【東京帝國大學】やっぱり昔もあった！積分問題【戦前入試問題】

[@884]

【東京帝國大學の入試数学が書籍になりました】 東京帝國大學の入試問題 100 題と林のオリジナル解説をまとめた書籍が出版されました！数学好きの方ならきっと楽しめると思います。ぜひお読みください。 “100年前の東大入試数学 ディープすぎる難問・奇問100” amzn.to/3d39zgN

[@884]

こんばんは！今日は不定積分・定積分の問題です。積分の計算問題は，この時代からあるんですね〜 (b) はさておき，(a) は数学 III の基本問題，(c) は国公立大学の受験であれば解けるようにしておきたい問題です。 ぜひご自身でもチャレンジしてみてください〜

[@hrdy1s2z3]

完璧で美しい。積分するだけだけど、問題を作る方も解く方も知恵の限りを尽くしている。それにしても定規で描いたような真っすぐな板書に感動。

[@884]

手計算での試験なので，極端に面倒なだけの計算にはならず，かつ計算力や思考力をちゃんと問えるような匙加減が必要です。 おっしゃる通り，よく練られた問題セットになっていると僕も感じます。

[@oi7054]

(3)の分母を半角にするとこでもはえーって感じだったけど最後tanの積分が消えるのすごい面白い

[@884]

②がピッタリ消えてくれるの，面白いですよね〜

[@scarlett1195]

(c)は分母分子に1-cosx をかけちゃいそうですが、半角の公式使うのは面白いですね！

[@884]

今回の積分の場合，分子にすでに x + sinx があるので，これ以上複雑な形にしないように，半角の公式を使いました！

[@きょーじゅ-z5o]

(3)はtan(x/2)=tとした置換積分を実行しましたが x=2arctantとしなければならずかなりの力技で解くハメになりました…… 動画内での鮮やかな解放に感動しました

[@884]

(3) では三角関数や定数だけでなく x も入ってしまっているので，いつもの t = tan(x/2) の変数変換を使うとやや面倒かもしれませんね。 今回の解法は鮮やかで面白いですよね。でも飛躍的な思考が必要というわけではなく，案外辿り着きやすい変形なのでご紹介しました！

[@田中_田中]

(c)みたいなからくりで、計算できっこない積分が+と-で出てきて打ち消しあうっていう問題ありそう

[@884]

確かに，解析的に計算できない or かなり難しい積分をこのトリックで消せる問題があったら面白いですね！

[@chop_0916]

⑵は発散する積分だから変数変換で区間ずらすのは操作として怪しいのでのではなく，x=aの近傍を幅εで切り落として下から評価してε→0にした方が良いかと

[@884]

数列でも部分和をとり，和をとる項数 n を無限にするような操作をよくやりますが，それと似ていますね！

[@18.lattanataysanh14]

I don't know what you say but I know write is so cool from Laos

[@よし-r8t]

（３）は分子の微分が分母になっているので、簡単にできないかな・・・今考え中

[@884]

何か上手い工夫があるといいのですが，まだ見つかっていません。 （今回の動画で扱っている解法も，そこそこスマートだとは思いますが）

[@s.a.w.s.n.k.t.w.t.d.k.d.k.t.i]

現役高校生です。 質問なのですが、(c)の積分は積分区間に0が入ってしまっているので、分母分子に(1-cosx)をかけるという操作はしてはいけないのですか？ 1+cosxは0からπ/2の区間で0になることは無いですが、1-cosxはx=0で0をとってしまうので個人的に良くないのかなーと思うのですが、厳密にはどうなのでしょうか。 学校でこの被積分関数の不定積分を取り扱った時に、そのような操作を教師がしていたので気になりました。長文失礼しましたもし良ければ回答お願いしますm(_ _)m

[@eeeda997]

帝国大学って言われるとめちゃくちゃイケメンになるな

[@884]

わかる

[@gj8076]

帝大の入試は、今でいう院試に近い。敢えていえば、教養から学部への進学試験。

[@884]

当時と現在で学制が異なるので，学部教養レベルの解析の知識は帝國大學入試の出題範囲になっていたようですね。 その意味でも院試に近いといえます。

[@清水鷹斗]

馬鹿だから(3)は tanx/2っておいちゃうわ〜

[@884]

三角関数の有理関数的なものの積分は，tan(x/2) が活躍することが多いですね！

[@田中_田中]

xが入ってますから、それだけではうまくいきませんね。

[@884]

@@田中_田中 今回の問題については，おっしゃる通り三角関数以外のものが入っているので，tan(x/2) を用いた変数変換のみだと積分を実行できませんね。

[@mohammadroshani936]

I used your content.thanks

[@sw-oy6eu]

(c)の3行目、x*(tan(x/2))'+(x)'*tan(x/2)=(x*tan(x/2))'でまとめるのもありですね

[@884]

おー，確かにその通りですね！ 結果を踏まえると当たり前ですが，解いている最中にこれに気づけると気持ちが良さそうです。

[@domain5873]

この頃の化学の問題は今よりもずっと簡単だったけど、数学はそうでもないのね

[@884]

今回の (c) なんかは，国公立大学の入試問題で出題されてもおかしくないレベルですね。 全体的には戦前の入試問題の方が簡単なのですが，現代の入試問題レベルのものも一部あります。

[@ikepon-kg6fy]

bって昔は高校の範囲だったんか

[@884]

現在とは学制が異なり，大学教養レベルの解析も試験範囲になっていたようです。