Сложнейшая задача из МГУ. Как догадаться до решения?

Сегодня покажу красивое решение сложной задачи из вступительных в МГУ!
Между прочим, этот подход мы подробно обсуждали с учениками на курсе: wall-135395111_30453
Поддержать канал и получить бонусы: boosty.to/wildmathing (либо по кнопке «Спонсировать» под видео)
Разбор задачи №6 первого потока от Профиматики (Влад Вуль): kzbin.infof8kmaJvS...
Как создаю математические анимации: • Как создавать математи...
О музыке в видео: boosty.to/wildmathing/posts/1...
Олимпиадная математика: wall-135395111_24068
ЕГЭ: wall-135395111_24068
Преподавателям: wildmathing?w=product-...
VK: wildmathing
Задачник: topic-135395111_35874038
СОДЕРЖАНИЕ
0:00 - Что происходит?
0:55 - Красивое решение
2:17 - Как догадаться?
4:00 - Финал
БОЛЬШЕ КРУТЫХ ВИДЕО О МАТЕМАТИКЕ
1. Зачем нужна математика: • #200. ЗАЧЕМ НУЖНА МАТЕ...
2. Революционер в математике: • ГАЛУА. Революционер в ...
3. Проблемы Гильберта: • ГИЛЬБЕРТ. Величайшие п...
4. Теоремы XX века: • Теоремы XX века!
5. Красивейшие фракталы: • 10 фракталов, которые ...

[@WildMathing]

Ну что, как вам задачи и решение? Кто писал или будет писать экзамен - делитесь впечатлениями! Кстати, с учениками отдельно разбирали такие нестандартные задачи: vk.com/wall-135395111_30453

[@karelalex]

Дмитрий Алексеевич из Школково так же решил. 😛 Но он анимацию не рисовал. 😉

[@WildMathing]

@@karelalex, рад, что эта идея пришла на ум и другим преподавателям! Вчера такого подхода на KZbin не увидел, так что начал готовить это видео

[@Alex-57]

Иди в цирк хула-хуп крутить.

[@NikitaBotnakov]

Для совсем устного решения: поворотом все легко свести к очевидной задаче. Формально: x = a/2+c\sqrt{3}/2 = acos60 +csin60, y = asin60-ccos60, получаем: x^2+b^2=1-y^2, максимизируем 2bx. Очевидно, окружность x^2+b^2=1-y^2 должна быть большой, т.е. y = 0. Замена x = sint, b= cost. Максимизируем 2 sint cost = sin2t. Ответ 1

[@AlexAlex-xq5lt]

Задачи на экзамене будут разные интересные, одну из них решает вся кафедра! Решат - включат в экзаменационные билеты)

[@unreliable8485]

АХХАХАХ

[@user-ef8on5us7o]

Я студент-первокурсник, который следил за ходом экзамена и попутно от скуки решал вариант. Когда я увидел задачу 6 из 2 варианта, то решил не думать и воспользовался методом Лагранжа. Исписал страницу и только когда довёл до конца меня вдруг осенило и я придумал это же неравенство о средних. Мораль такова, иногда полезно думать, иначе придётся много делать.

[@user-wj9mx3km8u]

Из методов первого курса можно ещё вспомнить линал: уравнение задаёт сферу, а линии уровня второго выражения являются поверхностями второго порядка. Найдем удобную ортогональную систему координат и доведем до ума. Но нер-во средних, конечно, в разы красивее

[@Andrew_Petrovich_Zykov]

не знаю, методом Лагранжа тоже быстро получилось (главное думать не надо ахаха)

[@WildMathing]

Супер! В комментариях подкинули и другие классные идеи, в том числе с помощью чистой тригонометрии. Но аналитическая геометрия или анализ - тоже очень круто!

[@magnus1562]

Недавно начал смотреть Вас!Подача материала на высоте, спасибо Вам за ваши старания!!!

[@WildMathing]

Большое спасибо, что присоединились и оценили!

[@tipolol1888]

Спасибо большое за видео, Wild! :)

[@WildMathing]

Спасибо, что даже летом находишь время для поддержки канала, Никита!

[@tipolol1888]

@@WildMathing Wild, для меня это очень ценно, поэтому я считаю своим долгом делать это :)

[@profimatika]

Спасибо за упоминание, очень приятно! =)

[@WildMathing]

Спасибо за поддержку канала!

[@user-gp9om1vc9m]

Большое спасибо за очередной разбор интересной задачи!

[@WildMathing]

Спасибо вам!

[@kift.]

Красивое решение красивой задачи)

[@LoonBoost]

Спасибо за выпуск интересных видео по математике

[@WildMathing]

Спасибо за поддержку и здесь, и на Boosty!

[@AlexeyEvpalov]

Спасибо за красивое решение непростой задачи.

[@WildMathing]

Вам спасибо! Вижу, что вы уже почти 2/3 всех роликов на канале посмотрели - очень ценю такой интерес!

[@SHIZ584]

Хочу предложить альтернативное решение: ab + sqrt(3)bc = 2(1/2 * ab + sqrt(3)/2 * bc) = 2(sin(π/6) * ab + cos(π/6) * bc) = 2b(sin(π/6) * a + cos(π/6) * c) = 2b * sqrt(a^2 + c^2) * (a / sqrt(a^2 + c^2) * sin(π/6) + c / sqrt(a^2 + c^2) * cos(π/6)). Можно сказать, что существует такое число t, что cos(t) = a / sqrt(a^2 + c^2) и sin(t) = c / sqrt(a^2 + c^2). Тогда: ab + sqrt(3)bc = 2b * sqrt(a^2 + c^2) * (cos(t) * sin(π/6) + sin(t) * cos(π/6)) = 2b * sqrt(a^2 + c^2) * sin(t + π/6) Из условия a^2 + b^2 + c^2 = 1 получаем, что a^2 + c^2 = 1 - b^2. Тогда ab + sqrt(3)bc = 2b * sqrt(1 - b^2) * sin(t + π/6)

[@WildMathing]

Ух, метод вспомогательного аргумента - это мощно! Здорово, что сумели реализовать идею до конца!

[@sergeyamirov1821]

Оо, я также решил

[@aiemperor5925]

Ничего не понятно, но очень интересно)

[@Micael-ug1jn]

А что тогда будет минимум этого выражения?

[@user-wf2ju7fw8r]

А можно ли эту задачу методом вспомогательного аргумента без производной решить? , я пытался не смог.

[@maks3408]

Знакомый поступает в МГУ, скинул мне эту задачу. Я в математике не так много понимаю, наобум сказал, что ответ 1. Возможно стоит уделить царице наук побольше времени.

[@amath314]

Ответ ≠ решение. За ответ тебе поставят полный минус, то есть 0 баллов.

[@ZoMBeKsmdm]

@@amath314душно

[@WildMathing]

Интуиция в математике тоже важна, так что верное ощущение максимума - это здорово! А техника же - вопрос времени и желания

[@saintgermain5490]

Теперь ты-репетитор

[@ae-cp7pl]

Красота!!

[@mathand8990]

Красивое решение. Могу предложить иное, как раз на геометрическую интерпретацию. Единичкую сферу можно задать двумя углами phi и psi (короче говоря, сначала откладываем phi радиан от оси Ox в плоскости Oxy, а потом поднимаемся под углом psi к этой плоскости). То есть можно задать параметризацию a = sin(psi)*sin(phi), c = sin(psi)*cos(phi), b = cos(psi), причём чтобы a, b и c были положительны, углы должны быть в первой координатной четверти. Тогда задача сводится к максимизации b(a+c*sqrt(3)) = cos(psi) * sin(psi) * (sin(phi) + sqrt(3) * cos(phi)). Внимательные читатели уже заметили, что последнюю скобку можно свернуть по формуле синуса суммы, если вынести 1/2, а первые два множителя дают половину синуса двойного угла: b(a+c*sqrt(3)) = sin(2 * psi) * sin(phi + pi/3) / 4. Синусы не больше 1, причём эта оценка достигается при phi = pi/6 и psi = pi/4. Таким образом, наибольшее значение есть 1/4.

[@WildMathing]

Да, это здоровский подход! Сфера / сферические координаты - естественная идея, хотя, думаю, для школьников это может быть менее очевидно. Спасибо, что заглянул и поделился, Андрей!

[@aboltus_2014]

Спасибо! Только кажется, на самом деле cos(psi) * sin(psi) * [sin(phi) + sqrt(3) * cos(phi)] = cos(psi) * sin(psi) * 2 * [sin(phi)/2 + sqrt(3)/2 * cos(phi)] = sin(2 * psi) * sin(phi + pi/3) = 1

[@victorlokutsievskiy3177]

@@aboltus_2014 У меня получилось так же - двойки сокращаются, ответ 1, но при решении, вначале, как и автор этого решения, сделал такую же ошибку и получил 1/4. проверил, нашел ошибку

[@Astan4anka]

Красота.❤❤❤

[@user-ow8ti7ot1r]

Красиво, очень красиво! Долго думал, как можно свести к Коши, но так и не додумался, решал через скалярное векторов

[@La_PaMidoR]

Очень крутые видео! Всегда было интересно смотреть подобное, и мне бы хотелось поделиться задачкой, которой задал мне мой препод в школе (9 класс), который взял его из огэ первой части: Найти наибольшее значение выражения (2bc-a^2)/(a^2+b^2+3c^2)+(2ac-b^2)/(b^2+c^2+3a^2)+(2ab-c^2)/(a^2+c^2+3b^2)

[@goldenslime4494]

В шестом номере я рассуждал так: Если ab+bc√3=х, то (a²-ab+1/4b²)+(3/4b²-bc√3+c²) = (a-1/2b)²+(√3/2b-c)²=1-х А так как сумма квадратов ≥0 выходит, что 1≥х, а значения а, b и с можно было бы найти подстановкой(если вдруг нужно будет)

[@WildMathing]

Да, выделение квадратов здесь тоже супер: в сущности, это максимально родственная идея к неравенству о средних (если вспомнить, как оно выводится для двух чисел). Спасибо, что поделились!

[@WAND1941]

Очень круто!

[@karimmars2768]

Да уж, посмотрев это видео почувствовал себя невероятно глупым. Однако каким-то образом у меня совпали ответы, да-да, именно совпали, потому что решением я это назвать не могу(. Но объяснить путь моих мыслей постараюсь: 1. Внимательно прослушав условие, я в первую очередь решил выделить числа a, b, c по возрастанию. И как же я это сделал? С помощью таблички с натуральными числами 1, 2 и 3. Всего было 6 вариантов расположения чисел: 1 2 3 4 5 6 a 1 1 2 2 3 3 b 2 3 1 3 1 2 c 3 2 3 1 2 1 1) 2 + 6√3 2) 3+6√3 3) 2 + 3√3 4) 3 + 3√3 5) 3 + 2√3 6) 6 + 2√3 Проверил каждый вариант на максимальность суммы, вычеркнул все, кроме 2 и 4, но 2 вариант был больше, поэтому его и оставил. Это была тройка чисел a = 1, b = 3, c = 2, => очевидно, что a < c < b, где Ɐ из a, b, c была < 1 и > 0 2. Выяснив как шли числа по возрастанию, я попробовал найти эти числа, по двум условиям 1) все числа положительные, 2) a < c < b: мне казалось будет логично установить закономерность, что часть принадлежащая b^2 будет половиной от 1, потому что есть 3 слагаемых, где больший должен обязательно быть равен сумме двух других, часть c^2 следовательно 3/4 от суммы a^2 и c^2, по условию 2), а a^2 меньшее число. В итоге: b = 1/√2 = √2/2 a = 1/2√2 = √2/4 c = √3/√8 = √6/4 Остается найти сумму и вот 1. Надеюсь мои мысли не нарушили законом математики, буду рад, если кто-то, кто тоже не обладает большими мат знаниями, также пытался решить эту задачку "детским" способом, может быть наши мысли где-то совпали, а вам Wild Mathing, огромная благодарность за ваше творчество!

[@alexeyrusinov8842]

Шикарная обложка видео!

[@WildMathing]

«Я человек простой: вижу на превью Коши - кликаю на видео»

[@user-xl8bt9rw6v]

​@@WildMathingгениальный байт, я не удержался))

[@statproacademy]

Thank you so much for the very good animation as always. How do you make this part 2:52 of the animation showing to a specific target.? I try it from the code you gave in a comment.But i can't find a way to move it to a specific target. Please give me some tips .I will be very glad to know.

[@sabway1401]

Я также видел очень красивое решение 6 задачи 2 потока через вектора. Идея интересная, хоть и надо задуматься. Если заметить, что выражение ab+sqrt(3)bc представимо, как 2(ab/2+sqrt(3)bc/2), то можно взять скалярное произведение двух векторов 2u•v, где u={ab;bc} и v={1/2;sqrt(3)/2}. Дальше мы преаразуем выражение по произведению векторов и пойдёт немного матана, но это уже не очень трудно. Решение намного сложнее, но дополнительный угол здесь можно увидеть

[@WildMathing]

Это прекрасно! Спасибо

[@mega_mango]

я решил её сам! И совсем другим способом! Задача охрененная. И не верится, что это экзамен, а не с какой-то олимпиады.)

[@Anonymous6634]

можно через формулу приведённого угла решать a^2 + c^2 = const max(a + c*sqrt(3)) при c = a*sqrt(3) это подставим и получим формулу двойного угла

[@alexey.c]

В векторной форме: ab + bc√3 = 2b(ē•ū), где ē = (sin(π/6), cos(π/6)), ū = (a,c). При любом фиксированном b выражение макимально когда ū параллелен ē.

[@user-bu7tn7my5e]

Спасибо!

[@WildMathing]

Большое спасибо за поддержку!

[@user-xx7so4wo5h]

решение получается крайне простым, если вспомнить про существование сферических координат. Пусть (a, c, b) координаты в R^3, тогда a = rcosxcosy, c = rcosxsiny, b = rsinx. Тогда, при r = 1 (условие a^2 + b^2 + c^2 = 1), получаем ab + bc*sqrt(3) = sinxcosxcosy + sqrt(3)*sinxcosxsiny = {путем простейших преобразований} = sin(2x)cos(y - pi/3). Очевидно, в силу независимости x и y максимум такого выражения равен 1 (x = pi/4, y = pi/3).

[@anon_commentator]

Меня особенно заинтересовал "лютый монстр". У меня насчёт него такие соображения: 1) = 1/(1+а) + 1/(1+б) + 1/(1+б) = 1; Найти 2)мах(а/(2+а²) + б/(2+б²) + с/(2+с²) Среднее гармоническое чисел 1+а, 1+б и 1+с = 3, это следует из 1). Среднее арифметическое их же не меньше, --> ((1+а)+(1+б)+(1+с))/3 >= 3; 3 + а + б + с >= 9; а + б + с >= 6. Далее, допустим, что а/(а² + 2) = 0. Найдём все такие н. Т к обе части строго положительные, из этого следует, что (а² + 2)/а >= ((а-н)² + 2)/(а-н) а + 2/а >= а - н + 2/(а-н) н + 2(1/а - 1/(а - н)) >= 0 1 - 2/(а*(а-н) >= 0 а*(а-н) >= 2. И это приводит нас к интересныс мыслям: если а > 2, то можно уменьшить его до двух включительно (читай, отнять любое значение н от н = 0 до н = а - 2>= 0), и в таком случае само выражение не уменьшится. В силу симметрии это касается и б, с. В таком случае, если мы возьмём рандомные а, б и с соответствующие 1), можно будет уменьшать превышающие 2 из их до тех пор пока каждое из них не будет превышать 2, и 2) не уменьшится. Значит, можно уменьшать а, б и с так чтобы а + б + с стало не больше шести, и 2) не уменьшилось, значит можно в том числе уменьшать а, б и с так, что а + б + с станет равно шести, и при этом 2) не уменьшится. Напомню, ПРИ ЛЮБЫХ а, б и с удовлетворяющих 1). Выходит, что можно получить максимальное 2 при а + б + с = 6. Можно было бы доказать, что он единственный максимум ч но на деле это даже не необходимо, ведь нам достаточно его найти. С таким равенством отныне и будем работать. Далее, заметим, что если а + б + с = 6, то ср. арифм а+1,б+1,с+1 = 3 = ср. гарм. а+1, б+1, с+1. Вспомним, что если ср арифм и ср гарм некоторых одинаковых чисел равны, то все эти числа равны. Значит, при а + б + с = 6 и верности равенства 1), а+1 = б+1 = с+1 = х+1 = 3; х = 2. Ну и далее находим единичный возможный 2) при а + б + с = 6, 2) = 3*(х/(х² + 2)) = 6/ 6 = 1 = макс 2). Ну, мы решили задачу. Можно себе похлопать

[@WildMathing]

Огонь!

[@General-genocideYuriEvtuhovich]

Спасибо за очередное прекрасное видео!У меня в голове недавно возник вопрос,надеюсь кто-то на него ответит Давайте представим число в виде множества,назовём такие множества "множествами числа".Цифры будут его элементами.Записать множество натурального числа можно имея лишь один элемент,к примеру "0".Множество числа 4 тогда можно записать как 0000.А теперь представим множество всех множеств натурального числа.К нему нельзя применить диагональный метод Кантора,ведь 0 нельзя поменять на что-либо ещё,потому оно счётно,в то же время в начале прошлого века было доказано что если "цифр" более одного то метод применим и множество множеств вещественного числа уже континуально.Бесконечное множество пустых множеств(при условии что мы считаем каждое пустое множество уникальным) содержит в себе объекты,у которых элементы отсутствуют вовсе,потому я вижу здесь неопределённость,ведь тогда оба условия не выполняются

[@WildMathing]

Спасибо за интерес! В теории множеств запись {0, 0} некорректна. Множество не может содержать один и тот же элемент дважды. Множество {0000} не является числовым, коль скоро мы его отличаем от множества {000}

[@General-genocideYuriEvtuhovich]

@@WildMathing Вам спасибо за ответ!Просто подумал если допустить возможность записывать сколь угодное количество пустых множеств,то обе бесконечные мощности из определения не подходят

[@user-mu7zw7kj9l]

Доброго вечера! Неравенство о средних - весьма популярная тема в № 6 ДВИ) А другие из показанных в видео задач обойдёте вниманием или тоже ждать разбора?

[@WildMathing]

Вечер добрый! Спасибо за интерес. Насчет других задач ДВИ больше зависит от спроса и интереса аудитории. Цельные варианты не планировал разбирать, но нынешний номер мне показался симпатичным. И судя по тому, сколько разных решений придумали зрители, задача по-настоящему хорошая

[@nikitas3729]

Можно через кбш ab+cb√3 ≤ √(a²+c²)(b²+3b²) = 2√t(1-t) ≤ 2√(1/4) = 1

[@garegintorosyan7147]

Когда будем разбирать задачи из IMO?

[@WildMathing]

Спрос рождает предложение!

[@good-cs1xf]

Хотелось бы сказать пару слов о задаче 0:35. Можно сделать замену x=1/(a+1), y=..., z=..., потом выразить нижнее выражение через x, y, z. Получив условие, что x+y+z=1, подопрём каждое слагаемое нижнего выражения в точке 1/3 (ведь каждое слагаемое является функцией от одной переменной, причём лёгким неравенством доказывается, что касательная лежит выше). Сложив касательные, получим, что выражение не больше 1, а равенство достигается, при x=y=z=1/3, то есть a=b=c=2. Также хочется отметить, что несмотря на некоторую грубость метода, константы в решении получились приятные, а выражения не превращались в пятиэтажные.

[@WildMathing]

Супер! Спасибо за идею!

[@user-fm1ri1se8p]

Небольшая помарка - x+y+z=2. Не знаю используется ли где-то дальше.

[@good-cs1xf]

Извиняюсь за описку: замена должна быть x=1/(1+a), y=1/(1+b), z=1/(1+c).

[@Vsegdalew]

Для меня этот параметр был легчайший из всех потоков, решается в одну строчку при переходе в сферическую систему координат

[@WildMathing]

Да, это задание относительно других можно назвать несложным! Но в одну строку, используя сферическую систему координат, все уместится только на ватмане

[@martimine2663]

Я решал так: по кбш ac+sqrt(3)bc

[@WildMathing]

Очень хорошее и оригинальное решение, спасибо! Даже без точности оценки (но верном ответе) наверняка поставят «плюс-минус» (а если не заметят промах, то и чистый плюс), так что баллы могут быть достойными. Все впереди. Разборы других задач не обещаю, но на KZbin уже есть полные разборы обоих потоков

[@martimine2663]

​@@WildMathingЗдравствуйте, хотел бы ещё раз выразить огромную благодарность за вашу работу. Благодаря вам я полюбил планиметрию. Кстати, в итоге я написал дви на 90 и поступил на мехмат!

[@WildMathing]

@@martimine2663, добрый день! Ура, поздравляю! Так и чувствовал, что балл за ДВИ все равно получится достойный

[@1luffiz]

Добрый день. Какие темы по параметрам и стереометрии стоит повторить/узнать перед ДВИ ?

[@WildMathing]

День добрый! Параметров пока что не было в этом году, рекомендую сфокусироваться на неравенствах о средних. По стереометрии, если разделы ЕГЭ уже достаточно хорошо известны, рекомендую следующие темы: вписанная сфера, описанная сфера, полувписанная сфера, метод объемов, метод координат

[@1luffiz]

@@WildMathing Спасибо!! А что такое каркасная сфера???

[@WildMathing]

Не за что! Речь идет о конструкциях, в которых сфера касается нескольких ребер многогранника. Для конкретики сейчас написал «полувписанная сфера»

[@1luffiz]

@@WildMathing Понял

[@sergniko]

Видимо, догадаться легче тем, кто больше тренируется и решает подобные задачи.

[@WildMathing]

Это чистая правда!

[@DEmoN-er5ct]

Можете объяснить мне, пожалуйста, почему в подобных задачах, где требуется оценить выражение нам дополнительно нужен пример? Когда дан конкретный интервал, как например в задании ЕГЭ про оценку, то там понятно, что на этом интервале может и не достигаться найденный максимум или минимум. А конкретно здесь, как мне кажется, все переходы равносильные и даны положительные вещественные числа, в чём проблема? Может приведёте мне пример, где при равносильной оценки на положительной оси действительных чисел не достигается нужный экстремум выражения.

[@WildMathing]

Интересно отметить, что ситуация ровно обратная: любая непрерывная функция на отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значений на этом отрезке - известная теорема анализа. В то время как для открытого луча (для всех положительных чисел) она не работает. Кроме того, не следует путать оценку с достижимостью экстремального значения: это прояснит первый пример. 1) x²+1≥0 - верная оценка. Но это неравенство не обращается в равенство ни при каких действительных икс. При этом функция y=x²+1, определенная на всей числовой прямой, очевидно, имеет минимум. Таким образом, из приведенной оценки не следует, что min(x²+1)=0. 2) Функция y=1/x с D(y)=(0;+oo) не имеет минимума, хотя на указанной области верно неравенство 1/x≥0

[@odysseuscrocodilydae1453]

Я почему-то первым делом подумал про замену поворотом вокруг оси b: a+ c \sqrt 3 = 2x , a \sqrt 3 - c = 2z, b = y. Вопрос: почему именно поворот? Чтобы, с одной стороны, избавиться от лишней переменной (это делает первая замена), а с другой - сделать так, чтобы уравнение сферы осталось таким же: x^2 + y^2 + z^2 = 1. После замены максимизируется теперь более простая функция 2ху по всем окружностям радиусов sqrt(1-z^2). На каждой такой окружности максимум функции соответствует касанию окружности и гиперболы и равен в точности 1-z^2. Значит, максимум равен 1 и достигается при z = 0, x = y = +/- 1/\sqrt 2. Однако мне кажется, такое решение более очевидно только с высоты человека, уже когда-то прошедшего первый курс университета, поэтому решение с помощью неравенств о средних весьма поучительно)

[@WildMathing]

Супер! Отличная идея! Многие из университетского курса вспомнили про множители Лагранжа или сферическую систему координат, так что ваше решение в любом случае оргинальное

[@user-nl2yy7ys9c]

Вот именно с этой кошкодевочкой я хотел бы посмотреть аниме (из превью)

[@fawist4234]

Ааэаээааа😮 Вроде пытаюсь каким то образом решить задачку, ломаю голову пока не треснет, но не выходит. Но стоит посмотреть ответ, все понятно и логично. Как к таким решениям приходить то? Несмотря на все трудности, в некотором роде такая сложность даже больше мотивирует, чем дизморалит 😅 Спасибо за ролик, вышло интересно, даже несмотря на то что голова все ещё болит. Все таки до МГУшных задач мне как до луны пешком ))) Думаю, хватит строчить всякие глупости, пойду теории почитаю и задач попроще порешаю, все таки впереди целая ночь! :3

[@WildMathing]

Это нормально, просто у каждого свой подходящий уровень сложности. Если сначала изучить эту тему, порешать задачи, рассмотреть разные методы. То, видя очередной сюжет в таком духе, появляется много хороших идей. Опыт решает

[@steppeez]

пока не знаю, какой у Чёрта вкус на геометрические интерпретации, а по мне: и трёхмерная билинейная форма смотрится красиво в любой ориентации и в любом масштабе относительно координатного базиса

[@WildMathing]

Солидарен!

[@alfal4239]

Вот так максимум найдём и когда достигается найдём. ab + bc✓3 - a^2 - b^2 - c^2 = -(a - b/2)^2 - (c - b✓3/2)^2

[@WildMathing]

Это замечательная идея! Интересно, что выделение квадратов здесь в сущности то же самое, что неравенство о средних, если припомнить, как оно доказывается (см. 1:36)

[@alfal4239]

@@WildMathing Самая первая идея на первой минуте -- это сферические координаты. А то, что здесь, уже не на первой минуте 😁

[@odysseuscrocodilydae1453]

Это достойно Хэммингуэя)

[@Dimuscle]

О, задачка из моего варианта как раз, жаль не решил 😢

[@Der_unverzagte]

основное неравенство [x^2+y^2>=2xy] 2ab

[@alizhanassanhan9542]

Кстати решение последной задачи очень интересная.Нужно понять что два это один плюс один.Из этого можно сказать что а/а2+1+1

[@alizhanassanhan9542]

То есть решение «Лютого монстра» сводиться к неравенству коши для трех чисел.Представив два как один плюс один ,по неравенству Коши следует ,что а2+1+1>=3а , значит для дроби все наоборот и для каждой дроби максимум это 1/3.Тогда максимальное значение суммы дробей это 1.Чтобы написать пример стоит посмотреть на равенство которое дается сверху. Тогда пример очевиден и равен а=b=c=2

[@WildMathing]

Спасибо за интерес! Идея хорошая, но так ее реализовать не получится. По неравенству Коши у вас выскочит корень кубический. Легко показать, что наибольшее значение каждой дроби √2/4

[@user-ey5xw2nx9s]

Эх, первое так же решил :)

[@Andrew_Petrovich_Zykov]

интересно, а на ДВИ можно использовать метод множителей Лагранжа?

[@WildMathing]

Формально, следует использовать факты из школьных учебников, но, возможно, и решение за счет анализа 1 курса зачли. В то же время частные производные здесь не сильнопомогут: см., например, ограничения, которые дали на отметке 0:35.

[@BukhalovAV]

Тоже подумал о неравенстве Коши, вот только до этого не дошёл...

[@user-jr3ul9vp1j]

Вернусь сюда, когда поумнею

[@user-mu7zw7kj9l]

Ответ на задачу про поиск а с индексом 2023 (где вычёркивают квадраты) - это 2068? А в следующей задаче можно последовательно найти а0, а2, а3, ..., а8, подставляя конкретные n и m (0 и 0, потом 1 и 1, 2 и 1, 2 и 2 и т.д.). Получим а8 = 8^2 = 64. Засчитают такое решение перебором n и m и последовательным нахождением а0, а2, а3, ..., а8? Ведь просят а8, а не а с индексом 999 :)

[@steppeez]

Чёрт может вздумать начать перебирать последовательно и "квадратные дырки", которые образуются при "самообстреле" натурального ряда чисел своими вторыми степенями, коррекционно посматривая на своё положение в очередной итерации (а Чёрт его знает, с чего и как он вздумает начать итерационный процесс и чё он хочет получить апостериорно)

[@alizhanassanhan9542]

А можно вопрос про «Лютого монстра».Зачем нам вообще иметь условие про то что сумма дробей равна одному ,если задачу можно решить без него.Где то в комментах я оставлал решение где используется Неравенство Коши для трех чисел.Про то что два это один плюс один итак далее .Возможно для того чтобы ответ :все числа равны одному или нулю вычеркнуть.

[@WildMathing]

Дело в том, что в вашем решении, к сожалению, ошибка. Подставьте a=√2 в выражение a/(a²+2) и получите √2/4, что больше 1/3

[@simonmatveev]

Ахах, божественная анимация на 3:45-3:55

[@Nick-cj2tw]

Ты книжку читал, Ванюшка? Читал, бабушка И что же ты понял Ванюшка? Да нихуа я не понял бабушка... Извиняюсь за такой комент, но вот прям про меня

[@pegamer3051]

1:06 Решается в одну строчку через сферическую систему координат + доп. угол

[@WildMathing]

Согласен! Если писать на ватмане, ориентированном горизонтально

[@madkate42]

Здравствуйте! Где можно посмотреть остальные задачи и их решения? На сайте МГУ не могу найти

[@WildMathing]

День добрый! Здесь условия всех четырех прошедших потоков: vk.com/wall-135395111_30703 А здесь можете посмотреть решения от коллег по цеху: www.youtube.com/@profimatika/streams

[@madkate42]

@@WildMathing Спасибо огромное! Успехов вам!!

[@WildMathing]

Спасибо и вам!

[@zhansharkhanov4087]

на канале белов и кочка тоже есть эта задачка :)

[@cobwebs2589]

Методом множителей Лагранжа уничтожается за 5 минут.

[@brinzanalexandru2150]

Тут можео использовать метод лагранжа,который как раз находит тройку при которой выражение будет максимально.

[@WildMathing]

Можно, но острожно: есть ограничения из условия задачи. Скажем, в задаче на отметке 0:35 дополнительные условия существенно усложняют дело

[@brinzanalexandru2150]

@@WildMathing согласен с вами,но метод очень полезный

[@WildMathing]

@@brinzanalexandru2150, да, у него есть один большой плюс - универсальность

[@user-qp4er1im6g]

спойлер: никак)))) хочу так же рубить в матане!

[@user-lb9xg8dl5n]

На самом деле решение не совсем точное. Настоящий экстремум достигается при a=b=c и это легко оказывается используя принцип симметрии. (1+sqrt(3))/3

[@WildMathing]

К сожалению, такой ответ неверный. Многочлен ab+bc√3 не является симметрическим. Мы ищем наибольшее значение, и единичка как раз больше указанного вами

[@user-lb9xg8dl5n]

Согласен. Но, поскольку, не накладываются жёсткие условия на abc, то они переходят друг в друга - можно использовать принцип симметрии.

[@Micael-ug1jn]

Каков будет минимум данного выражения ?

[@WildMathing]

Это хороший вопрос! Думаю, что наименьшего значения не существует. Дело в том, что исходные числа положительны, поэтому и произведение ab+bc√3 также всегда положительно. При стремлении b к нулю выражение также может быть сколь угодно малым положительным (но не ровно ноль)

[@kostiktalovikov1285]

я наугад предположил что это 1 =) быстро и верно.....

[@vladvnukovich377]

Кто-нибудь знает, как автор делает свои анимации?

[@WildMathing]

Здесь детали: kzbin.info/www/bejne/hKSskp55mrd4iqM

[@rough5475]

В задачке на 0:35 максимум достигается при всех двойках. Ответ: 1

[@WildMathing]

Супер, верно! Вы и этот номер решили, используя необходимое условие экстремума функции трех переменных?

[@user-zo5ve3gl3c]

Блеск!

[@user-fm1ri1se8p]

Я бы так делал: 2+a² = 2+ a²/2 + a²/2 ≥ 2a+a²/2 => a/(2+a²) ≤ 2/(4+a) = 2/(3 + 1+a) ≤ 1/√3*√(1+a). Аналогично оценивая остальные члены получим: a/(2+a²) + b/(2+b²) + c/(2+c²) ≤ (1/√(1+a) + 1/√(1+b) +1/√(1+c))/√3. Обозначим x = 1/√(1+a), y = 1/√(1+b) , z = 1/√(1+c) Получим, x² + y² + z² = 1 => (x+y+z)² = x²+y²+z²+2*(xy+yz+zx) ≤ 3*(x²+y²+z²) = 3 => x+y+z ≤ √3. Итого: a/(2+a²) + b/(2+b²) + c/(2+c²) ≤ (x+y+z)/√3 ≤ √3/√3 = 1. 1 - достигается при a=b=c=2.

[@WildMathing]

Супер! Спасибо, что поделились! Строку с оценкой x+y+z ≤ √3 можно еще чуть-чуть упростить счет неравенства между средним квадратическим и средним арифметическим

[@vladimirlos5432]

Уууу... шаманы! Одно время в НГУ и ФМШ при ём было распространено слово "суперсёкарь". Это - тот, кто "сечёт" всё на свете в своём предмете. Кроме одной вещи: как можно чего-то не "сечь"?!... :)

[@dmitriynarvskiy]

Я бы вряд ли допёр, как хорошо, что у меня олимпиада сотку даёт

[@ACclams1e]

*Вижу название ролика*. О сложнейшая задачка. Сейчас ее быстренько решу. *Вижу саму задачку*. А тут думать надо. *Выключаю ролик*

[@user-cd5wd9tp7q]

Я решил эту задачу функцией Лагранжа

[@rough5475]

Красиво, но задачка легко решается методом множителей Лагранжа. Ну, если знать конечно

[@WildMathing]

Задача легко решается выделением полных квадратов или через неравенства о средних. Через векторы или тригонометрию - тоже неплохо. Метод Лагранжа, как и сферические координаты, получают бронзу: гораздо больше счета. Если, конечно, иметь достаточно опыта, чтобы владеть всеми приемами

[@roonas7378]

Конечно, не по теме, но, ребят, можете объяснить, почему в совокупности тригонометрических уравнений в сериях можно писать одну и ту же букву, а в системе нужно писать разные?

[@WildMathing]

Рассмотрим систему {cosx = 1, {sinx ≠ 0. Она, очевидно, не имеет решений. Но что если мы попробуем использовать одну и ту же целочисленную переменную? {x = 2πn, n∈ℤ; {x ≠ πn, n∈ℤ. При n=1 имеем {x = 2π, {x ≠ π, что равносильно x = 2π. Мы нашли одно решение второй системы, хотя у первой их нет вовсе: значит, не стоит вводить одинаковые целочисленные переменные в таком случае

[@roonas7378]

@@WildMathing Спасибо! 🙏

[@WildMathing]

Пустяки, не за что!

[@krabiksodna3726]

Лагранж не доволен, что его метод не оказался востребован 🥲

[@WildMathing]

В этих задачах частные производные не очень удобны, да простит меня Лагранж. Например, на отметке 0:35 есть неприятное дополнительное условие

[@Bashkortostan_top1]

Я думаю что автор работает или учится в МГУ

[@rival3287]

ой ну и ну у меня завтра экзамен я решил начать готовится 🙄🙄

[@WildMathing]

Лучше поздно, чем никогда!

[@user-yu7vy6hp9g]

У вас есть видео объяснение того почему сумма натуральных чисел равна -1/12. Это правда так? Я встречал мнение что то доказательство неверное которое все обычно приводят

[@WildMathing]

Могу порекомендовать вот этот ролик по теме: kzbin.info/www/bejne/j6asep2Cp5upi6M

[@user-yu7vy6hp9g]

@@WildMathing спасибо

[@theconstantine19]

Коши! Коши! Коши!

[@romanvolotov]

похоже, я не поступлю в МГУ

[@WildMathing]

Еще не вечер! Хотя переживать в любом случае не стоит

[@romanvolotov]

@@WildMathing да у меня ещё год вроде есть)

[@rethpete7179]

Ладно я не умный

[@WildMathing]

Умный, просто у каждого свой подходящий уровень сложности и интересы

[@sacredabdulla5698]

ето жопа. Никаких гипербол. жёпа и всё. Надо быть психом -алхимиком, чтоб такое ПРИДУМАТЬ. выучить подход - это , конечно, можно.

[@tlllllllllll]

Первый❤

[@aranarus]

Я сейчас работаю в лаборатории линейных ускорителей и вот эта математика для меня треш какой-то. Да, я умею работать с дифференциальным и интегральным исчислением и прочим, но такие финты на практике не требуются. Такой вопрос, а что за вступительные? Разве нужны вступительные экзамены, ведь для унификации поступления в вузы и создали ли ЕГЭ? Как по мне вступительные экзамены - это фильтр по месту прописки ибо живя в городе, где находится вуз, то можно ходить в школу при этом заведении и проходить подготовку к учебе в вузе непосредственно при самом вузе, как по мне это не честно.

[@WildMathing]

Спасибо за обратную связь! Чистая математика сильно отличается от того, что нужно в прикладной: это совершенно естественно. В большинстве вузов сейчас и впрямь только ЕГЭ и олимпиады. В МГУ же имеется еще один внутренний экзамен. Но он не дает особых привелегий москвичам: не те времена. В МГУ более половины абитуриентов иногородние, а сам экзамен проходит дистанционно

[@aranarus]

@@WildMathing, а иногородних больше на сколько? Если экзамены не дают преимуществ, то в МГУ соотношение иногородних к москвичам должно быть как и во всей стране то есть 9:1 ибо в Москве живет примерно 10% россиян. Вопрос насчет олимпиад. Вот есть какая-нибудь московская олимпиада и допустим олимпиада в Якутске. При поступлении они одинаково будут оцениваться ибо они обе были на городском уровне?

[@WildMathing]

@@aranarus, 10% было бы, если бы несколько сотен тысяч абитуриентов из Москвы и Петербурга уезжали бы учиться в регионы. Но зачем им уезжать, если в этих городах и так лучшее образование? Сейчас существует перечень олимпиад, многие из них проходят по всей России, и дипломы котируются одинаково вне зависимости от региона проживания ученика

[@kosiak10851]

ну и правильно что сделали. МГУ это всё-таки не рядовой ВУЗ. В него только олимпиадники должны идти.

[@user-lh7tx4ee7v]

Первая!

[@sacredabdulla5698]

надо писать "первая нах!" - учите русский язык! гагагаг

[@vpolerosaaaa]

На превью аниме-Путин?

[@VitalayManin]

(1+1/х)^х=3 кто докажет тому все деньги мира.

[@LT0609]

Вроде, при х=2 не сходится.

[@vladimirtisamznaeshkakoi1330]

вопрос наличия фотки путина на обложке так и не ясен

[@user-hh5dt2de7t]

Классическая олимпиадная задача, на мой взгляд, даже скучная

[@igorg4129]

Россияне, а вам это все зачем? Скоро за публикацию такой информации срок будет как за дискредитацию российской армии.

[@anon_commentator]

Не будет. Наше правительство не станет закрывать собственную научную деятельность, особенно безвозмездную, особенно которая касается своих лучших институтов. То же самое касается и Ютуба. Его могут закрыть, но если ты не снимаешь ничего плохого тебя банально не за что посадить. Можно сколько угодно критиковать наше правительство, но откровенно глупых или неправильных решений оно принимать не станет

[@user-xe7ur2sp7e]

Привет я хочу узнать что за числа стоят на заставке в видео про жизнь и биографию Гильберта примерное определение есть в книге Стивена Хокинга (Бог создал целые числа) стр. 658,724,762-798. Я не понимаю что они обозначают

[@WildMathing]

Приветствую! На самом деле там нет чисел. Справа можно заметить алеф, а степень двойки намекает на мощность множества: ru.wikipedia.org/wiki/Иерархия_алефов В левой части логические символы: скорее всего в самом ролике они появляются в качестве соответствующей иллюстрации. По центру, можно сказать, логотип видео в виде готической буквы Β: Гильберт занимался логикой, теорией идеалов, и он активно стал использовать готические буквы

[@user-xe7ur2sp7e]

Огромное спасибо

[@Maksim_C]

на олимпиадном канале школково это же решение более подробно раскрыто

[@user-xe7ur2sp7e]

Когда видео?

[@WildMathing]

Спасибо за интерес! До 10 августа точно будет, но может и раньше

[@pavelzdarciuc9578]

Я вчера был на пересдачу бак(егэ в Молдове), не получилось сдать с первого раза. И тест был по проще чем в основном экзамене, если интересно вот ссылка.( ance.gov.md/sites/default/files/12_mat_test_r_ru_sb23.pdf ). А задачи представлены в видео, мне показалось очень интересное.

[@ivan_mustafaev]

Задачи очень лёгкие. Хоть тут и проходят матрицы, определители и комплексные числа, сами по себе задачи не такие уж и сложные.