach aus. Und ich kann das immer noch nicht. Bis Freitag muss ich das kapiert haben.

[@user-ms2kh4dk6l]

und geklappt?

[@MrPlaya1999]

theoretisch hättte man auch das wurzelgesetzt verwenden können wenn man zwei wurzeln auf einer seite hat oder ?

[@nvrmind9409]

Kann man bei 3:30 auch die Mitternachtsformel anwenden? Jedenfalls kenne ich nur die und ich hätte diese auch an der Stelle angewendet :)) Ps.: Deine Videos helfen mir echt mega weiter, danke!!!

[@jensraab2902]

Sicher, die Mitternachtsformel kannst du bei jeder quadratischen Gleichung benutzen. Susanne sagt das übrigens auch (bei 2:50), nur bezeichnet sie dort die Mitternachtsformel als a-b-c-Formel. 😉 Ich habe bis vor kurzem eigentlich fast immer die Mitternachtsformel benutzt, aber nehme seit einiger Zeit vermehrt die pq-Formel - und zwar dann wenn das x² schon ohne zusätzlichen Faktor auftaucht und der Faktor vor dem x eine gerade Zahl ist. In diesen Fällen sind die Rechnungen mit der pq-Formel um einiges einfacher (und dadurch schneller). Wenn, wie in dem Beispiel in diesem Video, der Faktor vor dem x nicht gerade ist und deshalb unter der Wurzel Brüche entstehen, würde ich auch mit der Mitternachtsformel rechnen.

[@pyuc]

9:29 dürfte man hier auch die - 14 direkt mit verechnen? Also 49 + 10 - 14 Wenn nein waurm nicht?

[@Helo2237]

Warum werden bei der Probe nur die positiven Lösungen der Wurzel berücksichtigt ?

[@sebastianheinemann4141]

Die Lösung einer Wurzel ist als positiv definiert. Wurzel(4) = 2 [und nicht 2 und -2], anders ist es mit x²=4. Dort ist die Lösungsmenge L={-2, 2}, denn man rechnet 2²=4 und (-2)²=4. Also nochmal: Wurzel ergibt IMMER positive Zahl. Zwei Lösungen (pos und neg.) gibt es nur bei der Lösung von x².

[@murdock5537]

Danke, schönes Beispiel und super erklärt. Eventuell wäre es hilfreich, darauf hinzuweisen, dass x=3 eine Lösung für die quadrierte Fassung ist, nicht aber für die ursprüngliche Funktion. Die Formulierung "nicht wirkliche Lösung" ist etwas verwirrend. Gerade diese Hinweise unterscheiden "Lernen" von "Verstehen", wie Rudolf Taschner, der österreichische Mathematiker und Politiker, in seinen Vorträgen - siehe mathspacewien - erläuterte. Eine graphische Darstellung würde vieles deutlicher machen. So ist f(x) = SR(x+1) ja eine nach rechts geöffnete "halbe" Parabel, die bei x= -1 beginnt. Da g(x) = x-5, muss der Schnittpunkt von g(x) und f(x) bei (3, 8) sein.

[@jeanzakaria9569]

Sie sind meine Rettung. Meine Kinder hassen Mathe wegen mir.

[@MathemaTrick]

Freut mich sehr, dass ich helfen konnte! :)

[@TJIconer]

5:53 ... (-2)² = 4 so müsste doch -2 auch zur Lösungsmenge gehören?

[@aryyuki]

dachte ich mir eigentlich auch

[@sz1281]

1. Die möglichen Lösungen sind 8 und 3, konsequent wäre bei dir ... (-2)² = 4 so müsste doch 3 auch zur Lösungsmenge gehören? 2. Definition: Wurzel aus a ist die nicht negative Lösung der Gleichung x^2 = a Damit kann Wurzel aus a nur positiv oder =0 sein und es gibt für Wurzel aus a stets nur genau eine Lösung. Beispiel: x^2 = 4 hat die Lösungen 2 und - 2, "Wurzel von 4" ist die nicht negative Lösung, also "Wurzel von 4" = 2 Hier ergibt sich in der Probe "Wurzel von 4" = - 2 , das ist falsch, deshalb gehört 3 nicht zur Lösungsmenge.

[@sebastianheinemann4141]

Die Lösung einer Wurzel ist als positiv definiert. Wurzel(4) = 2 [und nicht 2 und -2], anders ist es mit x²=4. Dort ist die Lösungsmenge L={-2, 2}, denn man rechnet 2²=4 und (-2)²=4. Also nochmal: Wurzel ergibt IMMER positive Zahl. Zwei Lösungen (pos und neg.) gibt es nur bei der Lösung von x².

[@fx3907]

ICH KÜÜÜSSS DEIINN HERZZZZ

[@lalamuller1630]

Bei Minute 3:22 verstehe ich nicht ganz weshalb wenn man ein x abziehen muss es von 10x auf 11x kommt und nicht -1 also 9x ?

[@sz1281]

Hier ist nicht 10x - x = 9x zu rechnen, sondern - 10x - x = - 11x Anschaulich: 10 € Schulden (miese) und noch ein Euro Schulden ...

[@2711Green]

Hallo Susanne, Ich rechne es immer wieder durch, aber ich komme nicht weiter. √3x-3 + √4+3x=√6x+25 Hab am Ende 9x²+3x-156=0 .... 🤔

[@user-ql6pi5cd2w]

warum ist es nicht möglich einfach zu quadrieren somit fallen die wurzeln weg und es steht x+3 + x+10 = 49 und man rechnet so weiter

[@alrahalmohamed9555]

love y

[@gamesuniverse203]

Liebe Susanne, ich hätte eine Frage bei der Minute 5:40. Ist es eigentlich nicht so, dass wenn man aus einer Zahl die Wurzel zieht, dass zwei Ergebnisse kommen? Einmal die Positive und einmal die Negative Zahl? In diesem Fall wäre ja die Wurzel aus 4 einmal 2 und -2, oder nicht?

[@elchanmahmudov6517]

hab ich mir auch gedacht

[@jensraab2902]

Nein. Das Wurzelsymbol steht (in |R*) explizit für die positive Lösung. Was du wahrscheinlich im Hinterkopf hast, ist dass es für die einfache quadratische Gleichung x² = a zwei Lösungen gibt: +√a und -√a. Hier deckt man beide Fälle ab, √a (was definitionsgemäß immer positiv ist) und -√a (die negative Lösung). Wenn du die pq-Formel anschaust, die Susanne verwendet, siehst du, dass sie beide Fälle zusammenfasst, indem sie statt +√... und -√... einfach nur ±√... schreibt. Man muss sich bei 5:40 nicht um den negativen Fall kümmern, weil man ja die vermutliche Lösung als Probe in die Ausgangsgleichung einsetzt, und in dieser Ausgangsgleichung wird ja auch das Wurzelsymbol benutzt, das auch dort *nur* für die positive Lösung steht. Das ist übrigens der Grund, wieso man hier die Probe machen muss. Wenn hier man nicht √(x+1) = (x-5) sondern (x+1) = (x-5)² stehen hätte, dann gäbe es zwei Lösungen: √(x+1) = (x-5) und -√(x+1) = (x-5) Wieso das so ist, sieht man, wenn man die 3 in diese quadratische Gleichung einsetzt. Dann erhält man nämlich folgendes: 3+1 = (3-5)² 4 = (-2)² 2² =(-2)² Durch den Quadrierungsvorgang fällt rechts das negative Vorzeichen weg und dadurch wird die Gleichung korrekt. Hat man stattdessen eine Wurzelgleichung muss man sich quasi für eine Option entscheiden. Entweder √(x+1) = (x-5) oder -√(x+1) = (x-5). Und hier ist die 3 dann nur in einem Fall eine korrekte Lösung. * Wenn man mit komplexen Zahlen rechnet, ist die Definition etwas komplizierter.)

[@eurodan7950]

Hallo vielen Dank erst mal für deine Arbeit ich habe hier einen Wurzelterm mit dem ich nicht klar komme würdest du mir dabei bitte helfen wurzel x im Zähler im Nenner Wurzel x + Wurzel y + wurzel y im Zähler im Nenner wurzel x - Wurzel y und dann. + 1

[@MathemaTrick]

Das ist so gar nicht so einfach zu erklären. Also den ersten Bruch müsstest du mit (√x-√y) erweitern und den zweiten Bruch mit (√x+√y) erweitern. Du willst nämlich die 3. binomische Formel im Nenner anwenden, damit die Wurzeln wegfallen. Ich mache dazu aber auf jeden Fall noch ein Video. 😊

[@eurodan7950]

@@MathemaTrick Super Danke für die schnelle Antwort 😉

[@jensraab2902]

Also bite, bei 4:07 kann man das doch ohne Taschenrechner machen! (-¹¹/₂)², hier kann man Zähler und Nenner quadrieren (die Quadratzahlen, einschließlich der 11 haben Schüler doch hoffentlich im Kopf): ¹²¹⁄₄ 120 kann man zweimal hintereinander halbieren, zu 60 und dann 30, ¹²¹⁄₄ ist also 30¹⁄₄. Dann noch 24 abgezogen und man erhält 6¹⁄₄, was man auch als ²⁵⁄₄ schreiben kann. Die zweite Umformung geht doch auch einfach ohne TR: ¹¹/₂ ± √(²⁵⁄₄) → hier kann man den Faktor ¼ aus der Wurzel herausziehen, wo er zu ½ wird, und danach kann man ihn komplett ausklammern: ¹¹/₂ ± √(²⁵⁄₄) = ¹¹/₂ ± ½√25 = ½ (11 ± √25) Dass die Wurzel aus 25 nichts anderes als 5 ist, weiß man doch hoffentlich auch (Stichwort Quadratzahl), also erhält man: ½ (11 ± √25) = ½ (11 ± 5) Nun muss man nur noch zu 5 zu 11 hinzuzählen oder davon abziehen und das Ergebnis jeweils halbieren; beides schafft man doch hoffentlich auch ohne TR. Ganz im Ernst: Wenn man solche Sachen immer in den Taschenrechner eintippt, verlernt man mittelfristig das Kopfrechnen immer mehr.

[@yoshibar2536]

Minus 2 ist sehr wohl die Wurzel aus 4.

[@MathemaTrick]

Wenn du wirklich nur den *Term* Wurzel(4) ausrechnen willst, dann ist damit immer der positive Wert gemeint, also 2. Das was du meinst ist die *Gleichung* x²=4, die hat als Lösungen 2 und -2.

[@yoshibar2536]

@@MathemaTrick Danke für deine Antwort. Für mich ist dies eine Gleichung, die sich mit Wurzel(4) = -2 lösen lässt. -2=-2. Nur Wurzel(4)=2 ist keine Lösung.

[@sz1281]

Nein. Die Wurzelfunktion ist eindeutig festgelegt, eine mögliche Definition: "Wurzel aus a ist die nicht negative Lösung der Gleichung x^2 = a" Damit kann Wurzel aus a nur positiv oder =0 sein.

[@yoshibar2536]

@@sz1281 Das mag eine Definition sein. Eine Definition ist aber nur eine Übereinkunft. Es gibt die Definition, dass 0 keine natürliche Zahl ist, es gibt aber auch die gegenteilige.

[@sz1281]

@ Yoshibär Die zwei Möglichkeiten bei den natürlichen Zahlen sind natürlich schade, aber kein Argument gegen die Wurzeldefinition, da gibt es keine zwei Möglichkeiten. Nebenbei verlangen Funktionen immer eine eindeutige Zuordnung, also auch die Wurzelfunktion.

[@hashtagmaker6892]

Wieso quadriere ich nicht im ersten Schritt?

[@Timbo87769]

Das habe ich mich auch gefragt, scheint wohl eine Regel zu sein, die wir nicht kennen

[@Miles____]

Die Frage bezieht sich sicherlich auf das letzte Beispiel. Kann man natürlich machen aber man muss dann alles auf der linken Seite in eine Klammer packen(da mit "+" verbunden), diese Wurzelmonstrosität quadrieren und anschließend mit Hilfe der binomischen Formel auflösen......Dann lieber doch erst eine Wurzel rüberpacken und nur mit dieser "?binomieren?"

[@Sebastian-lw5qb]

Du kannst das, aber es ist schwerer. Ansonsten hast Du wegen der binomischen Formel beide Wurzeln auch nach dem ersten Quadrieren noch in der Gleichung.

[@m.h.6470]

Lösungen: Beispiel 1: √(x + 1) = x - 5 |² x + 1 = (x - 5)² x + 1 = x² - 10x + 25 |-x -1 0 = x² - 11x + 24 x = -(-11/2) ± √((-11/2)² - 24) x = 11/2 ± √(121/4 - 96/4) x = 11/2 ± √(25/4) x = 11/2 ± 5/2 x = (11 ± 5)/2 x₁ = (11 + 5)/2 = 16/2 = 8 x₂ = (11 - 5)/2 = 6/2 = 3 Probe: (da Quadriert wurde) x₁ = 8 √(x + 1) = x - 5 √(8 + 1) = 8 - 5 √9 = 3 3 = 3 → korrekt, x = 8 ist eine gültige Lösung x₂ = 3 √(3 + 1) = 3 - 5 √4 = -2 2 = -2 → keine gültige Lösung Beispiel 2: √(x + 3) + √(x + 10) = 7 |² (√(x + 3) + √(x + 10))² = 7² (x + 3) + 2 * √(x + 3) * √(x + 10) + (x + 10) = 49 2x + 13 + 2 * √((x + 3) * (x + 10)) = 49 |-13 2x + 2 * √(x² + 3x + 10x + 30) = 36 |:2 x + √(x² + 13x + 30) = 18 |-x √(x² + 13x + 30) = 18 - x |² x² + 13x + 30 = (18 - x)² x² + 13x + 30 = 18² - 36x + x² |-x² +36x -30 49x = (10 + 8)² - 30 49x = 100 + 160 + 64 - 30 49x = 294 |:49 x = 6 Probe: (da 2 mal Quadriert wurde) √(x + 3) + √(x + 10) = 7 √(6 + 3) + √(6 + 10) = 7 √9 + √16 = 7 3 + 4 = 7 7 = 7 → korrekt, x = 6 ist eine gültige Lösung

[@romanlopezgarcia5644]

ich bin Mir nicht ganz sicher aber ich glaub es sollte x^2+2*x*5^5 also plus und nicht minus

[@MathemaTrick]

Meinst du bei Minute 1:58? Das ist ja die 2. Binomische Formel und deswegen muss da ein Minus hin, so wie ich es gezeigt habe. 😊

[@romanlopezgarcia5644]

@@MathemaTrick achsoo ja sie haben total recht!!! Vielen Dank für das Video, alles war super erklärt!! Grüsse aus Mexico

[@reavox4740]

√(3x-3)+√(4+3x)=√(6x+25) ... bei dieser Aufgabe bräuchte ich Hilfe. Ich komme leider trotz des Super Videos auf kein richtiges Ergebnis :/

[@MathemaTrick]

Dann versuche ich dir mal zu helfen 😊 Du würdest beide Seiten quadrieren, dann steht da (mit der 1. Binomischen Formel auf der linken Seite): 3x-3 + 2•√( (3x-3)•(4+3x) ) +4+3x = 6x+25 Kannst du diesen Schritt schon mal nachvollziehen?

[@reavox4740]

@@MathemaTrick Vielen Dank für die schnelle Antwort :) Ja, das kann ich nachvollziehen :)

[@MathemaTrick]

Ok, wenn du diese Gleichung dann vereinfachst und alles (außer der Wurzel) auf die rechte Seite bringst, steht da: 2•√( (3x-3)•(4+3x) ) = 24 Teile dann durch 2, sodass du folgendes erhältst: √( (3x-3)•(4+3x) ) = 12 Verstehst du diese Schritte soweit?

[@reavox4740]

@@MathemaTrick Okay, nun glaube ich habe ich es verstanden. Das Ergebnis der Aufgabe müsste dann ja die Lösungsmenge 4 sein oder ?

[@justushinkelmann8020]

Beim 1.Beispiel kann doch auch 3 x sein, da die Wurzel aus 4 nicht nur 2 ist, sondern auch -2

[@murdock5537]

Aus Lambacher Schweizer 9: "Da Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, müssen die Lösungen der neuen Gleichung nicht Lösungen der Ausgangsgleichung sein. Also ist eine Probe erforderlich". Der eine Wert erfüllt die Gleichung, der andere erfüllt sie nicht. Die quadrierte Gleichung hat u.U. mehr Lösungen als die ursprüngliche, denn 2 im Quadrat ist 4, aber auch -2 im Quadrat ist 4. Damit gilt: 2x2 = (-2)x(-2)=4

[@sebastianheinemann4141]

Die Lösung einer Wurzel ist als positiv definiert. Wurzel(4) = 2 [und nicht 2 und -2], anders ist es mit x²=4. Dort ist die Lösungsmenge L={-2, 2}, denn man rechnet 2²=4 und (-2)²=4. Also nochmal: Wurzel ergibt IMMER positive Zahl. Zwei Lösungen (pos und neg.) gibt es nur bei der Lösung von x².

[@axmir03]

Ich schick das meiner Professorin Sie soll mal was davon abschneiden

[@iiwhite-shadowii9215]

Ich hasse dieses Thema