183--FFT系列：甚麼是洩漏leakage？窗函數window如何改善洩漏leakage？(

《振動噪音科普專欄》FFT系列：甚麼是洩漏leakage？窗函數window如何改善洩漏leakage？
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這個單元的主題：FFT系列：甚麼是「洩漏」(leakage)？「窗函數」(window)如何改善「洩漏」(leakage)？其中，FFT是fast Fourier transform，「快速傅立業轉換」是進行「頻譜分析」(spectral analysis)的數學方法，讀者可參閱#27：【甚麼是頻譜分析？】。
甚麼是「洩漏」？甚麼是「窗函數」？又為什麼「窗函數」可以改善「洩漏」呢？
首先，觀察左上方圖示，從無「洩漏」(without leakage)的餘弦波信號之FFT看起，其中，𝒙1(𝒕)=𝑿1𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇1 𝒕)，𝑿1 = 1，𝒇1 = 100 Hz。採用的「FFT分析參數」，令 Fmax = fnyq= 500 Hz，LOR = Nf = 250 lines。可以得到其他5個「FFT分析參數」：
1. 「取樣頻率」(sampling frequency)，fs = fnyq*2 = 500*2 = 1000 Hz。
2. 「總取樣點數」(number of samples)，Nt = Nf*2 = 250*2 = 500 samples。
3. 「時間間距」(time interval)，Δt = 1/fs = 1/1000 = 0.001 sec。
4. 「頻率解析度」(frequency resolution)，Δf = fnyq / Nf = 500/250 = 2 Hz。
5. 「時間長度」(time frame)，T = 1/Δf = Nf/ fnyq = 250/500 = 0.5 sec。
以此「FFT分析參數」的設定，對 𝒙1(𝒕) 信號進行FFT「快速傅立業轉換」，可以得到「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)，如預期在頻率 𝒇 = 100 Hz = 𝒇1，有振幅值 𝑿 = 1= 𝑿1，這是一個沒有「洩漏」的信號，所以可得到正確的「傅立業頻譜」。
為什麼會沒有「洩漏」呢？因為，f_1/∆f = 100/2=50，剛好整除，沒有「餘數」，所以沒有「洩漏」，主要是所取樣的時間波形，可以取得「完整的週期」，能夠正確的解析出 𝒙1(𝒕) 信號的頻率及其振幅值。
接著，觀察右方圖示，是有「洩漏」(with leakage)的餘弦波信號之FFT，其中，𝒙1(𝒕)=𝑿1𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇1 𝒕)，𝑿1 = 1，𝒇1 = 101 Hz。採用相同的「FFT分析參數」進行FFT分析，可以看到所得到「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)，在頻率 𝒇 = 100 Hz，其振幅值 𝑿 = 0.6339，在頻率 𝒇 = 102 Hz，其振幅值 𝑿 = 0.6393，顯然與實際 𝒙1(𝒕) 信號的頻率𝒇1 = 101 Hz，是不相同的。這就是有「洩漏」的現象。
那麼，為什麼會有「洩漏」呢？因為，f_1/∆f = 101/2=50.5，不能整除，有「餘數」，所以有「洩漏」，主要是所取樣的時間波形，不能取得「完整的週期」，所以，不能夠正確的解析出 𝒙1(𝒕) 信號的頻率。
需注意，在此圖的「窗函數」選項是”Box”，也可稱為”Uniform”、或”Rectangular”，中文稱為「方形/均勻/矩形窗函數」，相當於是”無”「窗函數」(without window)的效應。當餘弦波信號不能對「頻率解析度」∆f 整除，所得到的「傅立業頻譜」𝑿(𝒇) 就「洩漏」到鄰近的頻率，在此圖例，分別是𝒇 = 100 Hz和𝒇 = 102 Hz，而且其振幅值也都低於𝑿1 = 1，所以此現象就稱為
「洩漏」(leakage)。
實務上，此「洩漏」現象可以避免嗎？答案是：不可以避免！就算我們能將「頻率解析度」∆f 設定的非常小，但是，實際上餘弦波信號的頻率，仍然可能是無法整除，所以「洩漏」是無法避免的現象。
如果，無法避免有「洩漏」的現象，那麼在觀察「傅立業頻譜」𝑿(𝒇) 就會誤判餘弦波的正確頻率以及其振幅值，那麼就沒能達到FFT「頻譜分析」的目的，因此，需要有改善「洩漏」現象的方法，就是適當的選用「窗函數」，讀者可參考先前單元：#106【典型的Window視窗加權函數有哪些？】
以下舉兩個常採用的「窗函數」，對有「洩漏」現象的信號，進行對應的FFT「頻譜分析」，說明如下：
1. 「漢寧窗函數」(Hanning window)：參閱左下方圖示，在時間波形，可觀察加入「漢寧窗函數」處理，使得時間區間的兩端，強迫歸零，所以可以減少「洩漏」現象。在「傅立業頻譜」𝑿(𝒇) 就可看到振幅值有提高，和”Box”「窗函數」相比較，”Hanning”「窗函數」可以改善解析的振幅值，同時，洩漏到實際頻率鄰近兩側的頻帶寬度，也大幅改善減小，頻帶寬度變得比較集中。
2. 「平頂窗函數」(flat top window)：參閱右下方圖示，在時間波形，可觀察加入「平頂窗函數」處理，使得時間區間的兩端，強迫歸零，所以也可以減少「洩漏」現象。但要注意，和”Hanning”「窗函數」比較，”flat top”「窗函數」的時間域加權效應略有不同。在「傅立業頻譜」𝑿(𝒇) ，”flat top”「窗函數」會有完全正確的振幅值，但是，對應實際頻率峰值的頻帶寬度會增大。
綜合一下本單元的討論：
1. 無「洩漏」(without leakage)的餘弦波信號之FFT：當信號頻率能夠與「頻率解析度」∆f 整除，那麼在「傅立業頻譜」𝑿(𝒇) 就不會有「洩漏」現象。「傅立業頻譜」𝑿(𝒇) 會完全正確。
2. 有「洩漏」(without leakage)的餘弦波信號之FFT：在實務上，因為實際的信號各種頻率都有可能，所以有「洩漏」是無可避免的現象。「傅立業頻譜」𝑿(𝒇) 會洩漏到實際頻率鄰近兩側的頻帶。
要解決「洩漏」的現象，就要選用適當的「窗函數」(window function)，也可稱為「加權函數」(weighting function)，本單元介紹了三種「窗函數」：
1. ”Box”「窗函數」：也稱為”Uniform”、或”Rectangular”，中文稱為「方形/均勻/矩形窗函數」，相當於是”無”「窗函數」(without window)的效應。對有「洩漏」的信號，在「傅立業頻譜」𝑿(𝒇) 會洩漏到實際頻率鄰近兩側的頻帶，其頻帶寬度大，振幅值的解析會不正確。
2. ”Hanning”「漢寧窗函數」：加入「漢寧窗函數」處理，原始信號在時間波形的取樣區間兩端，會強迫歸零，所以可以減少「洩漏」現象。在「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)，洩漏到實際頻率鄰近兩側的頻帶寬度，可大幅減小改善，頻帶寬度變得比較集中，實際信號的振幅值有較正確的解析，對實際信號頻率之解析度比「平頂窗函數」較佳。「漢寧窗函數」適用在任意的隨機信號(random signal)，因為，有不錯的「頻率解析」以及「振幅值解析」，可以合理地取得及瞭解信號的「頻率」與「振幅值」特徵。
3. ”flat top”「平頂窗函數」：加入「平頂窗函數」處理，原始信號在時間波形的取樣區間兩端，也會強迫歸零，所以可以減少「洩漏」現象。在「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)，洩漏到實際頻率鄰近兩側的頻帶寬度，會比「漢寧窗函數」的頻帶較寬、較大，不過，有良好的振幅值。「平頂窗函數」適用在單頻率的校正信號之頻譜分析，例如：加速度規校正及麥克風感測器校正，因為「振幅值解析」幾乎正確，雖然，「頻率解析」不好，但是對校正而言，「振幅值解析」的正確性至關重要。
以上個人看法，請多指教！
王栢村
2020.10.05