整数問題 早稲田実業

数学を数楽にする高校入試問題81
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学校は、明大明治、本郷、洗足学園、山手学院、かえつ有明、法政二などで教えていました。
塾は、大学時代から、個別指導のトーマスで指導を始め、２０歳から早稲田アカデミー、Z会進学教室で教えていました。（高校受験　大学受験）
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[@suugakuwosuugakuni]

数学を数楽にする高校入試問題81 amzn.to/3l91w2K オンライン個別指導をしています。数学を個別に習いたい方は是非！ sites.google.com/view/kawabatateppei

[@user-fm6bd8lg3b]

美しさはないけど、｢時間内に漏れなく確認作業を終える｣って大事だよな 実務的でいいと思う

[@user-pb5nk8oz1z]

4a^2b^2を右辺に移行してabの値の範囲を絞って考えました。ちなみにabの値の範囲は1以上4以下の整数になりました。

[@PPPP-br1uq]

(与式) ⇔c^2-1=64-4a^2 b^2 ⇔(c+1)(c-1)=4(4-ab)(4+ab) と変形できるので、左辺≧0から ・ab≦4 ・c:奇数 ・右辺は連続する2つの偶数の積 さらに与式から明らかにc≦8 とかが一発でわかりますね。

[@user-de5sw4lx9q]

c=1のとき（他の場合もそうだが） a^2b^2=16から ab=4 としてしまえば見落とすことがないのでは？

[@victoryisautomatic]

aもbも必ず１以上になることから最初からcの候補から8は除外してもよいかなと思いました

[@user-yh9ul9cd5f]

大学入試の整数問題の考え方に繋がる良問ですね！

[@TN-tz3lv]

4a^2b^2=(2ab)^2 a>0, b>0をつかって a^2b^2=16 ⇒ ab=4 などとしたほうがよいのでは

[@user-sz3og5tq8s]

4a^2 b^2が2abの2乗であることから65は2乗+2乗になるので(1,64)(16,49 )の組み合わせだけだと考えた方が早いかなと思いました。

[@taizohiramatsu4956]

奇数＋偶数＝奇数、c^2 + (2ab)2 = 65、最大の整数は 8、ここまでは同じですが、先に (2ab)^2 = 正の整数 となるものに限定しました。 c^2 となりうる 7^2, 5^2, 3^2, 1^2 のうち、(2ab)^2 = 正の整数 が成り立つものは 7^2, 1^2 のみ。 49 + 16 または 1 + 64 → c = 7、ab = 2 または c = 1、ab = 4

[@sorimori1296]

この解法が一番シンプル

[@14m28cm]

前半、「65から4の倍数を引いた数が平方数」と考えて、Ｃを出しました。 後半は同じ。

[@hiDEmi_oCHi]

2ab=√(65-c^2)に変形してcの範囲(正の数:1～8)、さらに2abより右辺が2の倍数になるもの、つまり「偶数=奇数と奇数の差」になるからcは奇数で確定。 あとは順々にcに代入してa、bを割り出す。

[@KN9260]

何かスマートに解く方法はないかと思いましたが、 やっぱり範囲で絞っていくしかないみたいですね。 整数問題は方程式だけでは解けないので天敵です。

[@goro_tanaka]

65-c²=4a²b²=(2ab)²なのでc=1～8に対して 65-c²が4の倍数かつ整数の2乗になるかでc=2,3,4,5,6,8を排除 残ったc=1,7に対してa,bを求めて終了。

[@megane2655]

与式を(c-1)(c+1)=4(4-ab)(4+ab)と変形する。 cが正の整数であることから、(左辺)≧0 よって右辺の4-ab≧0 よりab≦4 ここから正の整数a,bの組み合わせを求め、更に右辺の計算結果を差が2になる二つの整数の積で表す事ができるcを探しました。

[@user-bx9wf3tl1x]

奇数+偶数=奇数　知識と実務的に消去する能力がないと時間だけが過ぎて行く問題なので、川端先生の言う通り難問ですね‼️

[@acky7727]

序盤に4a²b²=(2ab)²と出ているので、正の奇数cを代入したときも、 (2ab)²=65-c² 2ab=√(65-c²) とすれば、右辺が正の偶数になる場合のみ、正の整数a,bは存在することになり、スッキリするような気がします。

[@elephant38]

これを力技とか言っちゃう人は分かってない。 条件から範囲を絞るという、整数問題で頻用する立派なテクニック。

[@poipubay1991]

私もそう思います。 範囲を絞れば総当りも簡単にできる。たった４つ。 美しさを求めるような大層な問題じゃない。

[@user-sq8tj3ze7v]

パスラボさんの言い回し😄

[@user-rt6si6pf5b]

c^2+4a^2b2=65 cが奇数は確定で、a^2b^2が16以下も確定なので、a, bで使えるのは、 a^2 or b^2 = 1, 4, 9, 16の4種類。a or b = 1, 2, 3, 4 (a, b)の組み合わせで使えるのは、qmul(a, b)=a^2b^2としてa≦bの場合のみ考えると下記5種類で、 qmul(1, 1)=1→c^2=61、解無し qmul(1, 2)=4→c^2=49、c=7 qmul(1, 3)=9→c^2=29、解無し qmul(1, 4)=16→c^2=1、c=1 qmul(2, 2)=16→c^2=1、c=1 cが解を持つのは3種類。そのうち2種類はa, bの交代が可能なので、解は計5種類。 (a, b, c)=(1, 2, 7), (2, 1, 7), (1, 4, 1), (4, 1, 1), (2, 2, 1)

[@user-tn5pr4iu7e]

競馬の馬券の組み合わせ 見てるみたいだwwww

[@user-ng1su7iz8w]

多くのコメントでも指摘されていますが、最初の条件として、4(ab)^2=65-C^2 から、｢右辺は4の倍数であり平方数」を入れるべきと考えます。 この時点でC=3またはC=5は除かれます。左記の場合　右辺＝56、40となり、いずれも平方数ではありません。 これにより１分４０秒の時短となります。受験生にとって時短は重要です。失礼の言ご容赦ください。

[@YoshiYoshi449]

いい問題ですね。条件を絞って総当りを避ける。

[@ryoryo6202]

範囲で考えるならaとbの方で絞った方がいいと思う。ab

[@cabfde870]

c^2+(2ab)^2=65 2abが偶数より、これを満たす自然数c,2abの組は(c,2ab)=(1,8),(7,4) よって、(a,b,c)=(1,2,7),(1,4,1),(2,1,7),(2,2,1),(4,1,1)

[@yga9376]

おそらく、実際に生徒が思いつくである解法で解かれてるんですね。個人的には、4a^２b^2が４の倍数の平方数だとわかるので、１６または６４に絞られることを利用すると時短になるかなと思いました。

[@user-xw3hi9nt2x]

4と16と64

[@user-py7ku9ie7l]

4(a^２b^2)が４の場合はc^2=61となり不適、というのはすぐ分かるので除外している

[@user-wy3hi7uw6p]

cに1から順に奇数を代入して、65-c^2が乗数になっているか確かめれば良いですな。 そうすると式が成り立つのはcが1,7の時で、後はそれぞれの場合のb,cの組み合わせを全部出せば良い。 65が4で割ったら1余る数で、奇数の乗数も同様であることにも注目ですな。

[@nurupostar]

mod3 mod4を利用するとc=1，5，7に絞れる さらに、mod5を利用するとc≠5となるので、c=1,7の場合のa,bを求めるだけでよい

[@race_channel_]

自分もmod使えば楽やんと思ったけど、出題が早稲田実業なので中学範囲で解くべきかな？

[@cafeelatte]

中学範囲内で解こう

[@Natsume_jp]

積にできなければ値の範囲を絞って余りに注目する。大学入試の整数問題にも使うテクニック。いい問題だと思います。

[@EdenStonerJPN]

一発で解けました。ありがとうございます。

[@nemutai2000]

何分かかりました？

[@EdenStonerJPN]

@@nemutai2000 約２分です。

[@user-ux4jh7ic9z]

すっきり解けるのかと思ったらパワープレイだったｗ

[@muhammadjayce8198]

Pro tip: watch series on flixzone. I've been using them for watching loads of movies during the lockdown.

[@royalronan1418]

@Muhammad Jayce yea, have been using Flixzone} for years myself :D

[@fn5696]

(2ab+1)(2ab-1)=(8+c)(8-c)と変形して、2ab+1=8+cと2ab-1=8-cを連立したらc=1,ab=4 と考えたらc=7の場合を見落としてしまった。因数分解からアプローチしたらばどのようにすればc=7を見落とさずに済んだのでしょう？

[@hurahura1635]

a^2b^2のまま説明するよりも、 (ab)^2で説明した方が、わかりやすいと思いますよ。まあ、どっちでも正しいけど

[@tanakayujirou2853]

難関校の整数問題は、大学入試に匹敵するから難しい。しかしながら、整数問題はおもしろい。

[@user-xq2nd2sk4b]

4a^2b^2が64以下というところから、a,bの組み合わせを求めて解きました。 これを中学生が試験中落ち着いてできるかっていうと、難しいですよね。 自分が中学3のときなら出来なかったと思います。

[@ebi2ch]

16になるのは4*4のときだけだと早とちりして1*16,16*1のパターンを忘れて(2,2,1),(1,2,7)(,2,1,7)の3つを答えとしてしまった。惜しい。

[@shuichif_piano]

(c+2ab)^2-4abc=65 (c+2ab+2√abc)(c+2ab-2√abc)=65 a, b, cは自然数なので、 c+2ab+2√abc=13, 65 ここで、c+2ab=X、2√abc=Yとおくと、 i) X+Y=13, X-Y=5 または ii) X+Y=65, X-Y=1 i)のとき、X=9, Y=4 即ち (a,b,c)=(4,1,1), (2,2,1), (1 4,1) ii)のとき、X=33, Y=32 即ち (a,b,c)= … とやったら途中でつまづいてできませんでした…

[@Nari-apaa]

a^2b^2=16とかはどっちも平方根にして ab=4にしてから解いた方がほんの少しだけ早い。

[@ikedam528]

最小限の力で解くためのテクニックですね。 65以下の4の倍数で平方数はは16か64だから、あとは自ずと出abcを組み合わせることができるという秀逸さ。 ヘタに式を変形してるほうがパワープレイですね

[@user-db5sk3zm2y]

和と差の積使えば美しく解けますよ。 c^2-64=1-4a^2b^2 (c+8)(c-8)=(1-2ab)(1+2ab) a,b,cは正の整数より c+8=1+2ab c-8=1-2ab c=1 2ab=8 以下省略

[@from7980]

今更で悪いけど因数分解した形が素因数分解し切れてるとは限らない(実際その手法だとc=7が含まれない)ので気をつけた方がいいと思います！

[@user-mv1xr2dw7f]

ab=[(65-c)^1/2]/2にしてこれを満たすcを求めると、c=1.c=7が分かってc=1のときab=4、c=7の時ab=2で無駄なく求めれます。

[@user-sq8tj3ze7v]

何だかパスラボさんの 「条件から範囲を絞る」という 言い回しが聞こえそうでした。 あとはCが奇数かつ８以下の 整数について求めたときC=3,5については 「a^2b^2が平方数でないから…」も 聞こえそうな問題でした。

[@akiratanabe4043]

解き方一緒でした。 別解を期待してたのですがやっぱりこれでしたね(^-^;

[@1980miku]

abの2乗が何かの2乗になる時を考えて、最初からc=1と7に目をつけて解きました。

[@mktm1966]

ab^2=1、4、9、16(これ以上は≧65)なので不適 c^2=61、49、29、1 この中で平方数は1、49 ab^2=4の時(a,b)=(1,2)(2,1) ab^2=16の時(a,b)=(1,4)(4,1)(2,2) の方が計算量少ないと思う。

[@kimiewatashi2396]

自分の考え方 ↓ ①4a^2b^2は正の偶数だからcは奇数 ②該当する整数は1,3,7(9だとc^2=81>65となり不適) ③c=1のときa=1、b=4 ④c=3のとき不適 ⑤c=7のときa=1,b=2 やった~この2つが解だお(^o^)/ ・・・この緻密さの無さで散々人生しくじってます(T_T)

[@buffalo0714]

数学の知識というよりは、全ての条件を取りこぼしなく整理する能力を求めているのでしょうか？ それが数学の力だと言われればそれまでですが、 このような問題を完答できる生徒が伸びるんでしょうね。

[@akirakurihara2998]

因数分解したら(C+1)(C-1)+(2ab+8)(2ab-8)=0となり、この式からは答えの(1,2,7), (2,1,7)は出ませんでした。

[@user-bo4pw2cp5g]

(C+7)(C-7)+(2ab+4)(2ab-4)=0　という形にも因数分解可能なので、この形にもする必要がありますね。

[@user-iw9by9es2s]

c≦8に気づけないとドツボにハマりますね

[@nishitoku]

前半の論理は理解できるが，後半は地道な作業になってますね． こういう問題は苦手です．

[@user-qf2yl7wq6s]

c^2>=1だから 4×a^2×b^2

[@user-mp4uw1sz7u]

川端先生のお顔を見たら、 a^2－b^2=(a+b)(a-b)を使わねば！と思い、 65を平方数に分ける作業から始めました。(^^;) 65=m^2+n^2=1+64=16+49=49+16=64+1 これで、 c^2-m^2=n^2-4･a^2･b^2　が出来るので (c+m)(c-m)=(n+4ab)(n-4ab) c=1,4,7,8の場合分けで考えました。 奇数＋偶数＝奇数 にも気づけば、 c=1,7 だけだったのか。。数学深いな。。

[@user-rg7ju2ks2m]

合格者のうち何割くらいの生徒が解けたんでしょうかね。 中学生でこれが解けるのはすごい。

[@kn590624]

答えが複数あるときは求めよで答えが一つの時は全て求めよって書いてある気がする。

[@Amaters_Omikado]

推理から容疑者を絞りこんで真犯人を探しているようなイメージ。

[@user-pj2fp9uw8l]

こういう問題も好きなんよな〜

[@east6964]

答え多すぎて不安でしたがいけました！

[@user-gd5fe7bo7i]

そもそも、x^2+y^2=65を満たす自然数の組み合わせって[1,8][4,7]しかないわけで。

[@NaitouKoumuten]

問題を見た瞬間(a,b,c)=(2,2,1)は出ました。 cが8以下の奇数になるのも分かりました。 …が、 c=1→(a,b)=(1,4)(4,1)の組み合わせを見落とすわ、 挙句の果てにはcに代入した値を2乗するのを忘れたがためにc=7を見落とすわと散々でしたええ😂 で、こんな俺がいうのもなんですが (2ab)^2 = 65 - c^2 なので、この状態で右辺が平方数になるかどうかを見て平方数なら(a,b)の組み合わせを探す…ってのもアリですね。

[@user-td2jw5gk6h]

この問題を解ける中学生って凄い・・・難関校の受験生は次元が違いますね。

[@user-jw1yh9bj8r]

高校入試でこれやるかぁ。 実験してある程度気づけた。

[@user-vk8fh2gt7g]

a,b,cはそれぞれ事ならなくていいのですか？

[@user-py7ku9ie7l]

私らの頃はこの手の整数問題は高校の数Iの参考書に出てきましたなあ。

[@user-ux6tu6is2b]

（c²+4a²b²） =（c+2ab）² -4abc →（c+2ab）² ＝65＋4abc ここまで式変形してよくわからず断念 解の公式のルートの中身っぽかったのでなんとかならないかなと思った結果です

[@HachiKaduki0501]

両辺を和の形にしてしまうと、範囲が絞れませんね。

[@takahanayutaka8295]

cの2乗を右辺に移項したとき(65-c^2)2乗数(2ab)^2になるわけだから3と5は簡単に除外できる 後は2ab=4,8→ab=2,4となるから組合せを… とやったつもりが何故かc=7を見逃がすといういつもの凡ミスかました(T_T)

[@batta1583]

好きなタイプの問題

[@mush1410]

両辺を4で割った余りを考えるとc^2は4で割ったあまりが1である必要がある。(65/4=16あまり1より) そうするとcのとりうる値が1か5で絞ることができる。あとは計算。

[@user-el4rs1ww3s]

最初の3つしか答えが出せなかった！ 悔しい！！

[@user-bq5zt6cr2i]

どうでもいいことですが、出題者はなぜaやbよりも先にcを使ったんでしょうか？？ aやbよりも先に、cを絞り込みなさい、と暗に示している…… というのは考えすぎでしょうか

[@user-ei2rs9tl7i]

早稲田だから何かエレガントに解ける方法があるかなとか思ったし

[@user-vr1ff2no1r]

せっかく、4a^2b^2=(2ab)^2とボードに書いてるのに、移項して差分を4で割る、何故?差分が平方数かどうか判定したほうが合理的

[@hiroshihappy9322]

この問題をクリアして早実高に入学した奴らは超賢い。

[@user-tc3gg6ty8v]

最近音声が小さいのは私だけですかね？opが紹介だった頃や広告や他のチャンネル等と同じ音量なんですけど、結構聞きづらいです。(´・ω・`)

[@junyao6483]

a,b,cをそれぞれ異なる正の整数と思い込んでしまい間違いました。

[@kirlhush-kt6916]

C=5のとき、a=1or3. b=1or3はだめ？

[@kirlhush-kt6916]

@@yuta1010blog あっ、本当だ。何言ってたんだろ

[@user-ij4ig9mm6v]

早実よりも甲陽の方が好きそうな問題(笑)

[@genomematcher9425]

a^2b^2が16以下と考えた方が速い。

[@kentak1012]

mod4でCを絞る

[@ikzothefinal]

これCかな！？ 明らかに他のCより簡単だよね。

[@AA-wu2gx]

確かにそうですね。普段Bですら半数以上ギブアップするのですが、1分で解法を思いついて5分以内に正当できました。

[@ptptsoushu]

地道に解いてから、動画見えるたら同じやり方でした。人生地道が一番(^^)

[@user-rm6dg7wb5e]

奇数偶数には目をつけた。あとはダメ。

[@user-wo1xj3zd4u]

なんか当てずっぽうに行けたぞ

[@tatsurouz4295]

整数問題の基本の考え方がつまってますね。高校生でも参考になる良問です

[@tks6956]

久々に、8を書くのを見た（笑）

[@user-kh2yi5cn5s]

cが8はない

[@user-qi9qx8wu5b]

すべて求めよとは書いてなかったから1つみつけて終わってたわw

[@user-mb7mo4tk5n]

これは暗算できた

[@user-vr8jk5cc3u]

美しくない 大学入試ならmod使えるんだけどなぁ 高校入試は総当たりが限界かな