【東北帝國大學】単項式 × 三角関数の積分【戦前入試問題】

[@884]

【東京帝國大學の入試数学が書籍になりました】 東京帝國大學の入試問題 100 題と林のオリジナル解説をまとめた書籍が出版されました！数学好きの方ならきっと楽しめると思います。ぜひお読みください。 “100年前の東大入試数学 ディープすぎる難問・奇問100” amzn.to/3d39zgN

[@KH-ul3hy]

働き始めると、数学に関わることが少なくなったけど、こういうの見て思い出せたり趣味で見れるから良い

[@884]

ご視聴ありがとうございます！ この帝國大學入学試験シリーズは，普段の入試問題よりもややおおらかに，内容を楽しむつもりで解説しております♪

[@ひとつばしよしのぶ]

第二種不完全ガンマ関数。 この動画に出会えていなかったら、たぶん一生知ることはなかったと思います。 数学は、ほんと奥深いですね。

[@884]

x^n sinx の不定積分からこんなものが出てくるなんて，ほんと不思議ですよね〜

[@shinnosuke272]

数十年前、大学の教養課程で習った数学の復習みたいに楽しませていただいております。 帝大入試シリーズは、数Ⅲの知識で解けるものと、大学の教養課程レベルの知識が必要なものがあるようですが、現在の入試でも使えそうな問題が多そうですね。 私の祖父あたりが若かったころ、高校から大学に入学するときに、こんな問題解いていたのかと思いました。

[@884]

今回のような積分はストレートに大学受験の役に立ちますよね。 逆三角関数や Taylor の定理あたり（現在は大学で習う範囲）の問題も紹介しており，それらは内容的に直接役に立つことはないかもしれませんが，問題解決のための思考法という意味では，なんだかんだどの問題も役に立つと思っています。（自己擁護）

[@aaabbbcccddd777]

いつも見ています。非常に洗練されていますね。いつもながら。おしえるという知的創造をしている。🤗👏👏👏👏👏

[@884]

ありがとうございます✨

[@884]

こんばんは！いつもご視聴ありがとうございます。 今回は，x^4 sinx の不定積分を求める問題。部分積分を繰り返して攻略していきます。 一般化して x^n sinx の不定積分を考えても，高校数学の範囲では綺麗に一般項を表示できないようです。 発展的な話題として第二種不完全 Gamma 関数についてご紹介しました。興味のある人はこの関数の性質やこれを用いた一般項の計算について調べてみてください！

[@haruharu949]

三角関数は微分しても三角関数だから部分積分を繰り返してx^4の次数を下げるという素直な発想で解けますね。 さらに瞬間部分積分（部分積分の簡易表示）を利用すれば30秒かからないで解けるのでおおらかな時代だなぁ、と。 16:38 ちなみにその瞬間部分積分の過程を見ると、綺麗かどうかは微妙ですが、一般項も高校数学の範囲内で予想できます。証明はべたに数学的帰納法でしょうか。 [1] n = 2m（m≧1）のとき、 　I_(2m) = cos(x)*Σ_{k=0}^m {(-1)^(m-k+1)*2mP(2m-2k)*x^2k} + sin(x)*Σ_{k=1}^m {(-1)^(m-k)*2mP(2m-2k+1)*x^(2k-1)} + const. [2] n = 2m - 1（m≧1）のとき、 　I_(2m-1) = cos(x)*Σ_{k=1}^m {(-1)^(m-k+1)*(2m-1)P(2m-2k)*x^(2k-1)} + sin(x)*Σ_{k=0}^(m-1) {(-1)^(m-k+1)*(2m-1)P(2m-2k-1)*x^2k} + const. 　なお、nPrは順列で、nP0 ≡ 1とします。

[@SolingTube]

xsin^4xの積分についても考えたくなった🤔

[@usmasuda]

22:52 xのべき乗で整理してから最後に三角関数に変換した方が簡単ではないでしょうか？

[@884]

確かにそうですね！ exp(ix) + exp(-ix) とか exp(ix) - exp(-ix) ばかりですもんね。

[@黒フレ]

瞬間部分積分したら、手間一気に省けるけど、大正13年にその方法があったかは少し疑問

[@884]

今よりは各種受験テクニックが乏しいために，これくらいの問題でも十分大変だったのかもしれませんね。

[@田舎の爺さん]

爺は、３通りの方法で積分しました。(1) 普通に部分積分する。(2) x^4 e^(ix) を積分して、虚部を解とする。　　(3) いま、流行りの　瞬間部分積分で、(1)の解の正否を確認する。　ここでは、(1)のみ掲載します、　　　　　　(1) ∫ x^4sin x dx =-x^4cos x + ∫ 4x^3cos x dx = ……………= -(x^4-12x^2+24)cos x. + (4x^3-24x )sin x + C. を解とします。

[@らん-f5d]

大正時代の積分にしては難しいなぁ

[@884]

手間がかかるので大変ですよね💦

[@全自動卵割り機-n3k]

名前だけ聞いたことのある瞬間部分積分ですが、本番で使うと減点が少し怖いって言うことがデメリットなんですかね

[@884]

問題次第なところはあると思います。 例えば今回の場合，不定積分の計算自体が問題になっているので，瞬間部分積分で突如答えを書くと減点されてしまうかもしれませんね。 でも，複雑な図形の面積や体積を求める過程で瞬間部分積分を行うのは，減点されないような気がします。 ※全て僕の主観なのでご注意ください。

[@万年筆ユーザー]

未熟者で申し訳ないのですが、自然数全体の集合としているNの右下にある0のようなものはどういう意味でしょうか

[@884]

0 を含む自然数全体のことです！ ※なお，単に \mathbb{N} とすると自然数全体の集合になりますが，自然数は文脈により 0 を含んだり含まなかったりするので，紛らわしさ回避のために添字として 0 をつけています。

[@abcdefghikk2639]

俺だったら瞬間部分積分するなぁ

[@884]

瞬間部分積分は，名前がつくだけあってかなり便利ですよね。