!!!!!! О ВЗАИМНО ОБРАТНЫХ ФУНКЦИЯХ !!!! 1)Числовой функцией назовём « машину» ( « способ» ; « алгоритм» « процесс» « преобразование»и т.д, ) , преобразующее число на входе в число на выходе . { область определения функции } - множество чисел , которые функция способна «переработать» , в соответствии с её определением . 2) Если на вход функции y=f(x) подаются число ‘а’ из области её определения , а на выходе получается число ‘b’ , это записывает в виде : (1) f(a)=b . 3) «СЛОЖНОЙ ФУНКЦИЕЙ» называют последовательно работающий несколько функций . При этом : число на выходе предыдущей функции на вход следующей функции. Для двух функций это записывается в виде y=f(g(x) ) . Например , если : g(x)=sin(x) , a : f(x)=3*x^2 , то f(g(x)=3*[sin(x)]^2 4) Две функции : у=f(x) и y=g(x) называются «ВЗАИМНО ОБРАТНЫМИ» , если !!! для всех чисел ‘a’ области определения f(x) - выполняется тождество : g(f(a) )==a !!!! ; И НАОБОРОТ : !!! для всех чисел ‘b’ из области определения g(x) - выполняется торжество : f(g(b) )==b. Шутливый пример из практики . (😊 Машина преобразующая стэйк в фарш и машина преобразующая фарш в стэйк - являются взаимо обратными. 😊). Серьезный смысл шутки заключается в том , что в окружающем нас мире существуют необратимые процессы . Неудивительно , что и в математике существует функции у которых нет обратной. Практический прием , позволяющий для функции определённой формулой y=f(x) получить обратную : в написанной формуле заменить игрек на икс , а икс на игрек , и решить получившийся уравнение относительно игрек . Пример 1 : !! y=f(x)=2*x+4 !! ; заменяем - получаем : x=2y+4 то есть : !! y=g(x)=(x-4)/2 !! . Полезно убедиться 😊) , что для любых чисел выполняется: f(g(w)==w и g(f(v) )==v !!! Пример 2 : !! y=f(x)=x^2 !! ; заменяем - получаем : x=y^2 то есть : !! y=g(x)=+-sqrt(x) !! . А это не функция . Значит обратной нет. Пример 3 : !! y=f(x)=x^2 ПРИ 0<=x !! ; заменяем- получаем : !! x=y^2 ПРИ 0<=y !! то есть : y=g(x)=sqrt(x) . Полезно убедиться , что ПРИ всех 0<=x Выполняется : f(g(x) )==x и g(f(x) )==x !! Пример 4: !! y=f(x)=2^x , 0<y !! ; заменяем - получаем : !! x=2^y , 0<x !! То есть : y=g(x)=log{2}(x) , 0<x . Полезно убедиться , что выполняется ………….. Пример 5 : !! y=sin(x) !! заменяем - получаем : !!x=sin(y) то есть : y=(-1)^n*arcsin(x)+pi*n ,n€Z . А это не функция . Значит обратной нет. Пример 6 : !! выбираем монотонный кусочек синуса : y=f(x)=sin(x) ПРИ : |x|<=pi/2 !! Заменяем - получаем : x=sin(y) ПРИ |y|<=pi/2 ; то есть y=g(x)=arcsin(x) . Полезно убедиться , что ПРИ |x|<=1 : f(g(x) )==x и ПРИ |x|<=pi/2 g(f(x) )==x . Также полезно убедиться , что в Декартовой системы координат : точки с координатами (a;b) и (b;a) СИММЕТРИЧНЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ : !!! y=x !!! Это означает (что важно знать и понимать) , что графики взаимно обратных функций СИММЕТРИЧНЫ относительно этой прямой. С уважением, Лидий

39:00 так тут на самом деле можно считать только изменение длины, dℓ = ℓ - ℓ₀ = ℓ₀(1 + αT) - ℓ₀ = αTℓ₀ = 3 мм то есть сделать "уборку" 41:30 ещё до перехода к конкретным числам

1:05:00 - 1:12:00 . Предлагаю приём , позволяющий надёжно записывать все формулы приведения . Любая формула приведения : sin(pi*n/2+-a)=?….? или cos(pi*n/2+-a)=?….? - является тождеством , верным для любого значения ‘a’ . Удобно её воспроизвести для « маленького» значения ‘а’. Отложим это маленькое значение 0<а<<1 на оси икс . Получаем : 0<sin(a)<<1 , cos(a)=~=1 . Найдём точку на тригонометрической окружности (на спирали) , соответствующую числу : (pi*n/2+-а ). Если значение нужной функции получается маленькое-положительное - это : +sin(a) ; маленькое - отрицательное это : (-sin(a) ; большое - положительное - это : +cos(a) ; большое - отрицательное -это (-cos(a) . Некоторым так нравится 😊)!! С уважением , Лидий

30:30. О «радианном» измерении углов . Если привести несколько концентрических окружностей разного радиуса с центром в вершине некоторого угла , то отношения длины « отсеченной этим углом» дуги к радиусу соответствующей окружности будет ОДИНАКОВО ! ИМЕННО ПОЭТОМУ - это отношение принимают за величину данного угла , выраженного в радианах. Покажем , как пересчитывать градусы в радианы и наоборот. Углу в 180° - соответствует половина окружности . Значит : ( этот угол в радианах)=0,5*2*pi*r/r=pi . Очевидно , что отношение двух углов ( двух длин , двух масс и т.д) - не зависит от единиц их измерения . Получаем для любого угла : (1) A*/180*=Aрад/pi . Умножая в равенстве (1) обе части на «нужный» знаменатель - получаем формулу пересчета из градусов в радианы и наоборот !! [Но , как было отмечено выше , во «взрослой» тригонометрии можно обойтись без углов как в градусах , так и в радианах ] С уважением , Лидий

Спасибо. Предлагаю современные определения в тригонометрии . Уверен , что через короткое время именно так будут преподавать тригонометрию в школе . 1) « геометрическое детство тригонометрии» . Во всех прямоугольных треугольниках с данным острым углом отношение « противолежащего» катета к гипотенузе - одинаково и зависит только от величины этого острого угла . ИМЕННО ПОЭТОМУ этому отношению определили специальное название СИНУС ЭТОГО УГЛА . Одинаковые отношения приКОСающегося катета к гипотенузе назвали : КОСинусом этого угла. В геометрии углы больше 180° практически не встречаются . 2) во « взрослой» тригонометрии - синус и косинус это « ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ» , то есть : !!!!! «машины» - превращающие число на входе в число на выходе !!!! . { Не нравится « машина» - устройство , алгоритм , соответствие - превращающее число на входе в число на выходе }. Один из многочисленных способов задания числовой функции - геометрический : (число на входе)- (точка на числовой оси входа ) - (точка на числовой оси выхода) - (число на выходе) . Например : хорошо всем известный график числовой функции в Декартовой системе координат. Но числовые оси входа и выхода можно располагать и иначе. Красиво нарисованная Вами единичная окружность - перпендикулярное сечение «цилиндра» -«трубы» . Проведённые через центр сечения оси «выхода» - ось синусов и ось косинусов. Прикрепляем ноль оси «входа» - икс в понятном месте на поверхности цилиндра и наматываем ось икс на ЦИЛИНДР» в виде СПИРАЛИ . Положительное направление против часовой стрелки , а отрицательный «хвост» - по часовой стрелке . Так как ось входа - икс - « тонкая» : (длина одного ветка )=2*pi*1=~=2*3,14…. . Откладываем на оси входа число и получаем указанным Вами способом точки на осях выхода . Получаем на выходе - значения синуса и косинуса данного числа. Докажем например важнейшeе свойства функции f(x)=sin(x) - периодичность с периодом T=2*pi . { Заметим , что в окружающем нас мире огромное количество периодических процессов , математической моделью которых являются периодические функции. Оказывается : любую периодическую функцию можно представить как сумму специально подобранных синусов и косинусов ( ряды Фурье ) . ИМЕННО ПОЭТОМУ важно и полезно подробно изучать « взрослую» тригонометрию в школе } Отложим на «спирали входа» число : x1=7548 . ( можно поставить любую точку 😊) . Из-за иррациональности числа pi - при кружении по спирали - ошибка накапливается и никто все равно не проверит 😊) . теперь отложим число : x1+2*pi=7548+2*pi . О. О !! точки на рисунке совпали . Значит у этих двух чисел синусы одинаковые и косинусы одинаковые . Вот зачем пришлось накручивать «спираль» на «трубу». Уверен , что весь Ваш дальнейший рассказ можно интерпретировать в соответствии с данным подходом . И никаких углов , ни в градусах ни в радианах. С уважением , Лидий

за крышку от кастрюли ЛАЙК!!!)

Анна Георгиевна,спасибо большое

№13. Спасибо . Но , (как часто бывает в тригонометрии) можно чуть иначе . После 1:00:55. Можно получить четвёртый вариант этой формулы . (1) [sin(x)]^2=0,5*[1-cos(2*x)]. (её ещё называют « формула понижения степени» ) Подставляем (1) в : (0) cos(2*x)+[sin(x)]^2=0,75 - получаем : (2) cos(2*x)=1/2 . Значит : (3) 2*x=+-pi/3+2*pi*n или !!!!! x=+-pi/6+pi*n ,n€Z !!!!! А это ( как часто бывает в тригонометрии) - другая форма Вашего ответа. Далее как у Вас ! С уважением , Лидий

Т.е, системой

Можно было найти к путем подставления координат.

Прекрасная Анна Георгиевна, спасибо вам за все, запомню вас на всю жизнь! ❤

Спасибо, хорошее объяснение

Никакого горизонта не существует, а только схождение перспективы , и корабли ни за какой горизонт не уходят , потому что вода не может быть выше уровня корабля .

Восхитительно!!!❤🎉

Ааааааааааа Архимед зачем ты это придумал

AO , конечно

Не такая уж простая задача 25 и на ра два три не решишь. Не каждый ребёнок догадается про биссектрисы SO, AQ

1:44:09. В комментарии рисовать не умею . А добавить комментарий хочется 😊). Придётся решать аналитически. Подставим игрек из второго уравнения в первое и перефразируем задачу . « при каких значениях параметра уравнение : (0) (x^2-8*x-a+3)*sqrt(-2*x-a+3)=0 имеет ровно два различных корня» . Уравнение (0) равносильно объединению уравнения (1) -2*x-с=0 и системы : (3) f(x)=x^2-8*x-c=0 и 0<=-2*x-c , то есть (4) x<=-c/2 ; где : (5) с=а-3 {старое доброе правило : увидел упрощающую замену - сделай ! } В такой формулировке задача решается графически в плоскости ‘COX’ также красиво , как у Вас. Но , продолжим аналитически. Из уравнения (1) получаем корень (6) x1=-c/2 - при любых значениях параметра. Значит система (3) и (4) должна иметь единственное решение , не совпадающее с ‘x1’. Из ненарисованного 😊) графика квадратного трехчлена (3) видно , что уравнение (3) может иметь единственное решение удовлетворяющие неравенству (4) в двух случаях : 1) D(с1)/4=(-4)^2+c1=0 ; то есть : (7) с1=-16 ;при этом : x2=-(-8)/2=4 . Подставляем для проверки в условие четыре : 4<=-(-16)/2 ; ВЫПОЛНЯЕТСЯ ! Значит !!! (8) a=c1+3=-13 В ОТВЕТ !!!! 2) ??? (9) g(x)=x^2+p*x+q=0 ; при каких условиях один корень ‘x2’ уравнения (9) x2<d , а другой корень (10) d< x3 ? Это условие: g(d)<=0 ; плюс , необходимо отдельно рассмотреть случаи , когда g(d)=0 ???? Получаем f(-c/2)<0 ; то есть : (11) (-c)^/4+4*c-c<0 . Значит :(12) c€(-12;0] то есть а=(с+3)€(-9;3) . Проверяем случаи : c2=-12 . Получаем из (3) : x2=2=не=x1=6 , x3=6=x1 - всего два различных корня ЗНАЧИТ : !!!!! a=c+3=-12+3=-9 В ОТВЕТ !!!! Проверяем случай с3=0 . Получаем из (3) x4=0=x1=-0/2 , x5=8 - не удовлетворяет условию (4) 8<=-0/2 . Следовательно этот корень НЕ годится и в случае с=0 всего один корень. Объединяем все !!!! …. !!!! полученные результаты - получаем Ваш ответ. Пожалуй - графически метод ( особенно в плоскости COX . Там прямая C=const - параллельно оси икс и определение числа корней проще чем у Вас ) намного красивее и компактнее ! С уважением, Лидий Клещельский

Я бы от такой девочки немедленно бы отказалась, даже если бы это был самый гениальный ребёнок. Представляю как Вы намучались проверяю её дз

52:00 Для плоскоЗемельщиков. Надо учесть, что свет распространяется по прямой лишь в однородной среде. В задачах по математике происхождение формул не обсуждается, поэтому оставайтесь в своей вере. Но то, что в задаче дается как данность, надо учитывать "буквально", т.е. буковки не перепутайте.

Обида - всегда от обманутых ожиданий, когда наблюдаемое не соответствует построенной картине мира. Менять модель на адекватную, учесть важные факторы, а не искать виноватых. Буковки должны читаться. Ученики должны иметь адекватную модель про свою память - теория общая для всех, методичку пошлю. По теории всё пишется, если нет отвращения, в мусорную корзину. Прямая аналогия, ничего не потерялось, но нет быстрого поиска. Сознание корзину не контролирует.Это всё во власти МОЗГа. Переход информации на уровень личности происходит, когда МОЗГ поверит, что информация не случайная и полезная. Условное число повторов в разные сутки - 7. Меньше на 2 - это может быть случайная информация. Больше на 2 - уже куча, надо запоминать. Активный уровень - когда можешь объяснить тему без подготовки - уже навсегда. Объяснять себе и другим - полезно. Вспоминать с легкостью, повторять с удовольствием.

Анна вы неповторимы!!!

Пока "ребенок" не станет сам "ботать" предмет,ежедневно, на постоянной основе, ни один репетитор за него это сделать не сможет! И спасибо,сто появилась такая возможность,он-лайн помошников. Форма зкзамена абсолютно никакой ро́ли не играет. Разбирайтесь со своими детьми сами!

ой, как же хорошо, что я уже прошла этот год подготовки на курсе турбо и закончила школу, уже поступить успела, думаю в унике проще, чем в школе было. Всем 11-классникам удачи!

Ага, только все бюджетные места забирают олимпиадники, а люди, которые пахали два года и получили желанные 100 баллов по всем предметам, не попадают даже в списки платных мест

Мне кажется или те, кто сетует за отмену ЕГЭ это дяди и тёти, которые никогда к ЕГЭ не готовились, не сдавали его и по нему не поступали. Обвиняют ЕГЭ в том, что он шаблонизирован и «не дает развивать знания». Вы учились в нынешних ВУЗах?) Уверен, что в ВУЗах ниже ТОП-10 рейтинга России не сдать матанализ может только ленивый, вытащиться на 3-ку можно всегда, если приложить усилия. Это тоже проблема ЕГЭ? Отчисляются либо те, кто уже устроился на работе, либо те, у кого ВУЗ идет поражняком. Учёба в ВУЗе требует от тебя настойчивости и умения разговаривать, это позволяет закрываться на 4 и 5. Везет тому, кто везет. Подготовиться к ЕГЭ, если у вас нет денег, можно в интернете и бесплатно, но вы приложите к этому больше усилий, вот и вся правда. Проблему нужно искать не в ЕГЭ, а в себе:)

Набрал 92 благодаря Анне Георгиевне в 21 году, подготовка стоила всего 6 тысяч за весь год обучения, у других дороже. Сам из региона, мало того, из села🤷🏼 Поступил в Москву - это того стоило. Мысль о том, что мне предстоит вернуться на родину в случае чего, не пугает.

Спасибо за ЕГЭ мы поступили в ГУАП Санкт-Петербург из маленького города Находка где нет ВУЗов.

Конечно против отмены ,ведь вы зарабатываете на Натаскивании на ЕГЭ. Вам стыдно должно быть, предмету вы не учите, и я думаю уже забыли как это -учить. Так что чья бы корова мычала, а Малкова лучше бы молчала. Чего стоят платные утренние разборы ДВ.

Согласна с вами на все 100% ЕГЭ это равные возможности

Здравствуйте. Я хочу купить курс, который мтоит 1600рублей😊можно ссылку?

Спасибо за 16 задание! У вас самое понятное и незамысловатое решение

Спасибо

Вы прекрасный учитель! Спасибо! Подписана на Вас.

Спасибо за красивую улыбку и великолепное объяснение! И на самом деле для меня это был всегда сложный вопрос! Вы очаровательны как всегда!

Спасибо

Спасибо, за объяснение и порядок в решении таких вероятностных заморочек!!!!

Спасибо 🌺🌺

Я учитель с 45 летним стажем и очень уважаю ЕГЭ. ЕГЭ мобилизует и учителя, и ученика. Это показатель работы учителя.

В этом году в ЕГЭ были мудрёные вычисления

kzbin.info/www/bejne/Zpa3XpSketyrgNUsi=1ypcpMZfGCRnvOef Солнце всегда приближаясь к Зениту увеличивается по отношению к нам! Солнце близко к земле, и оно небольшое, радиусом в пару десятков километров.

Здравствуйте! Можно мне ссылку на входной тест для учеников? 🙏

Здравствуйте. Подскажите, когда появится возможность приобрести курсы в кредит?

Без всяких онлайн-школ подготовил всех детей в этом году на 90+ баллов в обычной сельской школе. Главное верить в своих учеников и работать на результат.

Спасибо за работу!

В 15 номере, когда решали методом рационализации и писали после равносильного перехода 2 неравенства в систему в качестве ОДЗ, не нужно было написать ещё, что логарифм в знаменателе не должен равняться нулю?

А как раньше в СССР было? Почему раньше это было, и никто не жаловались.Все учились.

Как раз сейчас вернуть подготовительные курсы проще

Не отменят ЕГЭ, не паникуйте. Нужно приводмтт в порядок систему образования и программу школьную. Столько денег вбухано в ЕГЭ, чтобы все отменить? Нужно ятобы содержвние ЕГЭ соответсивовало содержанию школьной программы, чтобы дети цчились а не готовились к ЕГЭ. Нужно чтобы учителей было в достатке. 2 урока зимии, 2 урока географии 2 урока биологии как минимум, про рус. Яз и математику молчу.

Понятно, что чтобы что-то отменить, нужно что-то придумать другое. Есть много у нас ребят с глубинки с высокими баллами которые хотят учиться в престижных институтах, а на бюджетных местах оказываются ребята с низкими баллами, у которых есть деньги и которые или не хотят учиться или работают кое-как. Какая-то обособленность, дело то не в ЕГЭ. А как раньше учились без этого экзамена и поступали и были грамотные и до сих пор помнят материал. ЕГЭ тоже быстро придумали, а потом на нем зациклились. И когда у нас было всё обдуманно, какая система была совершенной? А институты совсем обленились что-то делать, только деньги брать умеют.