【ペアノ曲線】無限のパラドックスが生んだ怪物曲線【ゆっくり解説】

[@born2bmild710]

ド文系でも楽しい数学チャンネルでド理系がわらわら議論してるの凄

[@なまずパイ]

ほんとそれ

[@英訳ニキ]

文系は話の面白さに注目する。理系は話の真偽と厳密性を気にする

[@Nemesis4591]

@@英訳ニキ結構いい線行ってんな

[@hitoshiyamauchi]

どうも動画をありがとうございました。敵誘導型のタワーディフェンスのスマホゲームで，敵をできるだけ長く攻撃にさらすために，敵の通り道をヒルベルト曲線にしようと奮闘したことを思い出します。😀

[@laystorin123]

動画内の方程式だと、点の座標は必ず整数分の整数の分数になるから 有理数の座標は網羅できるけど、無理数の座標は指定できないんじゃないかな だから同じ無限に見けるけど、無限密度が違うんで、埋め尽くすことはできないが正解かな？

[@人浪-t6q]

極限だから有理点じゃなくてもいいし、R⇒R^2の写像だから濃度も同じやで

[@山崎洋一-j8c]

フラクタルについては、過去にシェルピンスキーのカーペットやメンガーのスポンジの動画もあった記憶があるので、リンク貼ればよかったかも？ ペアノ曲線の性質だけでなく、その証明までも動画で解説されたのはすごい！ 極限を使って定義される関数って、想像力が及ばなくなりますよね。このノリでワイエルシュトラス関数や高木関数も解説してほしいです

[@antama9488]

ペアノ曲線の並びで自然数を配置して、 素数をプロットしてみると、あらびっくり、 ぜんぜん法則性がでてきません。

[@zako57]

って思うじゃん？ 自然数nを配置して、τ(2π)の小数点第n位の値をプロットして見ると、意外なことに密接な関連性がないんだよ

[@mentoscola4160]

すきｗ

[@h2kh2k29]

結局のところ何もなかったの草

[@ww-xr7oz]

@@zako57クッソっw

[@miyapoyopoyo]

如何に素数が特殊な数か分かるいいコメント(？)

[@purim_sakamoto]

おお　面が線になるから気持ちいいですねこれ

[@無銘-d1c]

フラクタルの話題が続いているので、再帰性の解説もｵﾈｼｬｽ。

[@ryoushisan9974]

ペアの曲線が成立する条件は ①n^2のマスをもつ正方形 ②各マスを一筆書きで繋げること ③ただし両端は外周のいずれかのマスであること ④そのうえで縦横ともにnを数倍した正方形について、②③で作成した一筆書きを敷き詰めたうえで一筆書きになるように繋げる であってるかな？

[@SnowButter]

8:30 3次元のペアノ曲線が腸とか脳みたいでなかなかキモイ…

[@龍野由樹]

チャンネル登録しました🎉🎉😊

[@須磨保太郎-s2y]

太陽光パネルは違うけど、パネル状のユニットで平面を敷き詰めて全てを直列にする必要がある場合に応用できそうな図形ですね

[@浜田正年]

たこ焼きがきれいに焼ける電熱線はいつになったらできるんだ

[@ga8524]

「正方形内の全ての点を通る関数があるらしい」 とは聞いていたので（エルランゲン・プログラムの辺りの話で）、 どんなものなのかずっと知りたいと思っていました。 今回この動画を視聴できて、とても良かったです。配信ありがとうございます。

[@aetos382]

実無限と可能無限に思いを馳せる

[@YOU-ur8vo]

ペアノ直線が正方形を埋めつくすのはありえない。少なくともヒルベルト曲線が(1/√2,1/√2)を通ることを示せない。なぜなら正方形の埋めつくす個数はN^2個で、一辺の個数はN個。一辺の個数はどんなに大きくても無理数にはならない。そして通るのは正方形の中心なので(Q,Q),(Q,R-Q),(R-Q,Q)しか通れない。何故なら自然数個に均等に分割しているので正方形の中心の座標は全て分数で表記出来るからだ。判例を見つけたのでヒルベルト曲線は正方形内の全ての点を通ってないのである。一般のペアノ曲線が例え(1/√2,1/√2)を通っても(1/e,1/π)を通るのだろうか。全ての実数座標の点を通るということは、無限に小さい個々の正方形それぞれが正方形中の全ての点を通るのと同義になり、示せないのである。正方形内の全ての有理数及び無理数座標の点を通る線が掛けるのであれば、教えてください。全ての実数座標を通らないなら、線は面にはならないですよね。

[@ブタッキーじゃよ]

中心点のみの議論してもしょうがないよね、直線で結んでるんだから 直線と実数の連続性を学んだほうがいいですよ

[@Moakachan_]

線で構成された文字で埋め尽くされたこのコメントが面みたいになってるな

[@Sara-qs8jx]

あまり詳しくはないが，要するに「有理数列なのだから無理数の点は取らないじゃないか」ということを長々と語ってるだけだと解釈する。 その認識は間違いである。 有理数のみを持つコーシー列は無理数に収束することはある。これは対偶の任意の無理数に収束する有理数列が存在することを証明すればよい。ここでは割愛するが検索すればいくらでも証明が出てくる。 例） 3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159→π つまり、無限回の試行を考えるのであれば、有理数列であっても、無理数に収束することがある。したがって、この試行によって連続性が示され、面と言ってもよいことがわかる。

[@html5sg-esk514]

一見合っている様に思えるけどたぶん違うと思います。無限のマジックですよね。これまでも無限が絡むと様々なパラドックスが生まれてきました。 要は「有限の範囲で考えると」コメ主の主張通り座標（1/√2,1/√2）や（1/π,1/π）をヒルベルト曲線が通ることはあり得ません。ただ、有理数列は極限をとると無理数に収束することがあります。有名なのはネイピア数eですね。そもそもそれがネイピア数の定義です。あとは恣意的な証明法になりますが、任意の実数に収束する有理数列が存在することは証明されている様です（私がネットで発見できたのはあまり美しくない証明方法でしたが）。 というわけで、私は直接証明できませんが、極限をとると（1/√2,1/√2）などの点も通るのだと思います。 （補足） コメ主の元文は少し誤解を招く様なので補足します。「正方形の中心」という言い方が誤解を生んでいるようです。 より正確にいうなら「xかyの少なくとも一方はいずれかの正方形の中心に位置し、その値は分数表記できる」ということですよね。つまり「（1/4,1/√2）や（1/√2,1/8）のような座標を通ることがあっても、（1/√2,1/√2）は通らないのではないか」ということですよね。

[@KurenaiAirisu]

1/√2も無限桁の2進数表記が可能です。 無限に繰り返すという操作の先には無理数が存在します。

[@ngak2160]

3次元ペアノ曲線の図がラーメンの袋麺（乾麺）に見えました

[@真中のようつべ]

ヒーターを感じる

[@のぶ-x2k]

任意の誤差ε>0に対して、十分に細かくペアノ曲線を描けば、調べたい点との距離はε未満になるから、極限をとれば調べたい点と曲線の距離が0になるという理解でいいのか？それとももっと重要なことを見落としているか？

[@miho4106]

毎回すごいw

[@wtpotom]

そもそも点の集合が線で線の集合が面なんだから無限使ったらそりゃ線は面になるよなと思った。 難しく考えてる人多いけど割と当たり前っちゃ当たり前かも

[@元帥八津]

@mimizukuchan_nel 無限とかいう拡張操作してるから、あまり両立感は無いなあ

[@wtpotom]

@mimizukuchan_nel そもそも”点の集合が線で線の集合が面”っていうこと自体が小学生からの知識だったので積分のイメージがなかったんですが…… そう考えると一見”線”という状態のまま”面”にしていることには意味があるのかもしれませんしその過程を作ったのはすごいと思うんですが 極限をとっている以上、区分求積法みたいにほぼほぼ積分と同義になってますよね？？ 何なら１つの四角形を分割して...…っていう過程も区分求積法そっくりですし……

[@wtpotom]

@mimizukuchan_nel はー！つまりは逆と！ これを使うことで面を線として扱うことができるから対象の次元を落として考えるようなことができるのね それは便利かも

[@illumina6057]

ペアノって1+1の証明の時のペアノの公理の人か

[@command_tntoriginal9307]

そもそも四則演算とかの初等数学は基本的にペアノの公理系の上で成り立ってるで

[@豆大福-v6m]

ペアノ曲線f:[0,1]→[0,1]×[0,1]は全射なのでペアノ曲線全体f([0,1])は[0,1]×[0,1]に一致してその面積は1です。Nステップめの曲線の面積は0、故に極限も0は一般には成り立ちません。極限をとっても変わらない性質と変わってしまう性質があるので注意しましょう。

[@7191lomosmok]

高木貞治「このような曲線は迷惑」 （『解析概論』読んでてこのくだりで笑ってたけど意外と実用性あるんですね）

[@adsfhjktylytk]

線が無限に重なるのを考えていけば面に収束するのはわかるんだけど、逆に隙間部分を計算していったら0に収束して全部消えるのかなぁ？

[@toshiyatakanashi2159]

無限とゼロ・無限小は兄弟である。 ペアノ曲線は、有限の正方格子でできた平面を埋めつくことも不可能だ。 端的に言うと平面を埋め尽くすのは面の拡張でしかなせない。 我々の空間を多次元上の面として規定したり。面を多次元上の線と定義したりするのは無しだ。 ペアノ曲線が、平面上で限りなく埋め尽くすようにその軌跡を描くことができるにすぎない。もしランダム性のない隙間の埋め方でなければ、必ず軌跡が表現できる。そうすると何らかの特性を有するので例えば必ず正方格子ないでどちらかの次元で有理数や単純な初等演算の値を有する座標になる。そうすると決っして平面を埋め尽くせないのは明らか。 線で平面を埋め尽くすのは、不可能なのは数直線を限りなく刻んで終いにある点の隣の点を指定できなければならないことを意味している。それは不可能だ。隣が指定できないからこそ無限小の概念が成立する。　πのお隣はOhｰπと指定することは永久にできない。 ペアノ曲線は平面を埋め尽くすように描けるだけであり、「ペアノ曲線は平面を埋め尽く」ことができるのは別のことだ。後者の観念は愚かに過ぎる妄想だ。

[@糀谷浩一-x6v]

ハウスドルフ次元はいくつ？ 多分「2」になるかと。 それで「はい、平面です」も説明の一つとして採り上げても良かったのでは？

[@cammahas]

ド文系どころかド無属性の自分でも楽しめました！ありがとうございます

[@sualochin]

数直線上を実数で∞個埋め尽くしても、無理数の隙間があるから飛び飛びの値になって線分に繋がらない、と同じように無限大を考えるところにパラドクスがあって一次元の線分を実数∞個で埋めても二次元の正方形をすべて埋め尽くすことはできないので、線が平面になることはなさそうですね。 って言うのは野暮なツッコミですが、このペアノ曲線の概念から数学的発展がいろいろありそうなところまで紹介していただけるのは面白かったです。

[@bamboogrove1704]

言いたいのは「実数で埋め尽くす」ではなくて、「有理数で埋め尽くす」では？ 有理数だけでは完備にならないから実数が生まれたわけで

[@豆大福-v6m]

埋め尽くされます 各点収束で証明してみましょう

[@hachimitsu-v7q]

@@豆大福-v6m 各点収束ではなく一様収束ですね。収束先の曲線も連続でないと困るので

[@豆大福-v6m]

@@hachimitsu-v7q 埋め尽くす話をしてるので一様じゃなくてもいいですね。要するに通らない点はないよってことを各点収束で証明すればいいです(1点見つければいいので)。

[@hachimitsu-v7q]

@@豆大福-v6m 埋め尽くすことは証明出来ますが、各点収束先が連続とは限らないので曲線と言えるのかなと

[@mentoscola4160]

CdSセンサー（伝われ）

[@tomokazu2023]

高々可算個の線分で、連続体濃度である面を埋めることは可能なのだろうかと考えてしまいます。

[@mentoscola4160]

あ、それベールのカテゴリー定理だ懐かしい

[@Fランへの数学]

線分の濃度は非可算ですよ

[@inacpan6706]

元気だったころの日本が得意としていたメカトロニクス。 デザイン(設計)といえば、メカの設計図は二次元で、電気回路、電子回路の設計図も二次元です。 日本の人は二次元の扱いに長けていました。 ところがソフトウェアの設計図は一次元なのでその分野では長い間、欧米の後塵を拝していました。 スクリーンエディタと大画面を駆使して、一次元を折り返して二次元を作り出せることに気づいて久しぶりにはりきっている日本がいます。

[@岸さん-p7v]

無限に正方形を分割したところで無限に隙間が小さくなっていくだけで満たせないのでは？点の数だけ分割された正方形というのは存在することは証明されてるわけだし

[@SK-sv6fh]

6:40 ちなみに僕は秋葉原で同じことした。

[@Fランへの数学]

「任意の有限個」と「無限個」がゴチャゴチャになった説明だから数学的には良くないんだけど、ペアの曲線が[0,1]から[0,1]^2への全射であるという結論は合ってるからモヤモヤする。

[@3HoIn_Siz]

なんかフラクタル図形みたいな拡張するなあと思って見てたらフラクタル図形のご先祖みたいな奴だった 便宜上観測できるだけの長さしか存在しない概念としての線が面として振る舞うというのは違和感があるけど、 スポンジが無限の表面積を持った体積０の立体であるのと同様に納得するしか無いんだろうか…… どうしても、無限の密度で太さ０の線を敷き詰めても、間に1/(無限+1)の隙間を用意できそうな気がして夜しか眠れない

[@JAM-SALMON]

マジで分かる。私たちが無限を考える時って、本当の無限じゃなくて「極限まで大きい・小さい」を考えるから、その先にも無限が続くことに気づけないことがあるんだよねー

[@試作遊戯]

そこで役に立つのがイプシロンデルタ論法です！無限をちゃんと定義できます。

[@試作遊戯]

無限を知りたい人はイプシロンデルタ論法を勉強しよう！(理系は大学1年くらいで習うことが多い) 特に、極限を履修中or履修済の高校生や、もう学業から離れているけどこういうことに興味がある人には面白いと思う。

[@koppekoppekoppe]

ワァ、、、無下限呪術っコト？

[@須磨保太郎-s2y]

これわざわざ面倒な曲線じゃなくても、分割した正方形の中心に点があると考えて、無限に分割したとき無限の点で埋め尽くされて麺になるって言っても同じことじゃね？

[@nekoyacraft]

閉じてる自分と…開いてる自分…

[@sattakon-nyaku3101]

文系的に言えば遠くから見れば面に見えるって事かな ひも理論の逆みたいな

[@ib4950]

無限大→次元上昇 無限小→低次元化

[@175ch]

「無限に操作できる」って前提が誤りで、空間には最小単位が存在して、その単位を埋めつくしたものが面であるってだけな気がする。 パラドックスが起きるのは理論に誤りがあるからじゃないの？

[@素ぽいな]

埋め尽くしても線は面積を持たない！で面積0なったらおかしいのも誰か解決しちゃうんだろなあ～て期待！🙏

[@素ぽいな]

オラは35年前位にコッホ曲線を専門学校で描かされた。ベノワ・マンデルブロ集合は指示で博物館にビデオ見に行き面食らった、ノイローゼなって中退した！😜🎵

[@piyashirikozo]

直線（幅が０）は架空の物だからな。 現実には有り得ないから、矛盾が起きても当然。

[@ww-xr7oz]

@@piyashirikozo確かに

[@miyapoyopoyo]

ちょっとおじ構

[@素ぽいな]

@@miyapoyopoyo 整数より無理数の方が沢山ある！とかの理解の難しさに似たとこある。整数も無限にあるのに💦

[@胡乱-m6z]

RとR^2 との間の全単射の一例として認識してました 無限小数を偶数桁と奇数桁に分配して作るものも知っていますが、RとR^2の間の写像はどうにも奇妙なものが多いですね...

[@hachimitsu-v7q]

この曲線は実は単射ではないです。

[@胡乱-m6z]

@@hachimitsu-v7q 今もう一度動画を見返して恐らく理解しました。ヒルベルト曲線を例にとると、単位正方形を二次元の座標で表したとき、左下の繰り返し最小単位の正方形に着目すると、そこの曲線上のどの点も無限回この操作を行った後の極限値は(0,0)ですね。異なる複数の入力に対して同じ出力が存在するので単射ではないと言えそうです。

[@tukiyamaable]

Σ(1/n^2)がπ^2/6に収束するように有理数列は無理数に収束するけど？

[@博史-h8r]

例えば０から１の線上に1/２のｎ乗の間隔でプロットしていったらnが無限大になることで隙間がなくなる的なことを言ってる気がする。 でもどの任意の隣同士のプロットの隙間には無限の点がプロットできるのでは、 （２をもっと大きな数字しても同じこと）

[@英訳ニキ]

そんなこと言い始めたらそんな関数でも面になるぞ

[@豆大福-v6m]

2進数展開ですねぇ はい、それが実数の完備性です

[@近藤雄二-k9s]

どんなに密になって無限に重ねても太さゼロの線が面を作ることはないw 何故ならば、実在しない概念上の線だからだ 当たってもいない宝くじの当選金を無限に想像しているのと同じ

[@ふくろう-y5l]

無限といえば、ホテルの部屋のパラドクスてのもあったね。 ペアノだけにね。 （地獄の空気でさようなら）

[@叫我钱多多]

ドラゴン曲線

[@hachimitsu-v7q]

そもそも曲線が面積を持たないというのが間違い。

[@orimupitsuku]

最後のボケがわからなかったんだけど。側面と曲線？

[@TOKUBUNE]

3分で脱落

[@mentoscola4160]

ペアノ曲線の極限が存在するってところが理解できないのと、極限が存在するとして面積がどうなるのかがよく分かんない。 極限を論じる位相と、その極限のルベーグ測度を知りたい

[@belllin632]

そもそも線は見えない 便宜的に見える化してるだけ いくら重ねても無駄でしょう

[@miyapoyopoyo]

可視化

[@3948-k7z]

縁と中心は通らなくていいの？

[@Penntyann]

分からない…点や線の大きさは0なんだから、それを無限個敷き詰めたって0じゃないのか…？ 数学上は∞×0=∞、ってことでいいんか…？

[@yh9756]

∞は数じゃなくて概念だから∞ × 0は計算できない。

[@YHP-hb8of]

定積分を考えたらどうだろう

[@くり-s1t]

無限に繰り返すっていうのは物凄くいっぱい繰り返していく、って訳じゃなくて、繰り返していくと何に近づいていくか、だから、平面にはならないけど平面に近づいていくってことでこの表現は正しいんじゃない？例えば1/無限は0だけど0×無限は1じゃない。0×無限の場合は0のまま変化がないから0だけど、今回の場合は平面に近づいていってる。1/無限が0に近づくようにね。

[@yh9756]

@@くり-s1t (前略)0×無限は0じゃない。0×無限の場合は(中略)0だけど(後略) ↑どういうこと？

[@Penntyann]

@@くり-s1t 数学における点や線の面積は0なので、まさに｢0×無限の場合は0のまま変化がないから0｣なのでは、という疑問なのだ… もしかして、｢数学における点や線の面積は0｣って自分の理解そのものが間違ってる…？

[@ta1523]

次元違うやん

[@jppwdgttgmngtkpa]

なんか脳みそみたい

[@kentaso0928]

全然的外れだと思うけど、この証明が正しいなら、「π＝4」が証明出来そうな気がする(^_^;)

[@you2409]

nを限りなく大きくすることはできても無限することはできないような気がする。 無限という数がないのと同じ。

[@you2409]

@mimizukuchan_nel 「y=1/xで、xを無限に大きくしたら0になる」というのがいまいち認められない感じなんです。

[@tt8na]

「n→∞に出来たと仮定して…」という前提があると思うのですが、気にかかる点とはどこなのでしょうか。

[@you2409]

@@tt8na 西暦無限年の話をされているのと同じような感じですかね。

[@hachimitsu-v7q]

曲線の列cnというものを考えた時にその収束先に当たるc∞という曲線が取れるので、nを限りなく大きくするというのはc∞を考えるという意味です。 ここでは曲線は[0,1]から平面への連続関数のことで、一様収束を考えています。

[@叫我钱多多]

それ知ってる

[@内諸]

面になるって事は無限に拡大しても隙間が無いって事ちゃうの？ しかも視覚的に認識出来る様に線に太さを与えてるから埋め尽くされる様に見えるけど実際は太さゼロやから面にはなりえんやろ

[@NyanBuzz]

普通の長方形とかも線分を特定の範囲だけ無限に積み重ねてる気がする。

[@mentoscola4160]

@mimizukuchan_nel 高校生か？ベールのカテゴリー定理習ってからもう1回考えよう

[@内諸]

@@NyanBuzz 太さが無いって事は0×nやん？それを無限に並べたら面になるってのがどうにもパラドックスなんよね0は無限に掛けても0ではないのかと

[@NyanBuzz]

@@内諸 無限っていうものがかなり理解が難しいんですよね。 たとえば1/xのxを1からどんどん小さくしていくと数は大きくなっていきますよね。(xが0.1なら1/xは10、xが0.01なら1/xは100) で、そうやって無限に小さくしていって仮にxを0にできたとする(※)と、1/0となって、この仮定の下だと+∞になります。 (※違和感があるかもしれませんが数学では可能です) これは1/0なので、無限×0、つまり1/0に0をかけると0が打ち消し合って1になります。 これはイメージなので実際には1にはなりませんが、0にはならないんです。 数学に詳しい人は突っ込みたいことあるでしょうが勘弁してください。

[@NyanBuzz]

たしかに線に太さはないんですけど、少なくともその線の上にはその線自身があるんですよ。 無限に敷き詰めても線と線の間が空いてるじゃねえかと思うかもしれないんですけど、無限なんでその線と線の間にも線があってその線と他の線の間にも線があるんですよ。 つまり線がない場所がないんです。

[@増田紀宜]

525！

[@mentoscola4160]

≒6.89×10^1201

[@叫我钱多多]

知ってる人いる？

[@timl7205]

ド文系の霊夢がグラフィックデザイナーのひとかいせつしてほしかった＾＾

[@miyapoyopoyo]

？

[@lm_0x]

でも線って面積持たなくない？0×∞は流石に0じゃない？

[@圭-b9x]

ペアノ曲線は面積を持たないってゴタゴタ言ってるコメ欄あるけど、じゃあ我々の体は原子でできててその原子は電子と陽子で出来ててまずそこでほぼ隙間だらけ、さらにクォークとかまで行くと更に隙間がたくさんあるわけだけど、その集合体である我々はスカスカと言いたいのかね？ 最小構成物質があるからそこにあるに決まってるだろって？その最小構成物質とその隣の物質はその物質にとっては宇宙のように遠い距離があるんだよ そんなスカスカなわれわれはじゃあ存在しないと言いたいのかね？現実的に考えろ？それが答えだよ

[@HClO2]

抽象物を扱う理論である数学の説明に具体的・現実的である原子なんて物を持ち出すのはナンセンス。科学は数学で説明されるが逆にしてはならない。というかそもそも、体がスカスカでないというのは完全なあなたの主観である。

[@mentoscola4160]

@user-ef6bh8rt8k 君の言う「スカスカ」が曖昧なのでドツボにハマっている印象。 日常生活的には、「クーロン力がある一定以上働く効果範囲」を体積としているのでその視点から見るとスカスカじゃない。 一方数学的には、「素粒子のルベーグ測度の総和」を体積としちゃってるので値はすごく小さくなるからスカスカと言える。 というわけで物理と数学をごっちゃにするのはよくない（戒め） それはそうと俺はスカスカなおっぱい大好き（唐突）異論は認める。

[@3HoIn_Siz]

素粒子はゼロじゃなくて量子論で扱える程度には質量があるだろ 物質の正体は力場の集合体なんだから、電磁波を遮断できる十分な密度があればそれは壁のように観測できるんだよ。観測側も無限の分解能をもたれされれば、我々の世界はまさにニュートリノの視界と同じようにスカスカだろうね。

[@試作遊戯]

「我々の体」はスカスカだと思う。 ただ、「我々の体が物理作用を及ぼす空間」は別にスカスカではないと思う。

[@SAKANAYA_OSAKANA]

僕の毛髪もスカスカです！