08.3 Typen von Differentialgleichungen

[@profmc2maxy]

Begleitend zu meiner Mathevorlesung ist das hier echt super!

[@JoernLoviscach]

@JayvH Genau, das t ist hier die unabhängige Variable: die Größe, von der die gesuchte Funktion (hier delta) abhängt und gleichzeitig die Größe, nach der abgeleitet wird.

[@JoernLoviscach]

@JayvH delta ist dann ja schon eine bekannte feste Funktion von t, so wie sin hier eine Funktion von x ist: y' = y*sin(x).

[@JoernLoviscach]

+densch123 (Leider erlaubt mir KZbin nicht, Dir direkt zu antworten.) Wenn man einfach nur eine Gleichung hat, ist _überhaupt_ nicht festgelegt, was (un)abhängig sein soll. Aber wenn eine Variable x heißt und die die andere y, ist damit offensichtlich gemeint, dass x die unabhängige Variable ist. Die große Frage wäre sonst ja auch, was y' bedeuten soll: dy/dy = 1 oder dy/dx? Gerade bei nichtlinearen Differentialgleichungen löst aber man in der Tat der Eleganz halber gerne mal andersrum auf und bestimmt x(y), siehe vieler meiner Beispiele zur Lösung durch Trennung der Variablen. Aber y' heißt dann weiterhin dy/dx.

[@JoernLoviscach]

@JayvH Das ist in der Tat keine Differentialgleichung, wie sie im Buche steht. Ich würde erst die DGL für delta lösen und mit dem Ergebnis dann die DGL für epsilon lösen. Aber letztere ist ja simpel, weil rechts nicht epsilon vorkommt. Es ist ja einfach die rechte Seite (numerisch) zu integrieren.

[@JoernLoviscach]

Explizit/implizit ist viel zu allgemein, nichtlinear auch. Für lineare Differentialgleichungen erster Ordnung (auch mit nichtkonstanten Koeffizienten) kann man ein Integral hinschreiben (aber nicht unbedingt mit elementaren Funktionen lösen). Das analytische Lösen von Differentialgleichungen ist mehr Kunst (oder Glückssache) als Handwerk. Normalerweise geht man das numerisch an, siehe meinen Kurs dazu: ww w udacity com/course/cs222

[@JayvH]

@JoernLoviscach Ich sehe Sie sind auch noch spät wach. Die Funktion ist gleichermaßen noch mit einer Funktion epsilon(punkt) = depsilon/dt = c5 * (cos(delta - c6) - sin(delta - c6)/c7) im Verbund. Ist delta dann auch unabhängig und die DGL hat zwei Unabhängige (deltam t) sowie eine Abhängige (epsilon). Es ist also quasi ein DGL-System was ich mit ode45 in MATLAB gelöst habe (hoffe ich) und jetzt noch einmal "händisch" über Runge-Kutta in MATLAB durchrechnen möchte. Doch was ist Laufvariable x?

[@FelixHirche]

Danke für die schnelle Antwort. Ich habe jetzt verstanden, welche Arten von DGLn es gibt und ich finde auch Videos mit verschiedenen Lösungsmethoden. Jedoch hab ich dabei die Übersicht verloren. Wenn ich mich auf gewöhnliche DGLn erster Ordnung beschränke für welche Arten brauche ich dann einen eigenen Lösungsansatz? -einen eigenen Ansatz für explizit / implizit? -einen eigenen Ansatzt für linear / nicht linear? -einen eigenen Ansatz für homogen / inhomogen?

[@JayvH]

@JoernLoviscach Wenn ich das mit dem Runge-Kutta-Verfahren mache, dann habe ich ja aber zwei Eingangsvariablen (t, delta) und noch meine Ausgansvariable (epsilon) mit dem Startwert epsilon0, oder?

[@JayvH]

Gibt es aus DGLn ohne unabhängige Variable? Habe hier eine in der Form delta(punkt) = ddelta/dt = c1 - c2 * sin(delta - c3)/c4 also 4 Konstanten (zumindest für einen sehr kurzen Zeitraum konstant angenommen). Oder ist in dem Fall meine Zeit t die unabhängige Variable?

[@JayvH]

@JoernLoviscach Danke, ich denke jetzt ist es klar, aber auch für die Anwendung des Runge Kutta Verfahrens für ein 2x2 System habe ich noch eine Vorgehensweise gefunden.

[@FelixHirche]

- einen eigenen Ansatz für konstante Koeffizienten? Also für welche Eigenschaften brauch ich ein eigenes Lösungsverfahren und wie heißen die? Ein stichwortartige Erklärung oder ein Link mit einer Üversicht über die verfahren wäre sehr nett, ich suche schon seit Studen und habe keine Übersicht gefunden.

[@JoernLoviscach]

Zur Technik siehe ww w j3L7h de/videotech.html Tablet: Irgendeinen fünf Jahre oder so alten Windows-TabletPC, gebraucht aus dem Internet. Ggf. einen neuen Akku dazu besorgen.

[@FelixHirche]

Gibt es auch NICHT lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten?

[@back2back135]

Hallo Herr Loviscach, Eine DGL 1. Ordnung kann ja folgendermaßen notiert werden y' (x)=f(x,y(x)) für alle x∈D(y)⊆R D(y)= die Definitionsmenge von y R=die reellen Zahlen Wenn bspw. meine DGL so aussieht y' (x)=x∙y(x)+y(x) für alle x∈D(y)⊆R dann könnte doch die oben erwähnte Funktion f so aussehen: f: R^2→R,(u,v)↦f(u,v)=u∙v+v . In diese Funktion f würde ich dann den Funktionswert der Funktion y:D(y)→R,x↦y(x) und x ∈ D(y) reingeben, um so die rechte Seite der DGL zu erhalten, also halt so: f(x,y(x))=x∙y(x)+y(x) Ist das so korrekt gedacht?

[@JoernLoviscach]

Ja, macht man öfter so. Man würde typischerweise noch einen Anfangswert vorschreiben und obendrein dazu das y mit größtmöglichem Definitionsbereich suchen.

[@JoernLoviscach]

Nachtrag: Der Definitionsbereich soll fast immer ein Intervall sein, weil bei einem zusammengestückelten Definitionsbereich der Verlauf der Lösungsfunktion nicht eindeutig sein kann.

[@back2back135]

@@JoernLoviscach Danke, für Ihre Antworten. Dass der Definitionsbereich so gut wie immer ein Intervall sein soll wusste ich. Das es daran liegt, dass die Lösungsfunktion ansonsten nicht eindeutig ist, nicht. 🤓

[@Rambo256]

Endlich mal jemand, der mir das ganze kurz und knapp erläutern kann. Danke! Interesse daran die Arbeitsstelle zu wechseln? ;)

[@JoernLoviscach]

Wo wäre denn eine Stelle frei?

[@kleinerlacher]

Jörn Loviscach die FH Köln Campus Gummersbach kann Sie bestimmt gut gebrauchen :-)

[@brausedealer]

Jörn Loviscach FH Köln Deutz sicher auch.

[@JayvH]

@JayvH Korrektur: deltam t = delta, t

[@JayvH]

Wenn eine DGL bspw. y'' und y' beinhaltet, aber kein y, ist es dann trotzdem eine DGL 2. Ordnung oder nur 1. Ordnung, da von y' ja nur einmal auf y'' abgeleitet wird?

[@JoernLoviscach]

2. Ordnung, wenn y die gesuchte Funktion ist (was das Übliche sein dürfte). 1. Ordnung, wenn y' die gesuchte Funktion ist.

[@JayvH]

In diesem Fall ist nur y' (Winkelgeschwindigkeit) gesucht. Demnach ist es also 1. Ordnung.

[@nezuten4373]

Weiß jemand wo ich einen Lösungsansatz, für die Art von DGL wie bei der 14 finde?

[@JoernLoviscach]

Wolfram Alpha! Und wenn auch das zu einer numerischen Lösung greift, dann bleibt allen Normalsterblichen wohl nur die Numerik dafür.

[@nezuten4373]

hmm :/ ok danke :)

[@JoernLoviscach]

Nein, weil man nicht mal sagen könnte, was die Koeffizienten sind.

[@CoolMusicsChannel]

Wäre dann 3y''= ...... implizit?

[@JoernLoviscach]

Das hängt davon ab, was man unter "implizit" versteht. Im weiteren Sinne ja, weil nicht vollständig nach y'' aufgelöst ist ("implizit" als Gegenteil von "explizit"). Im strengen Sinne nein, es sei denn, die Pünktchen stehen für eine 0, denn eine im strengen Sinn implizite DGL ist eine mit dieser Form: irgendwas = 0.