5) Kareli Ortalama, Geometrik Ortalama, Harmonik Ortalama | Merkezi Eğilim | İSTATİSTİK | XDERS

Değişkenlerin tablo veya grafik biçiminde gösterilmesi durumunda araştırma hakkında sağlıklı bilgi sahibi olamayabiliriz. Durum hakkında daha sağlıklı bilgi edinebilmek için verilerin özellikle frekans bölümlerinin detaylı analiz edilmesi gerekir. Bu durumda ortalamalar olarak bilinen merkezi eğilim ölçülerine ihtiyaç duyarız. Ortalama olarak tarif ettiğimiz toplanma noktaları sayesinde bir değişkenin diğer bir değişkenden farkını sağlıklı ve hızlı kavrarız.
Ortalama, bir serinin merkezini yani ortasını gösteren bir ölçü birimidir. Dolayısıyla ortalamalar her zaman verilen serinin en küçük gözlem değeri ile en büyük gözlem değeri arasında yer alır veya bunlara eşit olabilir.
Merkezi eğilim ölçülerini ise verilerin tümünün hesaba katıldığı duyarlı ortalamalar ve verilerin tümünün hesaba katılmadığı duyarlı olmayan ortalamalar olarak iki durumda inceleyeceğiz.
Duyarlı Ortalamalar
• Aritmetik Ortalama
• Tartılı Aritmetik Ortalama
• Kareli Ortalama
• Geometrik Ortalama
• Harmonik Ortalama
Duyarlı Olmayan Ortalamalar
• Mod (Tepe Değer)
• Medyan (Ortanca)
• Kartiller (Dördebölenler)
Bir önceki dersimizde duyarlı ortalamalardan ilk ikisi olan aritmetik ortalama ve ağırlıklı aritmetik ortalama anlatılmıştı. Bu bölümde ise duyarlı ortalamaların diğerleri olan kareli ortalama, geometrik ortalama ve harmonik ortalama anlatılmakta ve ders bitiminde bu ortalamalarla ilgili çalışma soruları çözülmektedir.
İyi çalışmalar dileriz.
Muhsin ÇELİK
XDERS
İSTATİSTİK
MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ
• Duyarlı Ortalamalar
• Kareli Ortalama
• Basit Serilerde Kareli Ortalama
• Frekans Serilerinde Kareli Ortalama
• Gruplandırılmış Serilerde Kareli Ortalama
• Geometrik Ortalama
• Harmonik Ortalama
• Çalışma Soruları
İstatistik - Kareli Ortalama
Serideki gözlem değerlerinin karelerinin toplamı gözlem sayısına bölündükten sonra oluşan ifadenin kareköküne kareli ortalama denir. Burada gözlem değerlerinin karelerinin aritmetik ortalaması alınarak sonucun karekökü alınmış olur.
Gözlemdeki verilerin kareli ortalaması ve aritmetik ortalaması hesaplandığında kareli ortalama daima aritmetik ortalamadan büyük veya eşit olur. Kısaca, A.O ≤ K.O
İstatistik - Geometrik Ortalama
Nüfus artışı, bakteri üremesi gibi araştırmalarda gözlem sonuçları arasındaki oransal farklar mutlak farklardan daha önemlidir. Dolayısıyla bu gibi araştırmalarda geometrik ortalama kullanılması daha uygun diyebiliriz. Geometrik ortalama hesaplanırken gözlem değerinin çarpımı bulunur ve bu çarpımın toplam gözlem sayısı olan n. dereceden kökü alınarak hesaplanır. Veriler arasında aşırı büyük veya aşırı küçük bir değer varsa geometrik ortalama bu uç değerlere aritmetik ortalamadan daha az önem verir. Dolayısıyla bu durumda geometrik ortalamayı kullanmak daha elverişlidir. Gözlemler arasında sıfır veya negatif bir değer varsa geometrik ortalama kullanılmaz.
İstatistik - Harmonik Ortalama
Oran biçiminde verilen verilerde pay sabit, payda değişken ise bu oranların ortalaması harmonik ortalama ile hesaplanır. Örneğin Maliyet/Miktar örneğinde eğer maliyet sabit, miktar değişken ise veya Yol/Zaman ifadesinde yol sabit, zaman değişken ise harmonik ortalama hesaplanır. Gözlemler arasında sıfır veya negatif bir değeri varsa harmonik ortalama kullanılmaz.
Ortalamalar arasında aşağıdaki gibi bağıntı vardır.
H.O ≤ G.O ≤ A.O ≤ K.O
NOT: 04:57 ve 06:37 de DÜZELTME
04:57 de soruyu öncelikle 20 hastaya göre yazmıştım. Sonrasında vazgeçip 15 hastaya çevirmiş ve çözüm tablosunu oluştururken sonuçları tabloya 15 hastaya göre yazmıştım. Denklemde bulunan "n" değerini ise düzeltmeyi unuttuğum soruya bakarak yazdığım için 15 yazmam gereken yere 20 yazmışım. Dolayısıyla bu durum sonucu da etkiledi. Soru cümlesinde ve sondaki denklemde 20 yerine 15 yazılması, dolayısıyla cevabın da 8,33 olması gerekir.
06:37 de ise soruyu çözüm kısmındaki tabloda verilen frekanslara göre değerlendirin. Fakat 13 e bölünmesi gerekirken 30 a bölünmüş. Cevap 6,25 olacak.
Konuyu anladıysanız düzeltmeleri kendinizde yapabilirsiniz. Lütfen bu durum için kusura bakmayın. Konuyu slaytlara dönüştürürken ve senaryo için animasyonlar oluşturulurken bazen tablolar birbirine girmiş oldu. Çözümü anlatırken de sayılar üzerinde pek durmadım. Nasıl hesaplanır mantığını defalarca tekrarlamak istediğimden anlatırken fark etmedik. İyi çalışmalar dilerim.

[@XDERS]

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ • Duyarlı Ortalamalar • Kareli Ortalama 00:52 • Basit Serilerde Kareli Ortalama 01:35 • Frekans Serilerinde Kareli Ortalama 03:05 • Gruplandırılmış Serilerde Kareli Ortalama 05:09 • Geometrik Ortalama 06:49 • Harmonik Ortalama 10:15 • Çalışma Soruları 15:07

[@mahmouddavid311]

boyle hocanin gozunu seveyim donem basladigindan beri hic dinlemedim 2 saat video ile bizim hocanin 5 haftasini bitirdim anladim, tesekkurler hocamm

[@XDERS]

Dinlemenize ve anlamanıza gerçekten çok sevindim. İnşallah geri kalanlarıda aynı hızda anlar ve kavrarsınız. Hedeflerinize en kısa zamanda ulaşmanız dileğiyle.

[@oyunkurdu4287]

5:00 hocam 15 e bölmemiz gerekmiyormu orda 15 hasta var.1+2+6+4+2=15

[@Everythingyouneedddd]

aynen, 20 olarak yazmış hatayla

[@gokhanbal5400]

@@Everythingyouneedddd soruda 20 örneklem seçilmiş hata yok

[@metinylmaz5629]

15 yazılacaktı 20 alınması hata toplam frekans değeri önemli ordaki işlemde gören yanlış yapmasın @@gokhanbal5400

[@mertarastrma182]

bir videoda 2 kez hata yapılmış. toplam örnek sayısı 15 olup, 20 ye bölünmüş, diğeri de frekanslar soruda farklı özerken farklı sayılar alınmış. DİKKAT

[@Furtz17]

çözerken*

[@busra-pj7qw]

hocam allah razı olsun vallahi piyasada adam akıllı ne not ne video var. çok yardımcı oldu bu video. emeğinize sağlık.

[@XDERS]

Yardımcı olabilmeme sevindim. Sınavlarınız istediğiniz gibi geçer ve hedeflerinize en kısa zamanda ulaşırsınız inşallah. İyi çalışmalar dilerim.

[@caglanurbedir8317]

geometrik ortalamanın frekans ve sınıflı seriye göre çözümleri de olsa harika olurdu

[@ramizkaraeski411]

arkadaşlar hatalı sorular için hocamızın açıklaması : Soruyu öncelikle 20 hastaya göre yazmıştım. Sonrasında vazgeçip 15 hastaya çevirmiş ve çözüm tablosunu oluştururken sonuçları tabloya 15 hastaya göre yazmıştım. Denklemde bulunan "n" değerini düzeltmeyi unuttuğum soruya bakarak yazdığım için 15 yazmam gereken yere 20 yazmışım. Dolayısıyla bu durum sonucuda etkiledi. Soru cümlesinde ve sondaki denklemde 20 yerine 15 yazılması, dolayısıyla cevabın da 8,33 olması gerekir. 06:37 Bu soruyuda çözüm kısmındaki tabloda verilen frekanslara göre değerlendirin. Fakat 13 e bölünmesi gerekirken 30 a bölünmüş. Cevap 6,25 olacak. Konuyu anladıysanız düzeltmeleri kendinizde yapabilirsiniz. Bu durum için kusura bakmayın. Konuyu slaytlara dönüştürürken ve senaryo için animasyonlar oluşturulurken bazen tablolar birbirine girmiş oldu. Çözümü anlatırkende sayılar üzerinde pek durmadım. Nasıl hesaplanır mantığını defalarca tekrarlamak istediğimden anlatırken farketmedik. Bu arada iyi bir dinleyici olduğunuz için tebrik eder, iyi çalışmalar dilerim. 4

[@mertcanaksoz]

Bilemem kardeş soruya bakmadan doğru cevabı bilemem

[@rovshen.g7845]

valla bedava böyle kim ders anlatır ki, hocam ALLAH sizden razı olsun çok teşekkür ederim

[@XDERS]

Teşekkür ederim güzel yorumunuz için. Allah sizden de razı olsun. Umarım hedeflerinize ve hayallerinize en kısa zamanda ulaşırsınız. İyi çalışmalar ve başarılar dilerim. 😇

[@mub5514]

6 haftalık dersi 8 videoda birkaç saat içinde öğrendim sayenizde. Emeğinize sağlık çok teşekkür ederim

[@XDERS]

Rica ederim. Hedeflerinize ve hayallerinize de en kısa zamanda ulaşmanız dileğiyle.

[@canberkozer6317]

06:45 sınıf sayısı karıştırılmış tabloda değil mi

[@safabahadrkorkmaz9778]

6:45 de Fi ler hatalı değil mi?

[@yalcnakyuz7018]

Kareli ortalama hesabı hap hasta sayısı hesabında örnekte soruda hasta sayısı 20 deniyor ama örnekte tabloda hasta sayısı 15 benmi yanlış görüyorum hocam...

[@kubra2551]

Merhaba hocam geometrik ortalamanın da basit, frekans ve gruplandirlimis seride farkı yok mu bizim hoca logaritma üzerinden anlatmış anlayamadım 🤕

[@rabiaaltinbas4012]

Hocam elinize emeğinize yüreğinize sağlık bu kadar güzel ve açıklayıcı açıklamalar için teşekkür ederim kendi adıma 🙏

[@goktuggundogdu1571]

hocam 5.02 de neden 20 ye böldük toplam ilaç sayısıda 20 değil hasta sayısıda

[@togrulgadirov8670]

Frekanslarin toplaminin alinan sonuc 20 oldugu icin 20 ye boluyoruz

[@umutkunt9012]

@@togrulgadirov8670 15 değil mi

[@meryemcetinkaya1313]

@@umutkunt9012 Ewet 15 bende orayı anlamadim

[@meryemcetinkaya1313]

Soruda 20 hasta için araştırma yapılmış diyor ama tablodan 15 hasta sayısı?

[@umutkunt9012]

@@meryemcetinkaya1313 sen 15 olarak hesapla

[@ekonomiatolyesi6636]

hocam geometrik ortalamayı hesaplarken xi fi logxi fi X logxi formülünü yapmamız gerek değil mi ?

[@CeylanTanrkulu]

Frekans sayilari nasil oldu 1264nerden cikti

[@Motiva229]

hocam gruplandırılmış seri ile frekans serilerinin sonucu bir birine çok yakın değil mi ?

[@fatmameydan7942]

Emeğinize sağlık hocam, bir sorum olacaktı. Gruplandırılmış serilerde 1-3'den azın orta noktasını iki alıyoruz. Fakat 3'den az etkinlik dediğimiz zaman 3 sayısını ele almıyoruz. yani 1 ya da 2 adet etkinlik yapılmış saymamız gerekiyor. Bu durumda 1 ve 2 sayılarının orta noktasını 1,5 olarak almamız gerekmiyor mu? Umarım sorumu görebilirsiniz, şimdiden teşekkürler! Aynı şekilde 3 - 5'den az dediğimiz; 3 ya da 4 etkinlik demek. orta noktası 3,5 olması gerekmez mi? Aynı kafa karışıklığını önceki videoda işlediğimiz, Gruplandırılmış Serilerde Tartılı Aritmetik Ortalama konusundaki örnekte de yaşadım. mesela; 3-9 'dan az satılan sigortada orta noktayı 9'dan 3 çıkarıp 6 aldık. 6 adet sigorta sayısı var doğru: 3,4,5,6,7,8... dokuzuncu sigorta yok. eldeki sigorta sayısı aralığının orta noktası da 11/2'den 5,5 olması gerekmez mi?

[@XDERS]

Fatma hanım merhaba, Tabloda etkinlik sayısı 1-2 olarak gösterilseydi olabilirdi. Ayrıca öyle göstermemiz dediğiniz gibi daha mantıklı olur. Önceki konularımızda sıkça bahsettiğimiz -den az kullanımını pekiştirmek adına bu gibi örnekleri -den az kullanarak vermek istedim. Burda bazı gösterim durumları araştırmacıya kalmış durumda. Yani tabloda nasıl gösterdiysek ona göre ilerleriz. Önemli olan veriler bize verildiğinde orta noktayı bir şekilde tespit ederek çözüme doğru yolculuk edebilmek. Karışıklığa sebebiyet verdiğim için kusura bakmayın. Ama konuyu kendi yorumlarınızı katacak kadak iyi anlamıza gerçekten çok sevindim. Umarım hedeflerinize ve hayallerinize en kısa zamanda ulaşırsınız. İyi çalışmalar ve başarılar dilerim. 😇👏

[@fatmameydan7942]

@@XDERS Merhabalar hocam, geri dönüşünüz ve iyi dilekleriniz için çok teşekkür ederim. Dilerim siz de hayattaki tüm beklentilerinize ulaşırsınız, bizlerle paylaştığınız bu bilgi birikimleriniz çok değerli. Allah siz ve sizin gibi bütün eğitimcilerimizin yolunu her daim açık eylesin ❤

[@tarkanarda1642]

Cok faydasi oldu bana videonun. Tesekkür ederim.

[@dilara4074]

4:57 deki sorunun cevabı 842bölü15 in karakökü alındığında cevabın 7,49 olması gerekmiyor mu hesap makinem mi hatalııı

[@XDERS]

Olabilir Dilara hanım, klavyeden kaynaklı bikaç sıkıntı yaşanmıştı bazı yerlerde. Onlarıda açıklamalar kısmının en altında belirtmeye çalışmıştım. Oralarada bi göz atın. Mantığını anladıktan sonra sayısal kısmı mühim değil. Umarım hedeflerinize en kısa zamanda ulaşırsınız. İyi çalışmalar ve başarılar dilerim.

[@hidayettozkan]

Hocam 6:04 ile 6:09 daki sınıf sayıları birbirinden bağımsız.1-3 etkinlik adedine karşılık gelen Sınıf adedi farklı.

[@XDERS]

Hidayet bey videonun açıklama kısmında en altta bu durumdan bahsettim. İsterseniz o kısma göz gezdirebilirsiniz. İyi çalışmalar ve başarılar dilerim.

[@ipekpars9716]

@@XDERS soruda 30 sınıf var denmiş, sorunun altında da etkinlikleri kaç sınıfın yapıldığı belirtilmiş. çözümde bambaşka sınıf sayıları alınmış. Çözüm ile ilgili düzeltmeniz yanlış veriler üzerinden olmuş 13 değil 30a bölünmeli, çözümdeki sınıf sayıları düzeltilmeli.

[@kaanbas-xk6cq]

hocam 30 sınıf arsında yapıyoruz ama frekans değeri 13

[@selentan5165]

ALLAH RAZI OLSUN

[@XDERS]

Sizden de Allah razı olsun. Umarım hedeflerinize en kısa zamanda ulaşırsınız. İyi çalışmalar ve başarılar dilerim.

[@enespinar9711]

Harika anlatım harika uygulamalar 🤌

[@kc4ca]

5:58 sınıf sayısı birden bire evrim geçiriyor

[@sinanyar1229]

frekanslı seride nasıl bulucaz bu geometrik ortalamayı

[@meslesas3196]

Allah sizden razı olsun hocam, elinize emeğinize sağlık, siz olmasaydınız nasıl yapabilirdim bu konuyu

[@ilkertaytay7595]

istatistik vizem vardı emeğinize sağlık ama bu kadar çok çözüm yöntemlerini sınava ezber yapıp gitmek sanırım çok zor

[@XDERS]

İnşalah faydalı olmuştur diyelim o zaman. Hedeflerinize en kısa zamanda ulaşmanız dileğiyle. İyi çalışmalar ve başarılar dilerim.

[@burakcutur7337]

90+60/2 nasıl 72ya harmonik ortalama da bi yanlıslık olmadı mı hoca

[@gezginbayraktar669]

teşekkürler hocam

[@ayca914]

Elinize sağlık hocam harika bir dersti.

[@XDERS]

Teşekkür ederim güzel yorumunuz için. Umarım hedeflerinize en kısa zamanda ulaşırsınız. İyi çalışmalar ve başarılar dilerim Ayça hanım.

[@ayca914]

@@XDERS teşekkür ederim çok naziksiniz 🙏

[@CoachPegasus]

Cok tesekkurler,

[@leylaylmaz2749]

hocam 14:00 da değişken olarak hem zaman hem de hız vardı neden değişkeni hız olarak kabul ettik anlayamadım

[@XDERS]

Leyla hanım bu örneğimizde PAY sabit, PAYDA değişkendir. Yani burada "değişken bir sayıdır" demek istiyoruz. Örneğin ev ile okul arasını 1 saatte de gidebilirsiniz, 5 saatte de gidebilirsiniz. Ama ev ile okul arasındaki mesafe hiçbir zaman değişmez. Dolayısıyla buradaki hız verilerimiz km/sa olduğundan PAY dediğimiz kesrin üstündeki mesafe olan km sabittir (yani değişmezdir). PAYDA dediğimiz kesrin altındaki zaman olan sa ise değişkenlik gösterir. PAY (km) sabit, PAYDA (sa) değişken olduğundan bu tarz verilerde ortalama hesaplamak istiyorsak kesinlikle HARMONİK ortalama ile sonuca gitmeliyiz. Aksi taktirde yanlış hesap yapmış oluruz. Umarım yardımcı olabilmişimdir Leyla hanım. İyi çalışmalar ve başarılar dilerim.

[@muratarslan-yu4hn]

Teşekkürler

[@plaxwi7618]

Hocam sen mukemmel bir adamsın

[@goktuggundogdu1571]

pardon hocam sorunun kökünde diyormuş 20 hasta tabloda hatalı vermiş orda toplam 15 hasta var.

[@XDERS]

İyi çalışmalar ve başarılar dilerim Göktuğ bey

[@Teqqin]

çok güzel anlatmışsınız, yarın ki istatistik vize sınavım için faydalı olucağını düşünüyorum. Emeğiniz için teşekkürler hocam.

[@XDERS]

Güzel yorumunuz için teşekkür ederim. Umarım sınıvınızda ve hatınızda hedeflerinize ulaşırsınız. İyi çalışmalar ve başarılar dilerim.

[@internationalvideoportal8158]

tesekur ederim hocam

[@gamze8434]

geometrik ortalam nasıl 30 çıktı google da farklı buuldum

[@Ririmerve]

04.57 gözlem değeri 15 olması gerekmiyor mu? 20 demişsiniz soruda da 20 yazıyor

[@Ririmerve]

06.37 dede aynı şekilde gözlem değerleri 13 çıkıyor soruda farklı gözlem değerleri verilmiş. Yani anlamadığım biz normalde frekansları topluyorduk öyle yazıyorduk gözlem değerine ama burda soruda verilen gözlem değerine göre yapılmış, soruda verilene göre mi işlem yapacağız?

[@muhsincelik1]

Haklısınız. Açıklama kısmına yazacaktım bu durumları fakat aklımdan çıkmış. 04:57 Soruyu öncelikle 20 hastaya göre yazmıştım. Sonrasında vazgeçip 15 hastaya çevirmiş ve çözüm tablosunu oluştururken sonuçları tabloya 15 hastaya göre yazmıştım. Denklemde bulunan "n" değerini düzeltmeyi unuttuğum soruya bakarak yazdığım için 15 yazmam gereken yere 20 yazmışım. Dolayısıyla bu durum sonucuda etkiledi. Soru cümlesinde ve sondaki denklemde 20 yerine 15 yazılması, dolayısıyla cevabın da 8,33 olması gerekir. 06:37 Bu soruyuda çözüm kısmındaki tabloda verilen frekanslara göre değerlendirin. Fakat 13 e bölünmesi gerekirken 30 a bölünmüş. Cevap 6,25 olacak. Konuyu anladıysanız düzeltmeleri kendinizde yapabilirsiniz. Bu durum için kusura bakmayın. Konuyu slaytlara dönüştürürken ve senaryo için animasyonlar oluşturulurken bazen tablolar birbirine girmiş oldu. Çözümü anlatırkende sayılar üzerinde pek durmadım. Nasıl hesaplanır mantığını defalarca tekrarlamak istediğimden anlatırken farketmedik. Bu arada iyi bir dinleyici olduğunuz için tebrik eder, iyi çalışmalar dilerim.

[@AhmetKaratay16]

@@muhsincelik1 sanıyorum ki 4.58 olacak 06.37 de ki 30 a bölünmesi gerekiyor çünkü probleme göre yine de açıklama yaptığınız için teşekkürler.

[@Mrgnn0]

Hocam merhabalar 3:04 sorunun sonucu 90.6 olması gerek değil mi ?

[@sevgiguner2379]

Karekökünü almayı unutmuşsun

[@gereksizisler609]

emeğinize sağlık hocam sağolun

[@XDERS]

Umarım faydasını görürsünüz. Siz de sağolun.

[@musaerdogan3441]

9, 52 nasıl oldu

[@sevgibirol2519]

6. Dakikada sınıf sayısı nı nasıl bulduk 1 2 6 4 oldu

[@semihcorbaci]

Teşekkür ederim sayın hocam (Uludağ Psikoloji 2. sınıf).

[@XDERS]

Rica ederim Semih bey. Güzel bölümde okuyorsunuz. Umarım hedeflerinize en kısa zamanda ulaşırsınız. İyi çalışmalar ve başarılar dilerim.

[@esram.3577]

Hakkını yiyemem güzel anlatıyor ama bazen çok yanlış yapabiliyor soruyla çözüm birbirini tutmayabiliyor dikkat edilmesi gerekiyor

[@XDERS]

Evet Esra hanım, birkaç yerde excel den kaynaklı yazım hatası oldu fakat dönüp düzeltmek için artık çok geçti. Konu ana hatlarıyla işinize yarayabilir diye paylaştım. Zaten konuyu anlayan birkaç yerde yapılan yazım hatalarını kendiside anlayabilir ve oraları gözardı edebilir. Ayrıca oraları anlamak ve gözardı edebilmek demek eğitimin amacına ulaşması demektir. Yani dinleyenlerin bişeyler anladığının göstergesidir. Umarım işinize yaramıştır Esra hanım. Hedeflerinize ve hayallerinize en kısa zamanda ulaşmanız dileğiyle. İyi çalışmalar ve başarılar dilerim. 💯 👏

[@durmuscetin9126]

hocam mükemmel anlatmışsınız, emeğiniz için çok tşk ederiz

[@XDERS]

Rica ederim Dursun bey. Umarım hedeflerinize en kısa zamanda ulaşırsınız. İyi çalışmalar ve başarılar dilerim.

[@DRDRiFT]

Frekans niye değişmiş 6:23 soruda ?

[@wasilivesaclaramaykskasmak2757]

ay evet niye nereyi kaçırdım ben

[@DRDRiFT]

@@wasilivesaclaramaykskasmak2757 aynen ben de anlamadım niye değişti

[@wasilivesaclaramaykskasmak2757]

@@DRDRiFT soru hataliymis asagidaki yorunlardan birinde yazmislar bizim yaptigimiz sekil dogruymuss

[@DRDRiFT]

@@wasilivesaclaramaykskasmak2757 oh iyi o zaman teşekkür ederim 😇

[@kralice-ef4ed]

geometrik oertalamayi anladım ama islem yaparken cikartamiyorum agliycam simdi

[@oyleolduboyleoldu3677]

Allah senden razı olsun hocam bu kadar güzel anlatılır bravo

[@bilgevaroglu5479]

Hocam sesiniz aynı seksenlerdeki Ahmet'in sesine benziyor yani Şoray Uzuna

[@dumancicegi]

HOCAM BU KONULAR ÇOK KOLAY AMA KAREKÖK OLAYI KAFAMI KARIŞTIRDI..BEN UNUTMUŞUM HOCAM KAREKÖK NEYDİ NASILDI

[@XDERS]

Evet Cennet hanım, biraz altyapı gerekiyor. Birkaç üslü sayı ve köklü sayı dersi izlerseniz sonrasında çok sıkıntı yaşamazsınız. İyi çalışmalar ve başarılar dilerim.

[@dumancicegi]

@@XDERS TEŞEKKĞR EDERİM HOCAM.

[@dumancicegi]

KİTAPTA BİLE BÖYLE GÜZEL ANLATILMIYOR HOCAM...

[@refikyalcn9829]

Hocam vize ödevim var bugün son gün size yollasam çözümleme imkânınız var mı acil

[@sedayorur9358]

hocam merhaba soru atsam çözer misiniz?

[@Patavats]

Teşekkürler hocam