Presento una prueba muy corta que usa teoria de grupos finitos. Sea Z(8) el grupo aditivo de los enteros modulo 8 y Z(8)* el grupo multiplicativo de las clases laterales [x] ε Z(8), con x primo con 8, i.e. Z(8)* = {[x] | (x,8)=1} = {[1],[3],[5],[7]}. Notar que 1²≡1,3²≡1,5²≡1,7²≡1 mod 8; es decir todo elemento [x] de Z(8)* cumple [x]²=[1], i.e. x²≡1 mod 8 ( así Z(8)* es isomorfo al grupo aditivo de Klein Z(2)xZ(2) ). Como a es primo con 2 entoces [a] ε Z(8)*, por tanto a²≡1 mod 8. Por otro lado, siendo a primo con 3 (hipótesis) [[a]] ε Z(3)* = {[[1]],[[2]]}, luego [[a]]²≡[[1]] (pues Z(3)* es un grupo de orden 2), es decir a²≡1 mod 3. Así 8| a²-1 y 3| a²-1, pero siendo 3 y 8 primos entre si, se concluye 24=8x3 | a²-1.

Solución b) a^2-1=(a+1)(a-1), 3 no divide a a, si a 1(mod3) entonces a-1 es 0(mod3), si a 2(mod3)entonces a+1=0(mod3), luego un factor siempre es multiplo de 3, como a impar tanto a-1 como a+1 son pares, luego son pares consecutivos, el producto de 2 pares consecutivos es siempre multiplo de 8. Luego la expresión es multiplo de 24

Todos los cuadrados son 1 o 0 mod 3, luego como 3 no divide a , a^2=1(mod3), a^2-1=0(mod3), luego como 2 no divide a, a impar, entonces a es congruente a un impar mod 8, i^2, 1^2,3^2,5^2,7^2 son todos 1(mod8) luego 1-1=0(mod8) luego 8 y 3 dividen a a^2-1, entonces 24 lo divide

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Muchas gracias por el vídeo. Quizás, como sugerencia, podrías bajar (mucho) el volumen de la música de fondo. Gracias

Felicitaciones por la motivación de compartir tu conocimiento y sobre todo las emotivas palabras finales. Hace un tiempo que me he descubierto un apasionado por la teoría de números. Aprovecho y te consulto sobre cuál sería, según tu opinión, la ruta de aprendizaje para alcanzar un cierto nivel de solvencia en el campo de teoría de números para aquellos que venimos de la ingeniería? Muchas gracias.

Un bonito problema..... creo que te enredaste un poco con las explicaciones.

🎉

Valor de alto valor social, felicitaciones... Si deseas utiliza fondo musical que no tenga esos altos y bajos para que no distraiga. De por si, quien ve sus videos son matemáticos que aman el silencio y disfrutan de una demostración... Muchas gracias

Otra forma de resolver es de la siguiente manera: 1) Si a no es multiplo ni de 2 ni de 3, entonces se puede comprobar que a es de la siguiente forma: a = (2^m)*(3^n) +1 o a = (2^m)*(3^n) - 1 , para todo m >=1, n >=1 y m y n enteros. 2) Si bien vamos a hacer el análisis para el caso de (2^m)*(3^n) - 1, se puede seguir el mismo razonamiento para el caso de que a = (2^m)*(3^n) +1. Elevamos al cuadrado ambos miembros => a^2 = ((2^m)*(3^n) - 1)^2 3) Restamos uno a cada lado y aplicamos diferencias de cuadrados => a^2 - 1 = ((2^m)*(3^n)-1)^2 - 1^2 ==> a^2 - 1 =((2^m)*(3^n)-2)(2^m)*(3^n) 4) Del punto 1, dijimos que m >=1 y n>=1, entonces podemos definir m sin perder generalidad como => m = n + k , para todo k entero mayor o igual a 0 5) Llevamos m = n +k a 3 => a^2 - 1 = (2^k.2^n.3^n - 2).2^k.2^n.3^n => a^2 - 1 = 2. [6^n] .2^k. [2^(k-1).2^n. 3^n - 1] 6) Ahora analizamos algunos términos: Primero (2^(k-1).2^n. 3^n - 1). Dado que n >=1 y e N y k >=0 y k e N, entonces podemos concluir que 2^(k-1).2^n. 3^n siempre es múltiplo de 3, por lo que podemos afirmar que la siguiente expresión: (2^(k-1).2^n. 3^n - 1) es 3° - 1. También podemos decir de manera general que 3° - 1 es múltiplo de 2, es decir es 2°). Entonces podemos afirmar que a^2 - 1 =2. [6^n] .2^k. 2°. Si analizamos 6^n, tal como hemos definido n en 1), podemos asegurar que 6^n = 6° Por lo que podemos decir , luego de ordenar, que a^2 - 1 = 2 . 6° . 2° . 2^k = 8°.3°. 2^k = 24°.2^k Dado que k puede ser 0 o cualquier otro número natural, entonces podemos afirmar que (a^2 - 1) es 24°.

El volumen de la música distrae

Espectacular explicación. Pocas veces entendí tan bien demostraciones de esta dificultad ¡Muchas gracias!

Muy buen video. presentas una respuesta formal explicada de manera muy didáctica

antes de ver el video dejo mi respuesta. SI porque: a se puede representar como (6n-1) que no es un multiplo de 2 ni de 3 entonces (a^2 -1)/24 se puede escribir como [(6n-1)^2-1]/24 resolviendo el cuadrado queda como: (36n^2-12n)/24 divido denominador y numerador por 12 y queda. n(3n-1)/2 analizando solo 3n-1 para todo n tal que n pertenece al conjunto de números enteros positivos esa expresión te va a dar un numero par. parto es divisible por 2, por tan la conjetura inicial es correcta.

¡Excelente reflexión! 👏👏

🎉

Que bueno

😮

Muy bueno!!!

Buen trabajo amigo