25 Czym Są Wartości Własne i Wektory Własne

To nagranie jest na bazie artykułu napisanego na moim blogu. Dostępne jest pod tym linkiem
www.kowalskimat...
W tym nagraniu dowiesz się czym są wartości i wektory własne. Poznasz ich interpretację graficzną. Ponadto poznasz sposób w jaki można obliczyć wartości i wektory własne.
Na początku podane jest zastosowanie wektorów i wartości własnych. Następnie wyróżnione są charakterystyczne odwzorowania. Dowiesz się o składaniu tych odwzorowań. Poznasz także macierz obrotu. Dowiesz się również, iż odwzorowanie dane macierzą jest liniowe i ciągłe dla przeciwieństwa podane zostaną przykłady odwzorowań nieciągły i nieliniowych. Dowiesz się o równaniu charakterystycznym, które powstaje po przyrównaniu do zera wielomianu charakterystycznego. Na koniec sposób w jaki można obliczać wartości i wektory własne macierzy.
#macierze #algebra #matematyka
Mateusz Kowalski
Autor Wideo Bloga
www.kowalskimat...

[@micharzepka9952]

Nic tak nie motywuje do nauki matmy jak jasny przykład ciekawego zastosowania teorii. Warto odwiedzać ten kanał, gdy na studiach odechciewa się żmudnego "trzaskania" zadań dla samych zadań...

[@ZwiazeCie]

Dziękuję serdecznie za kolejny film, który dzięki pańskiej ogromnej pracy pozwala bardzo prędko zrozumieć niemal każdą potrzebne zagadanie matematyczne :)

[@michakrawczyk7054]

Dziękuję serdecznie Panie Mateuszu

[@radekhurkaa8610]

Witam Panie Mateuszu - jak zawsze bardzo fajny materiał - dziękuję :)

[@pawcio147]

Nareszcie poznałem interpretację geometryczną wektorów własnych ;)

[@radrog3902]

Twoje wideo wspaniale wprowadza w temat zadań własnych. W przykładzie wyznaczania wektora własnego, dla pierwszej wartości własnej, czyli równej 1: jest: v1 należy do R powinno być: v1 należy do R - {0}

[@hehost283]

Złoty człowiek :)

[@kowalskimateusz]

Bardzo dziękuję :-)

[@krzysztofg.5841]

Rewelacyjny film

[@sebuleczadzi]

Tym więcej oglądam tym bardziej jestem zachwycony tym kanałem. Polecam! Najlepsze źródło kursów wideo do algebry abstrakcyjnej/liniowej!

[@grzegorzampua173]

Od tego artykułu w zasadzie można rozpocząć cykl o macierzach, bo widać po co warto się uczyć operacji na nich. Gratulacje.

[@kowalskimateusz]

dzięki

[@GrzesiekPL666]

Bardzo fajne podejście do nauczania, wszystko jest sensownie uzasadnione, duży nacisk na intuicyjne rozumienie przedstawionych zagadnień, dobrze było to obejrzeć :)

[@kowalskimateusz]

+Grzesiek Biały Wielkie dzięki za komentarz. Pozdrawiam Mateusz

[@karolguzikowski4812]

Bardzo dobrze wytłumaczone i bardzo ciewawy artykuł. Już kilka Pańskich filmów pomogło mi na studiach :)

[@Grzech876]

W końcu się dowiedziałem o czym mówi wykładowca, dzięki za materiał!

[@tomaszzywicki]

Dzięki szefie, już ogarniam o co tu chodzi

[@JiuTiup]

W praktycznie każdej grze komputerowej intensywnie używa się operacji na macierzach. Dany wierzchołek 3D trzeba pomnożyć przez macierz obrotu, skali, przesunięcia, kamery i rzutowania. Tych wierzchołków na scenie może być nawet kilkaset tysięcy i każdy trzeba przekształcić. Robi się to w vertex shaderze, a obliczeniami zajmuje się procesor karty graficznej GPU(w zamierzchłych czasach przed erą Geforce'ów zajmował się tym procesor centralny CPU). Architektura współczesnych procesorów GPU jest optymalizowana pod kątem obliczeń na macierzach. GPU zawiera procesory strumieniowe, które specjalizują się w dodawaniu i mnożeniu czyli tym co robi się mnożąc macierze. Swoją drogą fajnie by było zobaczyć filmik o "historii pewnego wierzchołka 3D", czyli o przekształceniach jakie musi przejść wierzchołek 3D zanim trafi na płaski ekran 2D :) Na pewno przydałby się twórcom gier i grafikom komputerowym :) Szczególnie ciekawa jest macierz rzutowania, która sprawia, że obiekty 3D są rzutowane na płaski ekran monitora. Obiekty położone dalej są mniejsze a położone bliżej obserwatora większe czyli coś co nazywamy perspektywą :)

[@adiklon1003]

Bardzo ładnie wytłumaczone :)

[@adammickiewicz6128]

Wszystkie te informacje są wykorzystywane w programach do grafiki wektorowej a nawet i w programach do grafiki rastrowej. Przy czym w programach do wektorowej grafiki transformacje te umożliwiają bezstratne przekształcanie obiektu z pierwotnej postaci do postaci wynikowej. A więc obroty, pochylenia oraz przemieszczenia (translacje). Najlepiej to można zobaczyć w programie Inkscape, gdzie kod pliku zapisującego dane jest otwarty, przez co można podpatrzeć jak to w praktyce jest realizowane. Oczywiście każdy inny program do wektorowej grafiki też używa tych przekształceń, które są wygodne w zapisie i realizacji. Ciekawy też jest temat nieliniowego zniekształcenia bitmapy, który troszeczkę poruszyłeś. Parę miesięcy temu napisałem sobie mały programik, który przekształca wielomianem drugiego stopnia bitmapę pozbywając się (w pewnym stopniu) efektu zniekształcenia z obrazu panoramicznego budynku.

[@holyshit922]

16:00 Można było bez wyznacznika tylko za pomocą jednorodnego układu równań liniowych sprawdzać liniową zależność kolumn macierzy A-λI Otrzymalibyśmy wtedy zarówno wartości jak i wektory własne rozwiązując tylko jeden układ

[@derrylmartinez8010]

thx

[@holyshit922]

Planujesz odcinek o numerycznych sposobach obliczania wartości i wektorów własnych ? Metoda QR zwalnia dla wielokrotnych wartości własnych i ciekawi mnie jak przyśpieszyć zbieżność tej metody w tym przypadku

[@123drx]

Dzięki pana filmom zdałem algebre :)

[@kowalskimateusz]

Super cieszę się

[@Pawe-mx9wc]

Mam pytanie, dlaczego jak wyłączymy v przed nawias z równania Av-vλ=0 to otrzymamy v(A-Iλ)=0, dokładnie chodzi mi o to skąd bierze się literka I, będę bardzo wdzięczny za odpowiedź.

[@kowalskimateusz]

Jest tak dlatego, że macierz jednostkowa I zachowuje rozmiar macierzy A. Macierz I jest takim odpowiednikiem liczby 1 przy mnożeniu liczb. Bez macierzy I odejmowanie pojedynczej liczby lambda od macierz A nie miało by sensu. Ponadto macierz I można z jakąkolwiek inną macierzą, o ile się wymiary zgadzają, daje w wyniku tę macierz, tak jak w liczbach 1 pomnożone z jakąś liczbą daję tę liczbę.

[@Pawe-mx9wc]

@@kowalskimateusz dzięki, za wyjaśnienie :)

[@kacper9207]

✅👍✅ ,Dziękuje ,"

[@mrkeji1002]

A jak znaleźć wektor główny?

[@holyshit922]

Jakiś czas temu nagrałeś odpowiedź do video tych z Numberphile którzy twierdzili że suma wszystkich liczb jest skończona i równa co do wartości zeta(-1) = -1/12 Mógłbyś nagrać odpowiedź do mojego video o bezwyznacznikowym sposobie uzyskania wielomianu charakterystycznego Myślę że można by było u mnie się przyczepić do paru rzeczy choć nie powinno być aż tak poważnych błędów jak u tych z Numberphile Jeżeli chodzi o wstęp o funkcjach symetrycznych to myślę że wystarczy to co można znaleźć w książce Sierpińskiego Zasady algebry wyższej (Łatwo ją znaleźć po wpisaniu w wyszukiwarkę Monografie matematyczne tom XI) Przydałoby się także wykazać w łatwy do zrozumienia sposób że ślad m. potęgi macierzy A jest sumą m.potęg wartości własnych

[@neko548]

Jedyna nadzieja gdy wykładowca nic nie potrafi wytłumaczyć tylko "no, macie tu zadania, proszę zrobić na następne ćwiczenia"

[@czowiekqweta4051]

moje odkrycie roku 2020 :P

[@janzcarr]

+ za zero tłuste :D

[@piotr4335]

Od czego zależy liczba wartości własnych macierzy?

[@kowalskimateusz]

+Piotr P Jeśli są jednokrotne to od stopnia macierzy jest tyle co stopień macierzy. W przeciwnym razie jest ich tyle mnij jakie są krotności poszczególnej wartości własnej

[@piotr4335]

+Mateusz Kowalski Dziękuję za wyjaśnienie, tyle że problem jest nieco innej materii... Mam macierz trzeciego stopnia o wielomianie charakterystycznym www.matematyka.pl/399748.htm . Wiem jak rozpatrzeć warunki dla 3 wartości własnych różnych, ale co w innych przypadkach kiedy jest ich mniej np. jedna wartość własna, kiedy ona będzie nieujemna?

[@kowalskimateusz]

Jeśli wszystkie mają być ujemne to znaczy że macierz jest ujemnie określona. Dodają, że mogą być też zera to wówczas macierz musi być półujemnie określona.

[@piotr4335]

+Mateusz Kowalski Dziękuję bardzo za pomoc, podobnie jak za cały kurs z macierzy i filmiki dotyczące podstawowych struktur algebraicznych, bardzo ułatwiły mi zrozumienie wielu zagadnień z algebry... Jednak chyba ten przytoczony przeze mnie przykład jest poza moim zasięgiem... Za mało z algebry rozumiem, czas pokaże czy zdam egzaminy :) Dzięki wielkie!

[@kowalskimateusz]

zobaczrozwiązanie twojego zadania na forum

[@anastazjawrobel8040]

skoro zero chude stopni Celsjusza to 32 stopnie Fahrenheita to 32 stopnie Fahrenheita + 32 stopnie Fahrenheita czyli zero chude stopni Celsjusza + zero chude stopni Celsjusza wynosi zero tłuste stopni Celsjusza czyli wszystko się zgadza :D