这是一个数学无法回答的问题

[@경원량]

你的视频很好的体现了集合论为何是一个扼杀想象力和理性的毒瘤

[@816729438]

3:55 這麼臭的進位有存在的必要嗎

[@timt8813]

連數學頻道都有homo梗(悲)

[@mejianLM]

_(首)_

[@tonywo2735]

Homomorphism也是homo啊 (惱)

[@ETeyondLitle]

斜着的字怎么打出来的​？

[@zackhamguo]

​@@timt8813数雪家都事homo应该是个常识吧（心虚

[@Liebebella]

住30平米房子的我瞬间大喜，因为我家的点和300平房子的你一样多。

[@ppluo7821]

房地产老板狂喜，以后房产证面积可以换成阿列夫了，如果要打官司首先要证明30平房子与300平房子不一样大这个数学问题😀

[@spacefreedom]

康托尔集长度为0，势仍旧是2^N0，所以即使你的房子长度为0，点仍旧可以和300平米房子一样多。

[@gordonwong2220]

为啥你读博还有这么长时间做这么精美的视频呀

[@wzko6199]

因為他是數學家

[@tszyulo6423]

因為念書的時間a，做片的時間b，每天的時間c都是阿列夫0 a+b=c

[@tantalum1482]

​@@lol-ho2kj？

[@ginwong6292]

？​@@lol-ho2kj

[@user-chenchen-1001]

@@lol-ho2kj？

[@pabloshi4863]

15:53 这个地方r(A)应该是一个数吧？我感觉up主想说的应该是B={s=r(A):s otin A}

[@麻吉-w7b]

UP您好 我很認真的看了您的影片, 在13分左右說的區間套我過去也有學過, 但是看完之後產生了一點疑問 過去我們學過高維空間的向量和一個行列式值為0的矩陣相乘以後維度會變低, 並且這個過程不可逆, 我過去的理解是, 因為高維的勢是比低維更高的, 所以不可能存在下到上的一一對應, 但依您的說法, 我是不是可以這樣理解: 低維到高維的一一對應存在, 只是不能依照線性方法構建？

[@hunter414able]

沒錯，低維到高維之間的一一對應不可能又同時是連續的，如果能找到連續的一一對應的話，我們就等同於找到實數的良序了。

[@yandu1157]

16:30的地方符号有混乱，第三行的A应该是B，最后一行的x应该是r

[@zmxxx6550]

第三行没错吧

[@Omnipotent_Consciousness]

儘管目前無法判定連續統假設的真偽，但Aleph數以及Beth數的頭尾都是相等的。 Aleph-0 = Beth-0 Aleph-Ord = Beth-Ord

[@lol-ho2kj]

公理化必先定義，但在新的到來後又會讓它失效，這不是問題，而是告訴你，這條路本質上是無義的

[@bittergourd]

这里引述的康托定理的证明只说幂集不一样大，但也没说明它更“大”--当然这也就是一句话的事。 而且也没说明康托构造的幂集的势就是2^{\aleph_0}.

[@eyang1969]

其实有点误导，只是证明了在ZFC公理体系下不可判定。但这个命题仍然可能被以其他方式证明或证否，比如古德斯坦定理是一个关于自然数的相对简单的命题，它在皮亚诺算术中是不确定的，但却在另一个系统中被证明确实为真。

[@tranlewlinign9592]

总之，问题出在ZFC公理体系上。如果接受了ZFC公理，连续统假设就是一个悖论。但是目前ZFC公理仍然被数学界广泛使用，至少还称其为“公理”。

[@hakunamatata7616]

旁观者：两位大哥，啥KFC啊😂

[@LicusKang11]

@@hakunamatata7616如果你能吞了ZFC（证明ZFC是错的），你大概也能吃到无限的KFC

[@lam31483]

想問如果在power set裡面扣掉empty set, 如何保證B一定存在?如果B不存在後續要如何證明?

[@Omnipotent_Consciousness]

數學是沒有時間性和處境性的理念界，它無視時刻和可能性地真實，在所有可能世界中都是真的，是每一個世界都通用的邏輯原理。 物理宇宙反而只是不斷轉化的偶然性，它實際上才是虛假的，代表不了每一個可能世界。

[@弘-x7k]

可以用這些理解講述最簡單的那些概念 表 勢 點線面 我以前以為點是縮線 但顯然不是

[@yiacov]

值得反复看 尤其非数学专业的 了解一下背后图景 很好玩

[@omigaaleph5183]

直接读康托那本书就是了

[@WENRUAY]

同理,三維的太空,可以全息投影到黑洞的事件視界球面(二維)上.

[@chillmathematician3303]

measure theory?

[@allenlu2007]

謝謝非常精彩的講解！

[@OuyangJialin]

16:26 幂集具有更大势的证明，是不是还需要证明B集非空？

[@tianyang5241]

阿列夫林位女嘉宾请亮灯😂

[@wanderingpoetinvoid]

有限長的線跟無限長的線皆有無限多的點是因為數學無視現實世界法則而導致的想法，就跟小說一樣，只要無視法則，就可以推衍出各種違背現實世界的情節。 並不是真實世界有限線段真有無限多基本粒子。 數學與世界無關，數學只是一種描述世界的工具，並不會因為數學算出怎樣，世界就配合我們計算結果變成怎樣。 而是我們推估公式，帶入參數來預估現實會是怎樣。 公式錯誤就會發生計算結果與現實不符。 這也是為什麼我們要不斷修正理論與假設。 所以不要本末倒置了，數學與世界不等價，只是人類創造出來的概念，是世界的一種現象，

[@ppluo7821]

赞同，数学是抽象的，现实世界中最小的分割单位是普朗克长度，虽然值很小，但是有一个具体数值的。不过无穷的数学推理还是有很意思的

[@lefz9298]

视频从来没有说过点等于粒子啊，你对着不存在的观点解释什么，点就是很纯粹的几何概念的点

[@Omnipotent_Consciousness]

數學是沒有時間性和處境性的理念界，它無視時刻和可能性地真實，在所有可能世界中都是真的，是每一個世界都通用的邏輯原理。 物理宇宙反而只是不斷轉化的偶然性，它實際上才是虛假的，代表不了每一個可能世界。

[@Coffee18Cool]

9:46 我有个问题哈如果从那个点延伸出去的线和下面的直线平行怎么办那岂不是和直线没有交点了

[@henrylin1290]

那個半圓周是沒有包含最邊緣(你所謂會造成平行)的兩點的

[@wright8329]

笑死，看著看著數字突然有股惡臭

[@user-bob-pikachu]

你提出的集合問題會不會牽涉到羅素悖論？樸素集合論可以任意亂使用嗎？

[@LatticeMage]

畢導精神繼承的系列，大推

[@roywang7414]

Contour set 其實可以寫成二進制小數😅

[@bittergourd]

(0,1) 和 [0, 1)比，后者多一个0，怎么构造一一对应关系？类似的, 9:44，圆弧两端如果是闭集，这两个端点对应直线哪里？

[@dying476]

這其實是一個有趣的問題，我認為你可以自己找尋解答，不過我還是會在下面留一個方案 以 (0, 1] 和 (0, 1) 為例 對於可以表示成2^(-n)的數字，例如：1, 0.5, 0.25...，他們對應到自身除以2之後的數字，也就是 1 -> 0.5 0.5 -> 0.25 0.25 -> 0.125 0.125 -> 0.0625 ... 對於其它數字則對應到自身，至此我們就完成了從 (0, 1] 到 (0, 1) 的一一對應，對於圓弧到直線也可以用類似的方法

[@bittergourd]

17:00 的符号有点惨不忍睹。up主得改改。 A是集合， r(A)是实数 B = {r \in [0, 1] : r(A) otin A} r(A) \in A \Rightarrow r(A) otin B r(A) otin A \Rightarrow r(A) \in B 于是矛盾产生了：r(B) 在不在 B 里？

[@manshi_math]

@@bittergourd 别提了……确实

[@__-bx2wf]

我以為應該寫成 B = {r(A) \in [0,1] : r(A) otin A} 在一個證明中同時用r指代實數(r \in [0,1]) 和關係 (r \in 2^[0,1]×[0,1]) 會導致理解上的困難⋯

[@BianJunShenYin]

我知道的是阿列夫零无法与阿列夫1比大小，只能比较势的大小。另一点，我只能理解阿列夫1是已知的第一个不可数集合的基数，包括实数，复数和其它不可数数。到这里，我已经无法理解第二个不可数集合的基数阿列夫2了，好像在这里已经不能用外延定义这个概念了。

[@特別的特特special_TT]

6:47 無窮大又不能進行這樣子的運算，不然0.(0)1÷2=0.(0)5，除以2反而是乘以5？

[@lol-ho2kj]

量子力學：如果見為真，那么見為假

[@BianJunShenYin]

还有一点，如果将阿列夫数作为一个集合，这个集合本身又是一个阿列夫零，然后还可以继续下去，这些势本身也存在一个到可数无穷到可数无穷位的不可数无穷，然后这个过程本身仍然可以成为一个集合，又重复一遍从可数无穷集合到可数无穷集合位不可数无穷集合，然后……

[@Liebebella]

人类的文字是有限无穷，而人类的思想是不可数无穷。

[@lol-ho2kj]

无穷不存在，因歐州的科學家己說明一個度的无穷小是不可能的

[@tinchunlo4643]

等等， 根據實數完備性， 無窮數好似無法視為實數

[@蔡秉諺-f5g]

那麼，怎麼證明康托爾集與實數線有一樣多個點？

[@alishchuang9987]

他有給出答案了 每一個康托爾集的元素都可以從第一層在左邊或在右邊進行編號。 因此可以寫成0.100101010⋯這樣類型的無窮位數小數，來映射到實數軸上。

[@呵呵-g8s]

9:02 那邊，如果圓的弧度超過一半，那他的點就比無限長的直線還多？

[@manshi_math]

還是一樣多哦，想證明不是一樣多，必須要同時證明所有的一一對應的方式都不行。某一個特定的方法失效了是不夠的

[@呵呵-g8s]

原來如此：）@@manshi_math

[@xswang-man]

有限长圆弧和无限长的直线等势那部分我没看明白，在那个图上看圆心跟圆弧两端连线构成的三角形的底边应该就是圆弧可以对应的极限了，直线上超过三角形底边的部分是怎么对应出来的？

[@lefz9298]

他画的确实不够好，你可以想像圆弧刚好是个半圆，当连接线一端无限趋于弧形的端点时，连接线也就会和直线无限趋于平行

[@dansy3000]

實數無限這個概念是抽離了物理層面的思想產物，當然會遇到這種在框架內無法證明真假的狀況。實際上引入普朗克長度後，無限概念就不存在了，一點淺見。

[@愚者-w8u]

普朗克長度只是無法對於該尺度以下做出觀測跟普朗克時間一樣，再引入這些概念之前必須先確認時空間是連續還是不連續的

[@Omnipotent_Consciousness]

訂閱你了！

[@林姐妙廚]

我有個想法，因為我們世界上的量是有限的所以無法理解

[@陈伟-d7j]

康托的证明有一个缺陷 一个集合的所有子集算不算一个集合呢 这个他没有证明

[@_id_5829]

哈哈 不能證明的就是公設了 這是冪集合公設 the axiom of power sets

[@boiii2148]

17:01 的部分我有個問題 雖然如果B存在確實是可以證明 但要怎麼證明B存在啊

[@availableandreliable.4639]

我也有相同的疑惑 不過若是A都是以點(而非區間)的形式取實數的話 那B應該就是必然存在了？

[@lol-ho2kj]

简字和簡字不過是通假字的表現

[@αβδτ]

这不就是集合论的内容吗

[@3a146]

这不是和实数等势么

[@july_wu]

无穷谈一一对应就是扯蛋，都会推导出一些荒谬的事情

[@lol-ho2kj]

use a image to correspond grow is imposible

[@ignishung]

面積不一樣沒問題嗎

[@Loslise]

一砂一世界，一花一天堂，無限掌中握，剎那即永恆。

[@王將-u5m]

20:58 量子疊加態🤣

[@ikarienator]

不是啊，这只是一个ZFC无法解答的问题。

[@自由至上-p9n]

连续统假说的肯定和否定都与ZFC无矛盾。

[@sunshaking]

非常牛逼

[@davidjiang5386]

0和1之间取得有理数几率为0难道不是悖论吗？只要存在就有被选中的几率，我觉得结果是无穷大除无穷大，也就是算不出来结果，但肯定不是0，因为只有不存在，选到的几率才是0

[@dannyyang9554]

無窮分之無窮為什麼算不出結果

[@davidjiang5386]

@@dannyyang9554 因为 无穷大*n=无穷大，n是不等于0的任意数，所以无穷大除无穷大结果是0以外的任意数，也就是无结果

[@麻吉-w7b]

不說有理數, 取到0.5這個特定點的機率也是0, 但這不妨礙我們有可能取到0.5, 感覺用特定點的例子應該會比較好理解一點..嗎？

[@davidjiang5386]

@@麻吉-w7b 我觉得取到0.5的概率是无穷小，并不是0。在0和1之间取到某一个有理数的概率都是无穷小，问题是0和1之间有无穷多的有理数，最终取到有理数的概率是无穷小*无穷大，也是无解

[@entropy420]

@@davidjiang5386 所以要實際算到底多少，而不是就停在這說無解 康托爾已經用對角論證法證明了無理數集與有理數集不等勢，在實數集內，有理數集的測度為0，原問題機率即為0 但「取到有理數的機率為0」與「不存在有理數」並不相同

[@simsixzero]

神奇哉

[@lol-ho2kj]

聖經：殖民是上帝的祝福

[@akaiwon6594]

這個影片應該發過吧，這次是重發嗎？我記得上次也寫了對於無窮的質疑，不過那次都是用文字，不然這次來看看用幾何證明，就用8：00左右的那個圖吧，假設那兩個三角形邊長，大三角：小三角＝2：1，表示從頂點拉兩條線，在底部交出的兩個線段，長度比例永遠是2：1，然後我們在小三角的左邊底部頂點，往右取一個點，假設這個點跟頂點之間就是沒有任何空隙可以再塞下一個點不管取到多無窮小都一樣，然後同樣畫線交到大三角的底，前面已經知道這兩個線段一定是2：1，所以大三角的線段中間至少還有一個點，而前面假設小三角線段中間是沒有點的，由此證明兩者根本無法一一對應，長線段的無窮多點，比短線段的無窮多點要多。而且應該保持2：1的比例。

[@manshi_math]

首先这里不是分析学，无穷小的概念不能这么用。其次，你并没有证明不存在任何一一对应，至多只是证明了对于【这种】特定的方法没法一一对应。真正证明不存在一一对应的，得用后面的对角线方法。 之前你看到那个账号可能是盗版我的，被版权打掉了

[@pabloshi4863]

我是数学专业的，你的证明说明了这样一件事：如果在短线段中的无穷小和长线段中的无穷小建立一个一一对应，那么长线段中的无穷小（后者）的长度是前者的长度的两倍。用分析学的记号表示就是d(2x)=2dx。你说的“往右取一个点”这件事做不到，因为线段上任意一点（除左端点）和左端点之间必定有另一点。这也是0.9循环等于1的原因。@manshi_math 我的理解对吗？

[@joe40173]

@@pabloshi4863 我覺得有2件事要先確定才能討論你的問題。一、這裡應該只談測度而不是長度。二、0.9循環是否等於1應該要看宇集是否具有完備性。

[@KewoNg-to6zj]

首先，如果但凡有一種方法可以構成一一對應，那兩個無窮大的勢就是相同的，而你並沒有證明絕對不存在任何方法構成一一對應，所以「長線段的點的數量比短線段的點的數量多」的結論沒有得到證明。 其次，對於「取一個點使得它和原本的點之間不能塞下任何的點」的説法，假設原本的點在線段的坐標為x，新點為h，讓|x-h|=dx, dx≥0；通過反證法，若存在dx>0，則存在一個點p的坐標為x-dx/2，使h

[@dylanl7291]

KewoNg-to6zj 已經說得很好了，我只是稍微補充一下。你的這段話很有問題 "往右取一個點，假設這個點跟頂點之間就是沒有任何空隙可以再塞下一個點不管取到多無窮小都一樣"。你的這假設就是在說給你一個實數，你可以找到下一個實數以至於中間不存在任何一個實數，但很明顯是錯的。任意兩實數a, b, (a+b)/2就是一個在中間的實數阿。 不只上次沒看懂影片在說什麼，這次數學都很有問題。

[@lol-ho2kj]

lology

[@spacefreedom]

2^N0 是实数无穷大，与实数轴一一对应。 康托尔集合也是 2^N0, 长度却是0，在数轴上不占地方。有矛盾吗？他们两个（康托尔集合和实数轴）怎么能一一对应？

[@manshi_math]

@@spacefreedom 因为长度是测度概念，而无穷是集合的势的概念，两者并不一定等同

[@spacefreedom]

所以实数无穷大可以是一段实数轴，也可以是一段实数轴上某些无穷多的点。 找到康托尔集和数轴一一对应的方法了，同样是构造小数，数轴的二进制小数和康托尔集的三进制小数，和博主构造方法一致。

[@spacefreedom]

都是无穷多的点，都不连续，康托尔集却比有理数多的多，😢而且有理数可以在任意区间内取出无穷多的点，康托尔集却不行。