#43. How to solve problems about differential payments? Exams

The task. On January 15, it is planned to take a bank loan for 19 months. The conditions for his return are:
- on the 1st of each month, the debt increases by r% compared with the end of the previous month;
- from the 2nd to the 14th day of each month, it is often necessary to pay the debt;
- On the 15th day of each month, the debt must be one and the same amount less than the debt on the 15th day of the previous month.
It is known that the total amount of payments after the full repayment of the loan is 30% more than the amount taken on credit. Find r.
MORE ECONOMIC CHALLENGES
1. Differentiated payments: • #143. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНН...
2. Non-standard task from a real EGE: • #149. НОВЫЙ ТИП «ЭКОНО...
3. Annuity payments: • #38. Как решать банков...
4. Difficult optimization tasks: • #52. САМАЯ СЛОЖНАЯ ЗАД...

[@user-sc3ze4ey5s]

Простите, а стоит ли обращать внимание на четкие рамки чисел месяцев, а в некоторых задачах и на сами месяцы, если они, в принципе, не нужны для решения?

[@WildMathing]

Эти числа все-таки важны и стоит к ним приглядеться в первом прочтении: они четко задают порядок операций: когда проценты начисляют, когда выплаты поступают, когда ставку меняют и т.д. Хотя, спору нет, чаще всего все происходит стандартным образом.

[@sofyanikitina6134]

Спасибо огромное, так долго это не могла понять, кто только не объяснял уже.. а тут все так четко и понятно. прям в душе потеплело, за 13 дней до экзамена :)

[@WildMathing]

Приятно это слышать! Всегда пожалуйста!

[@AlexeyEvpalov]

Большое спасибо за подробный разбор сложного задания.

[@user-sh8fs2fu9b]

Какая хорошая подача! Спасибо

[@kimoi5147]

Огромное спасибо за ваш труд, на экзамене попалась абсолютно идентичная задача : ]

[@sonicko4854]

спасибо вам огромное!!! все очень доступно объясняете

[@WildMathing]

Всегда пожалуйста!

[@_troka5924]

Это просто гениально, теперь любую подобную задачу решаю таблицей)) Огромное спасибо)))

[@WildMathing]

Рад, что понравилось!

[@user-wp2df9jh3h]

Спасибо, всё понятно!

[@WildMathing]

Всегда пожалуйста!

[@tipicaldrofa4810]

Спасибо большое! Начал подготовку к C части ЕГЭ именно с экономических задач. Наткнулся на похожее задание, но разъяснение было непонятное. Но благодаря вам, этот тип задач стал для меня понятен!

[@WildMathing]

Молодчина, что разобрался! Всегда пожалуйста!

[@granteri6117]

Завтра экзамен, сидел сейчас решал пробник и там точно такая же задача. Теперь щелкаю такие на раз-два и +1 умение в копилочку. Спасибо большое)

[@WildMathing]

Молодчина! Спасибо и тебе!

[@emrc5085]

Божественно

[@WildMathing]

Спасибо!

[@user-fk5hv7ms2o]

Добрый день! Можете немного подсказать, пожалуйста? Если я правильно поняла, то 19S - тело кредита, 19S * r/100 - переплата. А если по условию задачи было бы необходимо найти значение выплаты, то нужно было считать так - 19S * (1 + r)/100?

[@WildMathing]

Приветствую! С удовольствием! Ты все верно поняла, но вот значения выплат везде разные, и находятся они чуть-чуть иначе. Если заемщик должен был 19S, то после начисления процентов он будет должен 19S*(1+r/100). Чему же равна его первая выплата? Мы видим, что через месяц долг был уже не 19S, а 18S, то есть заемщик выплатил x=19S-19S*(1+r/100). Можно и попроще: каждый месяц выплачивается, во-первых, 1S: ведь заемщик взял 19S, а через месяц его долг 18S, ну а во-вторых, выплачиваются проценты за пользование кредитом: 19S*(r/100). То есть первая выплата будет 1S+19S*(r/100).

[@user-fk5hv7ms2o]

Большое спасибо! :)

[@WildMathing]

Всегда пожалуйста!

[@user-pu2ot8hc4o]

Дядюшка wild, есть ли иные способы решения?

[@WildMathing]

Все способы вертятся около одного и того же, в видео показал, на мой взгляд, самый простой. Вот иные записи решений этой задачи: self-edu.ru/ege2016_36.php?id=1_17 ege.sdamgia.ru/problem?id=509951

[@dontskillmi8000]

Здравствуйте,подскажите пожалуйста,вот условие задачи точно такое,только известны проценты (2%),но,в самом конце стоит вопрос :Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег,которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?Что это означает и что нужно находить?

[@WildMathing]

Вечер добрый! Представьте, что тело кредита (взятая в долг сумма) равна 19S, тогда общие выплаты заемщика будут, конечно, больше. Сколько процентов они составят от 19S? В этом весь вопрос. Представьте, например, что общие выплаты получились 38S. Тогда можно будет сказать, что они составили 200% от суммы взятой в кредит (19S).

[@dontskillmi8000]

Я понимаю,можете помочь только с правой частью уравнения,я не знаю как его записать.Только так,как вы объясняете,ибо ваши видео очень доступны и легки. 15 января планируется взять кредит в банке на 5 месяцев .Условия его возврата таковы: -1 числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с предыдущим; -со 2 по 14-ое число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; -15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и туже величину меньше долга на 15 число предыдущего месяца. Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег,которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?Что это означает и что нужно находить? Вот какая составил по вашему видео: r(1%)/100(5S+4S+3S+2S+1S)=????Чему равно,в правой части не понятно что записать

[@WildMathing]

Чему равно это выражение как раз и предстоит посчитать, а уравнение ни к чему. Считаем вместе: 0,01*(5S+4s+3S+2S+1S)=0,15S - это наши переплаты за пользование кредитом. Общие выплаты заемщика составляют: 5S+0,15S=5,15S. Остается только лишь выяснить, сколько процентов от суммы кредита (т.е. от 5S) составляет эта величина.

[@empire_of_speed]

Подскажите,пожалуйста. Почему в строчке на 3:02 r/100*190S =0,3*19S Откуда взялось 0,3*19S?

[@WildMathing]

В последнем предложении условия (0:39) говорится о том, что общие выплаты на 30% больше суммы взятой в кредит. На основе этого (3:02) получаем уравнение, смысл которого прост: переплаты банку равны 30% от суммы взятой в кредит.

[@empire_of_speed]

Спасибо большое) Поняла)

[@WildMathing]

Не за что!

[@user-vt1nj8ke7j]

Wild Mathing что такое s?

[@WildMathing]

[Спустя 5 месяцев] 19S - это сумма, взятая в кредит (тело кредита), ну а S - это девятнадцатая часть этой величины и заодно шаг арифметической прогрессии, то на сколько всякий раз убывал долг.

[@maksimshukin7785]

Как вы нашли сумму арифметической прогрессии на 2:57?

[@WildMathing]

По формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии, конечно же: первый член последовательности равен S, последний 19S, количество членов 19. 0,5*(S+19S)*19=190S.

[@doypose]

А можете пожалуйста разобрать похожую задачу: self-edu.ru/ege2016_36.php?id=27_17 .

[@WildMathing]

Очень похожая уже разобрана вот здесь: kzbin.info/www/bejne/bKe7d5p6jpWeobsm8s

[@user-cm7ih5ef7z]

Такс, такой вопрос. Почему платежи - дифференцированные? Вроде производную мы не находили.

[@WildMathing]

Это название появилось от заморского слова different - различный. Как нетрудно заметить, платежи (выплаты) здесь действительно всякий раз различные.

[@user-ld3mc6pw6k]

Добрый вечер! Подскажите пожалуйста как решать задачу, вашим способом решаю, не получается ( Алексей взял кредит в банке на срок 17 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r% этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 27 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r. Заранее спасибо!

[@WildMathing]

Вечер добрый! Задачи аналогичные, так что все то же самое: долги 17S, 16S, 15S, ..., 1S, 0. А уравнение получится таким: 17S+(r/100)*(17S+16S+15S+...+1S)=1,27*17S. Если что-то в нем неясно - спроси, а если все понятно, то попробуй решить далее это уравнение.

[@user-ld3mc6pw6k]

@@WildMathing Спасибо за ответ! Только не поняла, почему во 2 части уравнения мы умножаем на 1,27, а не на 0,27?

[@WildMathing]

Пожалуйста! В условии нам говорят, что общие выплаты превысили на 27% сумму, взятую в кредит. Общие выплаты - это 17S + (переплаты), так что умножаем на 1,27. В противном случае получилось бы уравнение 17S + (что-то положительное) = 0,27*17S - с ним точно что-то не так: левая часть больше 17S, а правая меньше.

[@user-xi9qj2jb8w]

Я не понимаю, если каждый месяц к сумме долга добавляется процент, то мы каждый месяц выплачиваем не только S, но и этот процент от долга. А т.к. долг уменьшается, то и процент от долга уменьшается, и это значит, что тогда ежемесячные выплаты не одинаковы. Как с этим быть?

[@WildMathing]

Полина, ты как раз все понимаешь: выплаты действительно неравны между собой, но это не мешает решить задачку ровно так, как показано в видео. Вот еще два примера по этой теме: kzbin.info/www/bejne/aIKVoXdrr9V2gc0 и kzbin.info/www/bejne/bKe7d5p6jpWeobsm49s (будут вопросы - пиши!)

[@user-bi9yn4hz6k]

Подскажите, почему в конце 0,1r?

[@WildMathing]

Там безобидное уравнение, Ань, ты можешь решить его по-своему, и получится то же самое. Я же в уравнение (r/100)∙190S=0,3∙19S поделил обе части на 19S, и как раз получилось 0,1r=0,3. Если не разберешься - дай знать!

[@olesya6862]

Откуда 19s? Сумму кредита умножили на 19 месяцев? Или что s обозначает?

[@WildMathing]

19S - это тело кредита, можно было бы взять его и за S, но без дробей задача становится более наглядной. На 2:26 комментирую используемые переменные и не только.

[@null-mj2vp]

Объясните пожалуйста, почему мы берём 19S как "тело кредита"? И почему мы в самой задаче берём эр на сто, если у нас не 10 лет кредита, а 19 месяцев?

[@WildMathing]

19S - это просто введение переменной, можно было бы тело кредита взять и просто за S: вопрос удобства. Ну а удобны 19S тем, что все наши долги выражаются целыми числами. Величина r/100 не зависит от количества лет - это ведь множитель, который помогает вычислить проценты от числа. Ведь, если требуется найти r% от числа A, нужно сначала A поделить на 100, тем самым найти величину 1%, а уже затем домножить это дело на r. Не разберешься - дай знать!

[@user-sn3hi7yt8m]

@@WildMathing нам в школе давали решение как S/19 и тд, и там через прогрессию ужас. а если 19S брать, то все проще

[@user-gg7cz7ux5p]

А вы ещё какие нибудь будете задачи записывать?

[@WildMathing]

Да, конечно: за последние 11 дней было сделано 7 видео и проведен 1 стрим. В том числе появился разбор новенькой экономической задачи: kzbin.info/www/bejne/f2abqoqkqMmSqas

[@user-gg7cz7ux5p]

Как вы нашли сумму арифметической прогрессии?

[@WildMathing]

По самой популярной формуле суммы n членов арифметической прогрессии: Sₙ=½(a₁+aₙ)n. В нашей задаче: ½(S+19S)∙19=190S.

[@user-qf5el9bp8l]

@@WildMathing здравствуйте. Как у вас все так четко получается? И по манере написания, и по решениям и ходу мысли видно , что в голове полный порядок, а в жизни - все по полочкам. Результат правильного воспитания или работа над собой?

[@WildMathing]

​@@user-qf5el9bp8l, день добрый и спасибо за интерес! Есть ради кого стараться, потому и порядок в кадре. Любой учитель, дай ему время на подготовку, сделал бы не хуже моего: главное - желание

[@user-jn6qk3eb6l]

Объясните пожалуйста , почему вы умножаете на 0,01r , а не на (1+r/100)

[@WildMathing]

Чтобы записать именно переплаты, сложить их и получить уравнение вида 2:12. А умножение на (1+r/100) мы используем, когда хочется число увеличить на r%. Представь, что за величину мы получили бы, умножая на (1+r/100). Скажем, r=10% и заемщик взял 1000 рублей в кредит: (1000+900+...+100)*1,1=6050 рублей. Эта величина шестикратно превышает сумму, взятую в кредит, а уж к сюжету задачи она вообще никакого отношения не имеет.

[@user-jn6qk3eb6l]

Wild Mathing спасибо большое

[@WildMathing]

Всегда пожалуйста!

[@user-jn6qk3eb6l]

Wild Mathing Помогите пожалуйста , вот уже около месяца немогу понять конкретно раздел дифференцированных платежей . Вот есть условие задачи : Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r. Я понимаю что сумма будет уменьшаться следующим образом : 12s , 11s ...., 2s , s , 0 А вот дальше как бы записать уравнение с процентами и оттуда выразить проценты , я не очень понимаю , помогите пожалуйста , спасибо

[@WildMathing]

С удовольствием помогу! На 2:26 есть все что нужно: как убывает долг ты уже понял, в твоей задаче переплаты за пользование кредитом составляют 13%. Значит, ровно как и в этом ролике, можно полчить уравнение: r/100*(12S+11S+10S+...+S)=0,13*12S. Оно в свою очередь решается без проблем. Но если не разберешься - дай знать!

[@user-wk7pe8te7c]

Здравствуйте, можно ли решить таким же способом вот эту задачу: Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?

[@WildMathing]

День добрый! Да, конечно, ведь долг уменьшается на одну и ту же сумму (дифференцированные платежи). 1,2 млн делим на 24 месяца, получаем 0,05 млн - именно на эту сумму долг будем уменьшаться ежемесячно. Убывание происходит арифметически: 1,2 → 1,15 → 1,1 → ... → 0,05 → 0.

[@user-wk7pe8te7c]

А можете подсказать, что дальше то считать (^_^). А то у вас так всё легко решается!

[@WildMathing]

В первый год будет выплачена половина долга, т.е. 0,6 млн рублей. Помимо этого будут выплачены проценты за пользование кредитом ("переплаты"). Из чего состоят эти переплаты? Рекомендую сначала самостоятельно подумать. Далее будет ответ. Жанна переплатит в первый год: 0,02*(1,2+1,15+1,1+...+0,65) рублей, т.е. 0,222 млн рублей. Итого: выплаты самого кредита за полгода 0,6 млн + переплаты 0,222 млн = 0,822 млн. Вот эта задачка на решу.егэ: ege.sdamgia.ru/problem?id=509583 - там изложены те же мысли, но математичней.

[@user-wk7pe8te7c]

хаха,я поэтому вас и спросил, что там нифига не понял. Спасибо огромное :-)

[@TheSemgold]

Откуда из условия следует, что долг убывает равномерно?

[@WildMathing]

Из вот этой фразы: «15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца».

[@User-wt3jn]

На экзамене так зачтут???? или подробноо надо им расписыватть?(

[@WildMathing]

Да, то, что написано на 3:16 зачтут, но естественно, лучше оформить данные по долгам и месяцам в таблицу и описать переменные: 18S - сумма кредита, r - процентная ставка.

[@User-wt3jn]

Wild Mathing хорошо , спасибо

[@WildMathing]

Всегда пожалуйста!

[@sunray1016]

self-edu.ru/ege2016_36.php?id=7_17 а такая у тебя где-нибудь в видео есть? На их сайте непонятное и слишком громоздкое объяснение :(

[@regularuser3046]

У меня к вам есть вопрос.Почему сумма именно переплат на 30% больше суммы взятой в кредит ? Ведь в условии сказано,что сумма выплат равна таковому,а выплаты ведь не являются переплатой.Потому что выплата это вообще сумма выплаченная в месяц,она составляет в себе часть самого кредита и лишних процентов,так почему вы составили уравнение исходя из того,что переплата больше на 30% суммы взятой в кредит ? Я лично эту задачу решил,решал я находя каждую выплату путём разности суммы долга с % 1-го числа от 15-го когда выплата произошла,ведь долг 15 числа везде известен как доли,выразил выплаты за все месяцы,сложил и получил уравнение где сумма взятая в долг сократилось ну и т.д.Но я не понимаю как вы решали,вы решили более рационально,понятно как вы выразили переплату и другие моменты,но сам факт того,что переплата не является выплатой...я не вижу почему можно так проделать с переплатой,буду благодарен если попробуете пояснить.

[@WildMathing]

Все просто: общая сумма выплат по условию задачи на 30% больше суммы, взятой в кредит, и это все равно что переплаты за пользование кредитом составляют 30% от суммы, взятой в кредит. Второй вариант, как правило, более короткий путь к ответу, он и был использован в видео. То есть мы записали не «Переплаты»=1,3S, а «Переплаты»=0,3S - большая разница! Не разберешься - дай знать!

[@regularuser3046]

@@WildMathing и правда,это очевидно,только сейчас понял какой глупый вопрос задал,я похоже и не обратил внимание на разницу между 1,3S и 0,3S в видео,извините,что потревожил,успехов вам с новым роликом,они каждый раз всё лучше.Спасибо.

[@WildMathing]

Пустяки, не переживай! Будут вопросы по другим задачам - пиши!

[@mANDariN_ka1]

откуда он взял 0,3??

[@WildMathing]

По условию задачи общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы взятой в кредит. Чтобы найти 30% от некоторого числа, нужно умножить это число на 0,3

[@mANDariN_ka1]

@@WildMathing можешь пожалуйста сделать видео про задачу по типу "человек взял в кредит на 5 лет 1000000 , в год он платит 20% , каждый год процент берется от прошлогодней суммы ,какая конечная сумма выплаты человека " Не очень понимаю как это решать , да и вчера искал об этой задаче

[@WildMathing]

@@mANDariN_ka1, уже разобрал такие задачки: kzbin.info/www/bejne/h6a2fZ2viNmIeZI - см. выпуски 43, 46, 143

[@user-gy2nu4zn5n]

А почему мы должны умножить 19 s на 0,3 а не на 1,3?

[@WildMathing]

В этом номере мы умножаем на 0,3, то есть подсчитываем только проценты от числа, чтобы записать переплаты, сложить их и получить уравнение вида 2:12. А умножение на (1+r/100) мы используем, когда хочется число увеличить на r%. [Ctrl+C, Ctrl+V] Представь, что за величину мы получили бы, умножая на (1+r/100). Скажем, r=10% и заемщик взял 1000 рублей в кредит: (1000+900+...+100)*1,1=6050 рублей. Эта величина шестикратно превышает сумму, взятую в кредит - что-то не то.

[@user-gy2nu4zn5n]

@@WildMathing получается,делать так можно,но мы не усложняем себе жизнь,так?😅

[@WildMathing]

@@user-gy2nu4zn5n, нет-нет, Юль. Здесь так делать категорически нельзя. Смотри, мы все платежи себе представляем в виде двух составляющих: а) тело кредита - те деньги, что заемщик взял, обязательно предстоит вернуть; б) переплаты - за пользование кредитом придется доплатить проценты. То есть все выплаты состоят из самого кредита + переплат. Когда мы вычисляем переплаты, мы просто вычисляем проценты от числа - определяем те проценты, которые «накапают по кредиту». Как мы считаем r процентов от числа A? (r/100)*A, и никак иначе.

[@user-gy2nu4zn5n]

@@WildMathing оо,я все поняла) спасибо огроомное

[@WildMathing]

@@user-gy2nu4zn5n, рад это слышать! Всегда пожалуйста!