Wurzeln vereinfachen - Binomische Formel

[@MathemaTrick]

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[@ursulaprinz8520]

Dich hätte ich vor 40 Jahren als Matheprof gebraucht! 😀

[@porkonfork2024]

Ja Prinzessin, mit der Erkenntnis stehst Du nicht allein!

[@christophrakoczy5353]

Dann wäre die Dozentin jetzt aber nicht mehr so jung.

[@222mozart]

auch damals war die Mathematik wie heute. Es wurde genau so wie hier erklät. Auch vor 140 Jahren.

[@THyperon]

Haha, das ist wirklich die komplizierteste "1", die ich je gesehen hab. Hut ab! Da soll noch jemand sagen, Mathe sei nicht unterhaltsam!

[@jamielondon6436]

Probier's mal mit minus e hoch i mal pi. ;-)

[@technik-lexikon]

@@jamielondon6436 meine Lieblingsformel :D

[@MartinHonecker-wl5fb]

die erste Klammer geht einfacher weil Wurzel 8 = 2 x Wurzel 2, also 3 x Wurzel 2 hoch 2 =18

[@felistrix7163]

Das ist für mich nur anders, aber nicht einfacher. Denn wenn man geübt genug ist, um zu sehen, dass man √8 aufteilen kann, dann sieht man vermutlich genauso leicht, dass alle binomischen Summanden ganzzahlig werden.

[@Rafau85]

@@felistrix7163 es ist viel einfacher. Dann rechne die drei Summanden zusammen anstatt 3² mal 2 zu rechnen....

[@joachimneugebauer4076]

5:12 Ich empfehle an dieser Stelle, auch die "1" im Nenner hinzuschreiben. Bei anderen Aufgaben geht sonst etwas schief.

[@Engy_Wuck]

der erste Schritt geht einfacher bzw. ohne binomische Formel. In der ersten Klammer kann man √8 in 2√2 umwandeln, dann ausklammern zu (√2(2+1))², also (3√2)²=18. Auch im letzten Schritt bin ich anders vorgegangen: 18 - (18-1) wird zu 18-18+1 - da muss man dann nichts rechnen 😀. Wenn man schonmal mehrfach dieselbe Zahl dastehen hat kann man das auch nutzen :.)

[@porkonfork2024]

jo

[@wilmafeuerstein9028]

Ja auch beides genau so

[@aysu-buesraguenes6699]

Hab's geschafft 🎉

[@marionmaierphilonatura]

Im Kopf berechnet durch partielles Wurzelziehen. Dann kürzt sich einiges weg. Am Ende steht dann 18 - 17

[@Jan_Lei.]

Und jetzt das ganze mit i bitte... 😂😂😂

[@roland3et]

Mit x=i bleibt's bei 1. Was soll sich da auch ändern? Sie können für x jede (auch komplexe) Zahl einsetzen bis auf die unbedeutende Definitionslücke bei x=0. 🙂👻

[@Jan_Lei.]

@@roland3et Ich meinte nicht für x=i. Wenn man die komplexen Zahlen einbaut/zulässt, dann müssten aber die Vereinfachungen des Terms deutlich komplizierter aussehen. Oder irre ich da? 🤔

[@roland3et]

​​@@Jan_Lei. Was meinten Sie denn? Können Sie ein Beispiel nennen? However, ich denke nicht, dass die Vereinfachung des Ausdruckes dann komplizierter würde, weil sich der Term sqrt(x) _immer_ komplett rauskürzt (auch bei komplexen Werten für x). Wenn man die "Wurzel" einer komplexen Zahl (also sowas wie sqrt(a+bi)) tatsächlich _berechnen_ müsste, sähe es etwas anders aus, das ist aber hier nicht der Fall. 🙂👻

[@AndreasBeckmann-ph8jp]

Beim Wurzelziehen hast Du immer mit dem positiven Ergebnis, aber nicht mit dem negativen Wurzelergebnis weiergerechnet. Warum.?

[@klauswagner1776]

Weil es eine Rechenvorschrift und keine Gleichung ist.

[@Engy_Wuck]

das Ergebnis einer Wurzel ist immer positiv. Dass wir manchmal ± davor schreiben ist eigentlich Faulheit und braucht man nur bei Gleichungen. x²=4 heißt ja eigentlich "welche Zahl können wir für x einsetzen, so dass das Quadrat dieser Zahl die Zahl 4 ergibt?". Ziehen wir auf beiden Seiten die Wurzel, dann müssten wir strenggenommen den Betrag nehmen, also √(x²) = √(4) |x| = 2 Damit wäre das Ergebnis: "x ist die Zahl(en), deren Betrag die Zahl 2 ist". Da das unschön aussieht und man damit auch nicht gescheit rechnen kann nutzen wir aus, dass das x im Betrag positiv oder negativ sein kann, da der Betrag immer das positive Ergebnis liefert. Also eigentlich x = 2 und -x = 2 Oder eben wie wir es üblicherweise aus Faulheit machen: x = ±2 - was wir dann auch direkt so hinschreiben. Das √ kommt also letztlich von den Betragsstrichen, nicht direkt aus der Wurzel.

[@felistrix7163]

​@@Engy_Wuck​Jain, ich sehe das leicht anders. Eine Gleichung besagt nur, dass beide Seiten gleich sind. Gleichungen bleiben gleich, wenn auf beiden/allen Seiten dieselbe Operation angewandt wird. Zum Lösen von Gleichungen wird dieser Umstand ausgenutzt, indem (unter anderem) durch Anwenden von Umkehrfunktionen die gesuchte Variable auf einer Seite gebündelt und alleinstehend gebracht wird. Plus und Minus sowie Mal und Geteilt sind jeweils zueinander Umkehrfunktionen. Damit eine Funktion eine Umkehrfunktion besitzt, muss diese bijektiv sein. Das ist bei der Quadrierung aber nicht der Fall. Dadurch ist diese nicht direkt Umkehrbar.. Daher muss eine Fallunterscheidung durchgeführt werden und die Quadrierung wird letztlich umgekehrt durch +√ und -√; oder verkürzt durch ±√. Die Betragsfunktion ist einfach nur eine weitere Funktion, die ebenfalls nicht bijektiv ist, aber dieselben Ergebnisse liefert.

[@juergenilse3259]

Weil die Wurzell aus a in den reellen Zahlen definiert ist als die *nicht* *negative* Loesung der Gleichhung x^2=a, sprich die Wurzellist per Definition immer groesser oder glleich 0. Wuerde man positive und negative Loesungen zulassen, waere die Wurzel nicht eindeutig..

[@einerer]

Das -4 fehlt. Gleichung hin oder her. Redet Euch da mal nichts ein.

[@Marilee1990]

Faustregel: je komplizierter die Rechnung optisch aussieht, desto simpler die Lösung.

[@eduardpaul8413]

Sehr geduldig und auf den Punkt erklärt. Ich freue mich immer wieder auf die Videos, auch solche, die "Grundlagenthemen" behandeln wie hier oder die eher kniffligen. Immer toll erklärt und mit guten Auffrischungen der Regeln und Hintergründe.

[@whoff59]

1 😊

[@aldebaran3013]

Mensch Tricksi ist das kompliziert!

[@rishiraj2548]

🙏👍

[@anestismoutafidis4575]

=> x^1/2 •(8^1/2+2^1/2)^2 -(18^1/2 -1)•(18x)^1/2+x^1/2)/x^1/2 (8+8+4) - 18(x)^1/2+(18x)^1/2 20 - 18(x)^1/2 +(18x)^1/2 20 -18(x^1/2) + 4,25(x^1/2) 5 - 4,5(x^1/2) + 1,06•(x^1/2) 5 - 5,56(x^1/2)

[@PatWue314-ei3os]

So habe ich es auch gemacht, ich bin jetzt im ausklammern nicht so gut und addiere lieber, so dass aus dem Bruch ganz rechts wurde (Wurzel(18x)/Wurzel (x))+(Wurzel(x)/Wurzel(x)). Susanne, zu den binomischen Formeln schicke ich dir eine Idee, die ich im mathematischen Kabinett des Deutschen Museums gesehen habe. Schicke ich dir über deine Webseite.

[@KathrinW]

Sehr cool. Ich habe es etwas komplizierter gerechnet. Kam aber aufs gleiche Ergebnis. Ich liebs. 🥰

[@jamielondon6436]

Also ich finde, bei dem Endergebnis kann man schon von einer Vereinfachung sprechen, ja. ;-)

[@michaelhuppertz6738]

Sehr viele Wurzeln um die 1 zu verstecken.

[@WH7117]

Veto: da wird doch mal einfach die zweite Lösung unter den Tisch gekehrt: beim auflösen von Wurzel 16 wird das einfach auf 4 gesetzt. Es könnte aber auch -4 sein. Und dann ist das Ergebnis nicht 18 - (18-1) = 1 sondern 2 - (18-1) und das ist -15. !!

[@MathemaTrick]

Nee, wenn man wirklich nur eine Wurzel berechnen möchte, dann ist das immer nur das positive Ergebnis. Wurzel(16) ist wirklich nur 4.

[@MaxPrax888]

Bin begeistert 🤓

[@popogast]

0:34 Hier hätte ich keine binomische Formel angewendet. In der Klammer: sqr(8)+sqr(2) = 2*sqr(2)+sqr(2) = 3*sqr(2). Die Klammer quadriert: (3*sqr(2))^2 = 9*2 =18.

[@juergenilse3259]

Partielles Wurze ziehen fuehrt zu sqrt(8)=2*sqrt(2) und sqrt(18x)=sqrt(18)*sqrt(x). Dammmit oennen wir den Buch mit sqrt(x) kuerzen (nur fuer x ungeich 0, aber fuer x=0 haetten wir 0 i Nenner und der Ausdruck waere undefiniert). Damit erhaten wir fuer das Produkt nach der 3. binomischen Formell den Wert 18-1^2=17 und derquadratische Term laesst sich durch ausklammern von sqrt(2) zu sqrt(2)^2*(2+1)^2=2*3^2=2*9=18 vereinfachen. Damit hat der gesamte Ausdruckk den Wert 18--17=1 (nur fuer x ungleich 0, weil der Tem fuer x=0 undefiniert ist). I video feht derAusschuss des Fales x=0 (in dem Fal haetten wir nicht it sqrt(x) kuerzen duerfen, weilmman mmit 0 nicht kuerzen darf, aber da in dem Fallll eine 0 im Nenne stehen wuerde, waere der Term dann undefiniert ... mman muesste aber eigentlllich erwaehnen, dass x ungleich 0 vorausgesetzt werden muss).

[@Atte5820]

Es ist zwar keine Gleichung, aber sollte man beim Ergebnis nicht irgendwie vermerken, dass die Vereinfachung nur gilt für x ungleich 0 (da im anfänglichen Term die Wurzel von x im Nenner steht)?

[@DirkSchröder-s8l]

Du bist ein Schatz 😘🪷 Mathe mit dir ist traumhaft. Ganz vielen lieben Dank 🙏 Mit lieben freundlichen Grüßen Dirk 🌈

[@peterg2923]

Habe auch die Variante 8^1/2 in 4^1/2 x 2^1/2 aufzuspalten gewählt und prinzipiell alles gekürzt. Ist aber eine nette Methode, 1 kompliziert darzustellen.😁

[@porkonfork2024]

Wieder sehr gut gemacht. War beim Eliminieren von x rausgekommen. Auf dem Kanal gilt der natürliche Logarithmus: natürlich ist Susannes Logik richtig.

[@klauswagner1776]

Wie immer. Ganz ausführlich und freundlich erklärt. Erklärungen auf Nachfragen der Schüler dauern länger, als wenn alles bis ins Detail erklärt wird. Warum nur haben die Lehrer und Lehrerinnen es immer so eilig? Oder steckt da ein System dahinter? Verschwörung?? Kommentar Mathelehrer vor ca. 50 Jahren: Eine Klasse, in der nicht ein paar sitzenbleiben ist keine brauchbare Klasse für mich.

[@romeogadedetlevjr5977]

Kompliziert aufgeschrieben, vereinfacht sich aber auf 1

[@Beate-ix2qo]

Ich hätte zuerst teilweise Wurzel gezogen...aber toll erklärt

[@ShionShinigami]

1

[@aqhatalhalef17]

Easy, im Kopf gelöst.

[@wilmafeuerstein9028]

Danke für die schöne Übungsaufgabe

[@christophrakoczy5353]

Wie immer total schön erklärt. 😊

[@wowo4586]

Muß bei der dritten Binomischen Formel nicht auch noch das b2 berechnet werden?

[@felistrix7163]

Das wurde es doch auch.

[@juergenilse3259]

Das hat sie getan: 1^2=1

[@rolandmengedoth2191]

Lange her, konnte jedoch ohne Probleme folgen und hätte es genauso gemacht. Prima dargestellt, Step by Step.😊

[@Birol731]

Interessante Frage, herzlichen Dank 🤓🙏 (√8+√2)² - (√18-1)*(√18x + √x)/√x = (8+2√16+2) - [(√18²*x + √18x - √18x - √x)/√x] = (10+2*4) - [(18√x - √x)/√x] = 18 - [√x(18-1)/√x] = 18 - (18-1) = 18 - 17 = 1