Oui, car le calcul est fait dans une base orthonormée pour abréger la démonstration. Cela ne diminue en rien la validité de la démonstration car tout calcul tensoriel peut être effectué (plus lourdement) dans n'importe quelle base.

@@JeanGarriguesMMC Je vous remercie infiniment Monsieur Garrigues, sur internet, je n'ai vu que 2 cours cohérents sur le sujet, le votre et celui de Dr. Clayton Petit, ce qui rends ce cours d'autant plus intéréssant C'est qu'il est très analytique et va vraiment des concepts de base, j'ai eu le même cours à l'école où plein de notion pourtant importante était bâclée au point où l'enseignement en lui même était inutile. Merci également pour votre réponse.

En fait c'est juste incroyable, les gens ne s'en rendent pas compte.

Tant que l'on reste dans des espaces E de dimension finie, Il y a un isomorphisme entre l'espace vectoriel E et l'espace vectoriel E*. C'est cet isomorphisme qui permet d'identifier chaque élément de E* avec un élément de E. Lire la démonstration du théorème 1.16, page 17 dans le pdf du cours ainsi que la remarque qui suit. Le lien pour le pdf : jgarrigues.perso.centrale-marseille.fr/File/TenseursMMC.pdf La page d'accueil de l'ensemble de mon site est jgarrigues.perso.centrale-marseille.fr/index.html Merci pour vos éloges et vos encouragements.

@@JeanGarriguesMMC je vous remercie pour votre diligence et je vous souhaite beaucoup de succès dans ce que vous faite.

Je ne vois pas d'erreur de hauteur d'indice dans le slide n° 11.

Bonjour Hadrien Anglard. La notion de vitesse d'un point matériel n'a de sens que pour un *observateur* donné. Un observateur est d'abord un "solide de référence". On peut construire sur ce solide de référence tous les repères que l'on veut pour transcrire par 3 nombres les grandeurs vectorielles (positions, vitesses, accélérations, etc) ou par 9 nombres les grandeurs tensorielles (déformations, contraintes, vitesses de déformation). Je corrige donc votre phrase : "la notion de vitesse en physique n'a de sens que pour un observateur donné". Vous semblez confondre "observateur", "repère" et "base". Si un observateur choisit d'utiliser un autre repère construit sur son solide de référence (une autre origine et des directions d'axes différentes), la grandeur physique vectorielle "vitesse du point matériel par rapport à cet observateur" n'a pas changé, mais cette vitesse sera transcrite par 3 nombres différents car le repère utilisé pour représenter la vitesse est différent. La vitesse (grandeur physique vectorielle) n'a pas changé, mais les composantes sont différentes suivant le repère (ou la base) que l'observateur a arbitrairement choisi sur son solide de référence. La vitesse d'un point matériel par rapport à un observateur est une grandeur physique vectorielle (tenseur d'ordre 1) qui existe indépendamment du choix arbitraire d'un repère pour lui donner des composantes. Si vous changez de repère (sans changer de solide de référence, et donc d'observateur) les composantes de la vitesse vont changer mais pas la *grandeur physique* vitesse par rapport à cet observateur. Essayez d'être plus précis dans les images mentales que vous vous forgez en lisant le vocabulaire cinématique : - un observateur est un solide de référence sur lequel on a construit par une méthode quelconque (donc *arbitraire*) un repère c'est-à-dire le choix *arbitraire* d'une origine sur le solide de référence et le choix *arbitraire* de trois directions d'axes orthonormées attachées au solide de référence. - un solide de référence ET son repère (donc un observateur) permettent d'associer des nombres à toute grandeur physique (tensorielle d'ordre 0, 1 ou plus). - pour manipuler commodément les composantes d'un tenseur, on associe aux composantes (fournies par l'observateur) un tenseur construit un espace vectoriel *de calcul* muni d'une base orthonormée dans lequel on utilise les règles du calcul vectoriel ou tensoriel, qui manipulent toutes les composantes à la fois. - Un changement de repère dans un observateur se traduirait donc par un *changement de base* dans l'espace mathématique de calcul. - *L'espace vectoriel/tensoriel de calcul n'est pas l'espace physique* : l'espace physique est un espace de points matériels sur lequel on ne sait pas calculer ; l'espace vectoriel/tensoriel de calcul est un espace mathématique commode pour faire efficacement des calculs vectoriels ou tensoriels sans regarder en détail les composantes (concision des formules). - L'isomorphisme entre ces deux espaces n'est établi qu'à travers un observateur muni de son repère . Toutes les confusions mentales courantes que je viens de souligner sont le plus souvent dues à des raccourcis de langage ou des figures d'enseignants qui n'utilisent pas un vocabulaire précis et bien défini. Le cours sur les tenseurs n'est pas un cours de mécanique. Il s'agit seulement de la mise en place d'un nouvel outil mathématique utile dans les cours suivants. Vous devriez peut-être lire le pdf ou écouter le début du cours de cinématique de la MMC où le concept d'observateur est précisé. J'admets donc humblement que la phrase que vous incriminez a été prononcée prématurément ! A ce stade du cours, votre question est donc parfaitement justifiée. Mon intention était de motiver les auditeurs pour la suite (cours de MMC). Cette phrase est néanmoins vraie : un résultat physique doit être indépendant du choix arbitraire d'un repère par les observateurs. En calculant et en donnant des résultats sous forme tensorielle (d'ordre 0 ou plus), on garantit cette indépendance. J'espère vous avoir été utile.

​@@JeanGarriguesMMC Merci beaucoup pour votre réponse. Je confondais la notion de référentiel (ou d'observateur) avec la base mathématique associée au référentiel utilisée pour les calculs. C'est plus clair avec vos définitions. Je n'avais pas la prétention d'incriminer votre phrase...loin de la. il s'agissait juste d'une demande de précision.

Non il n'y a pas d'erreur. La première trace à prendre est la plus interne. C'est la trace d'un tenseur d'ordre p+q qui renvoie donc un tenseur d'ordre p+q-2. L'autre trace agit sur ce tendeur d'ordre p+q-2 (les indices sommés ne sont plus des indices réels). Regardez comment se somment les indices dans l'exemple (p=3,q=2) au bas de la diapo 22.

Merci pour la précision, tout est clair à présent.

jean.garrigues.perso.centrale-marseille.fr/File/TenseursMMC.pdf

jean.garrigues.perso.centrale-marseille.fr/File/TenseursMMC.pdf

Merci Alain de ces remarques pertinentes. En effet, j'aurais dû signaler dans le cours (et démontrer dans le pdf) que le produit p-contracté d'un tenseur d'ordre p avec lui-même est un produit scalaire dans l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre p. Pour les tenseurs d'ordre p, il n'est plus possible d'utiliser l'astuce matricielle que j'avais utilisée pour les tenseurs d'ordre 2. Parce que l'environnement des commentaires est mal commode pour écrire des formules, je vais écrire la démonstration pour les tenseurs d'ordre 3 (elle est facilement généralisable à l'ordre p) Le produit 3-contracté d'un tenseur d'ordre 3 avec lui même s'écrit : T^{ijk} T_{ijk} En utilisant l'ascenseur d'indices sur le second terme, il vient : T^{ijk} g_{ip} g_{jq} g_{kr} T^{pqr} où g_{mn} = e_{m} .e_{n} (compos. covariantes du tenseur métrique) Le résultat est un tenseur d'ordre 0 (un scalaire), donc indépendant de la base utilisée. On choisit d'utiliser une base orthonormée ; on a donc : g_{mn} =1 si m=n et g_{mn}=0 si m différent de n. (on pourrait écrire g_{mn} = delta_{mn} par analogie avec le symbole de Kronecker) En développant la sommation précédente, on constate que le produit 3-contracté de T avec lui-même est la somme des carrés de ses composantes contravariantes SUR UNE BASE ORTHONORMEE. C'est donc un nombre positif quand le tenseur T n'est pas nul. La norme euclidienne de T est la racine carrée de ce nombre. Merci de m'avoir donné l'occasion de clarifier ce point.

Clairement non. Les tenseurs sont toujours des applications p-linéaires V^p -> R, mais l'espace de la physique classique est de dimension 3 et sans courbure. L'espace-temps de la théorie de la relativité générale est une variété de dimension 4, de plus il est courbe. Les règles d'algèbre sont les mêmes (manipulations d'indices, sommations) sauf celles qui invoquent le produit vectoriel qui n'a pas de sens en dimension 4 ; les 4-distances dans l'espace-temps et le tenseur métrique ont une définition différente (à moins de remplacer la coordonnée temps t par i*t). Enfin, les formules d'analyse ont des termes supplémentaires dûs à la courbure.

merci pour cette reponse dilligente.J'etais un etudiant en physique apres 2 ans d etudes j'ai viré pour faire informatique mais j'ai toujours su que j'avais de la physique dans le sang pk j'ai decidé de renouer avec la physique mais je bute sur la comprehension des Tenseurs pour m'embarquer totalement dans la Theorie de la relativité generale.Que me conseillez vous pour resoudre cette casse-tete?en dehors des definition mathematique concretement c quoi un tenseur?

pour bien commencer la RG : Topologie + géométrie différentielle

t'es pas le seule à pleurer sur les tenseurs .. il faut chercher et rechercher encore sur le net . En première approche , tu pourrais t'essayer sur '' les changement de base '' mais pour ce qui est des composantes covariantes et contravariates je te laisse trouver le sens . . La culture n'est pas toujours accessible un c'est leurre de croire que tous sont égaux devant les tableaux ..Les uns ont des cours bien plus riche que d'autres et pour cause .

Je te conseille de suivre les cours de Jean Guarrigues pour la simple raison qu’il est à la fois mathématicien et physicien donc il est très rigoureux. Et je te conseille de creuser autant que tu peux (Algèbre générale, topologie, algèbre linéaire, etc.). Bon courage.