Un Interesante Problema sobre Teoría de Números

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Ágora del Conocimiento

Күн бұрын

Пікірлер: 21

@Xilyann 3 ай бұрын

Muy buen video. presentas una respuesta formal explicada de manera muy didáctica

@AgoradelConocimiento 3 ай бұрын

¡Muchas gracias!, me alegra mucho que lo hayas disfrutado. Un abrazo.

@alexgil4623 3 ай бұрын

Valor de alto valor social, felicitaciones... Si deseas utiliza fondo musical que no tenga esos altos y bajos para que no distraiga. De por si, quien ve sus videos son matemáticos que aman el silencio y disfrutan de una demostración... Muchas gracias

@AgoradelConocimiento 3 ай бұрын

Muchas gracias a ti por el buen comentario. Te agradezco por valorar el trabajo. Y tomaré en cuenta tu recomendación. Un abrazo 🤗. Me alegra que hayas disfrutado el video.

@jaimeandresacevedoquevedo1888 3 ай бұрын

🎉

@borislasky1 2 ай бұрын

Muchas gracias por el vídeo. Quizás, como sugerencia, podrías bajar (mucho) el volumen de la música de fondo. Gracias

@AgoradelConocimiento 2 ай бұрын

Gracias a usted por ver el video. En mis nuevos videos he tenido en cuenta esta sugerencia. Te invito a verlos también. Un abrazo!

@MOISESZAPATA1982 3 ай бұрын

Otra forma de resolver es de la siguiente manera: 1) Si a no es multiplo ni de 2 ni de 3, entonces se puede comprobar que a es de la siguiente forma: a = (2^m)*(3^n) +1 o a = (2^m)*(3^n) - 1 , para todo m >=1, n >=1 y m y n enteros. 2) Si bien vamos a hacer el análisis para el caso de (2^m)*(3^n) - 1, se puede seguir el mismo razonamiento para el caso de que a = (2^m)*(3^n) +1. Elevamos al cuadrado ambos miembros => a^2 = ((2^m)*(3^n) - 1)^2 3) Restamos uno a cada lado y aplicamos diferencias de cuadrados => a^2 - 1 = ((2^m)*(3^n)-1)^2 - 1^2 ==> a^2 - 1 =((2^m)*(3^n)-2)(2^m)*(3^n) 4) Del punto 1, dijimos que m >=1 y n>=1, entonces podemos definir m sin perder generalidad como => m = n + k , para todo k entero mayor o igual a 0 5) Llevamos m = n +k a 3 => a^2 - 1 = (2^k.2^n.3^n - 2).2^k.2^n.3^n => a^2 - 1 = 2. [6^n] .2^k. [2^(k-1).2^n. 3^n - 1] 6) Ahora analizamos algunos términos: Primero (2^(k-1).2^n. 3^n - 1). Dado que n >=1 y e N y k >=0 y k e N, entonces podemos concluir que 2^(k-1).2^n. 3^n siempre es múltiplo de 3, por lo que podemos afirmar que la siguiente expresión: (2^(k-1).2^n. 3^n - 1) es 3° - 1. También podemos decir de manera general que 3° - 1 es múltiplo de 2, es decir es 2°). Entonces podemos afirmar que a^2 - 1 =2. [6^n] .2^k. 2°. Si analizamos 6^n, tal como hemos definido n en 1), podemos asegurar que 6^n = 6° Por lo que podemos decir , luego de ordenar, que a^2 - 1 = 2 . 6° . 2° . 2^k = 8°.3°. 2^k = 24°.2^k Dado que k puede ser 0 o cualquier otro número natural, entonces podemos afirmar que (a^2 - 1) es 24°.

@AgoradelConocimiento 3 ай бұрын

Genial!

@Xilyann 3 ай бұрын

antes de ver el video dejo mi respuesta. SI porque: a se puede representar como (6n-1) que no es un multiplo de 2 ni de 3 entonces (a^2 -1)/24 se puede escribir como [(6n-1)^2-1]/24 resolviendo el cuadrado queda como: (36n^2-12n)/24 divido denominador y numerador por 12 y queda. n(3n-1)/2 analizando solo 3n-1 para todo n tal que n pertenece al conjunto de números enteros positivos esa expresión te va a dar un numero par. parto es divisible por 2, por tan la conjetura inicial es correcta.

@albertogarcia4177 2 ай бұрын

Veo no correcta tu deducción, pues por ejemplo no se puede escribir 19=6n-1, para ningún entero n, por qué de lo contrario 6 sería divisor de 20; siendo 19 primo con 2, y con 3. Quizá se pueda modificar un poco tu prueba, usando el hecho que el tal a si se puede escribir como a=6n ± 1, para algún n. Yo estoy dando una prueba basado en propiedades elementales de grupos finitos.

@Xilyann 2 ай бұрын

@@albertogarcia4177 Oh vaya no lo había notado gracias

@DAVIDALYAHIRRADILLOROJAS 2 ай бұрын

Solución b) a^2-1=(a+1)(a-1), 3 no divide a a, si a 1(mod3) entonces a-1 es 0(mod3), si a 2(mod3)entonces a+1=0(mod3), luego un factor siempre es multiplo de 3, como a impar tanto a-1 como a+1 son pares, luego son pares consecutivos, el producto de 2 pares consecutivos es siempre multiplo de 8. Luego la expresión es multiplo de 24

@angelguedez2960 3 ай бұрын

El volumen de la música distrae

@AgoradelConocimiento 3 ай бұрын

Muchas gracias. Lo arreglaré para próximos videos. Un abrazo.

@DAVIDALYAHIRRADILLOROJAS 2 ай бұрын

Todos los cuadrados son 1 o 0 mod 3, luego como 3 no divide a , a^2=1(mod3), a^2-1=0(mod3), luego como 2 no divide a, a impar, entonces a es congruente a un impar mod 8, i^2, 1^2,3^2,5^2,7^2 son todos 1(mod8) luego 1-1=0(mod8) luego 8 y 3 dividen a a^2-1, entonces 24 lo divide

@AgoradelConocimiento 2 ай бұрын

@@DAVIDALYAHIRRADILLOROJAS Excelente razonamiento!!! Muchas gracias.

@albertogarcia4177 Ай бұрын

Presento una prueba muy corta que usa teoria de grupos finitos. Sea Z(8) el grupo aditivo de los enteros modulo 8 y Z(8)* el grupo multiplicativo de las clases laterales [x] ε Z(8), con x primo con 8, i.e. Z(8)* = {[x] | (x,8)=1} = {[1],[3],[5],[7]}. Notar que 1²≡1,3²≡1,5²≡1,7²≡1 mod 8; es decir todo elemento [x] de Z(8)* cumple [x]²=[1], i.e. x²≡1 mod 8 ( así Z(8)* es isomorfo al grupo aditivo de Klein Z(2)xZ(2) ). Como a es primo con 2 entoces [a] ε Z(8)*, por tanto a²≡1 mod 8. Por otro lado, siendo a primo con 3 (hipótesis) [[a]] ε Z(3)* = {[[1]],[[2]]}, luego [[a]]²≡[[1]] (pues Z(3)* es un grupo de orden 2), es decir a²≡1 mod 3. Así 8| a²-1 y 3| a²-1, pero siendo 3 y 8 primos entre si, se concluye 24=8x3 | a²-1.

@AgoradelConocimiento Ай бұрын

¡Excelente!, muchas gracias.