А.7.35 Собственные вектора и собственные значения матрицы

Рет қаралды 6,178

Күн бұрын

#dudvstud #математиканапальцах #войтивайти
Телеграм: t.me/dudvstud
Плейлисты, литература, помощь проекту и прочее: dudvstud.wixsi...
Станьте спонсором канала, и вы получите доступ к эксклюзивным бонусам. Подробнее:
/ @dudvstud9081
Урок подготовлен при поддержке меценатов Evgeny Zychkov и PROFESSIONAL!
Вступаем в новую эру знаний! Вводим понятие собственных векторов и собственных значений матрицы. Это открывает нам большие возможности, с которыми познакомимся на следующих уроках.

Пікірлер: 48

@ИванЕвдокимов-л6ь 3 жыл бұрын

Продолжайте записывать ролики! Вы классно объясняете)

@dudvstud9081 3 жыл бұрын

Спасибо! Пока продолжаю, но скоро пойду в отпуск. Отдельно потом расскажу про это в ролике :)

@anzarsh 10 ай бұрын

32:24 то что становится равным нулю согласен, но не то что каждый из векторов образующих параллелепипед. В ноль превратится только один из них. Разве нет? Ведь лямбда для каждого вектора должна быть разной и они не равны друг другу.

@dudvstud9081 10 ай бұрын

Так речь не про то, что они все одновременно обратятся в 0. Речь про то, что обращение каждого из них в 0 является решением уравнения и соответствует одному из лямбд.

@user-xt5zi7de3u 2 жыл бұрын

Вы большой молодец. Продолжайте дальше. Очень интересно.

@dudvstud9081 2 жыл бұрын

Спасибо!

@СергейЧёрный-л7ш 2 жыл бұрын

Несколько дней слёз и страданий, и я разжевал наконец-то для себя эту тему максимально понятно. Сижу вот думаю, это я сильно туповат, что ушло дня 3 по часов 6 только на эту тему, или тема сама сложная) Сейчас, уже после 3-дневной боли выглядит всё как-то очень просто и понятно и логично, вот поэтому даже не знаю что думать про себя и про тему)) Но я осилил, слава богам)

@dudvstud9081 2 жыл бұрын

Ура, поздравляю! Мне эта тема тоже не сразу сдалась :))

@Семён-т9с7т 8 ай бұрын

красавчик!

@anzarsh 10 ай бұрын

14:07 кажется что если сделать сдвиг, то мы уже не сможем найти n линейно-независимых собственных векторов, т.к. сдвиг сменит направление вектора и получается что остаются только поворот и масштабирование, если это так, то матрица V является матрицей поворота.

@anzarsh 10 ай бұрын

хотя нет, матрицей поворота она не обязана быть, т.к. их там 2, но можно собрать собственные вектора такие чтобы они образовывали матрицу поворота)

@dudvstud9081 10 ай бұрын

Я не до конца понял Ваши рассуждения, к сожалению. Матрица собственных векторов V может быть матрицей поворота, если матрица А - симметричная в ортогональном пространстве. В таком случае ее собственные вектора ортогональны. А матрица V связывает два ортогональных пространства.@@anzarsh

@anzarsh 10 ай бұрын

@@dudvstud9081 да я и сам немного запутался, я хотел сказать что при разложении матрицы A на поворот, масштаб и сдвиг там будет только масштаб и поворота (без сдвига), т.к. сдвиг меняет направление вектора и не получится найти n линейно независимых собственных векторов.

@eralashly 8 ай бұрын

Спасибо большое! Я аж словил кайф оттого, что есть возможность увидеть прикладной смысл, например, при исследовании напряжённого состояния в точке через тензор напряжений (симметричная матрица 3*3). 3 собственных числа этой матрицы - главные напряжения, а три собственных вектора (каждый из которых состоит из трех направляющих косинусов) являются ортогональными нормалями (ввиду обязательной симметричности тензора напряжения в силу закона парности касательных напряжения), задающими положение трех главных площадок. Так вот сумма квадратов направляющих косинусов всегда равна единице, а значит и длина вектора, содержащего направляющие косинусы должна быть равна единице, а значит собственные векторы в таком случае - ортонормированный базис. P. S. Это я что-то увлекся и меня понесло, извините)

@dudvstud9081 7 ай бұрын

Спасибо за отзыв! :)

@applepixlife9286 6 ай бұрын

13:59 верно ли я понимаю,что в нашей матрице V-1 нам нужно базисы произвольного вектора C(к примеру) ,представить в виде базисов en? Учитывая определение матрицы в целом.

@dudvstud9081 5 ай бұрын

Не совсем понял, что Вы подразумеваете под базисами произвольного вектора. Если рассматривать базис собственных векторов матрицы V, то в этом базисе компоненты любого вектора будут умножаться на собственные значения матрицы (при умножении вектора на матрицу), то есть, матрица будет диагональной.

@applepixlife9286 5 ай бұрын

@@dudvstud9081 да,я имею ввиду,что нам же наш вектор надо как-то представить в новом базисе и мы это делаем с помощью матрицы,а насколько я понимаю,в нашей матрицы мы должны сначала представить базисы нашего вектора в новых базисах,которые как раз таки являются собственными векторами матрицы. Немного тавтология,но надеюсь суть вопроса мне удалось прояснить

@dudvstud9081 5 ай бұрын

@@applepixlife9286 Чтобы представить вектор а новом базисе, сы его умножаем на матрицу перехода, которая составлена из собственных. векторов (они и есть новый базис). Затем мы вектора умножаем на на диагональную матрицу, составленную из собственных значений, а затем на матрицу перехода обратно в изначальный базис.

@pavelpetkun5269 3 жыл бұрын

Спасибо огромное! Очень четкое объяснение и донесение интуиции, что помогает закрепить знания в математике и заполнить пробелы, где они есть. Вопрос по следствию номер 1: верно ли, что среди собственных векторов теоретически может быть такое, что при каких-то a_i = 0 линейная комбинация оставшихся собств. векторов может оказаться равной 0? Т.к. в следствии сказано "a_i#0 для любого i", а не "существует хотя бы одно i, для которого a_i # 0".

@dudvstud9081 3 жыл бұрын

Хм, наверное, "существует хотя-бы одно", было бы правильнее. Но сути это не меняет: ни один собственный вектор не может быть выражен через линейную комбинацию остальных.

@pavelpetkun5269 3 жыл бұрын

@@dudvstud9081 понял, спасибо!

@anzarsh 10 ай бұрын

12:25 правильно понимаю что не у всех матриц можно найти n линейно-независимых собственных векторов?

@dudvstud9081 10 ай бұрын

Да, все правильно! Только у невырожденных

@ЯнШульгин-э7м Жыл бұрын

5:08 Для линейной зависимости нужно неравенство нулю хотя бы одного коэффициента в линейной комбинации, а не всех сразу

@dudvstud9081 Жыл бұрын

Да, верно :)

@anzarsh 10 ай бұрын

34:32 а как найти самое первое лямбда, чтобы составить характеристический полином?

@anzarsh 10 ай бұрын

Затупил 🤦‍♂ лямбда это и есть же неизвестное)

@dudvstud9081 10 ай бұрын

@@anzarsh :))

@HOOKAH10 3 жыл бұрын

Супер!

@dudvstud9081 3 жыл бұрын

Спасибо

@KateKvitKateKvit 2 жыл бұрын

Большое спасибо!

@dudvstud9081 2 жыл бұрын

И Вам спасибо за отзыв! :)

@4u4beck Жыл бұрын

Очень круто, спасибо большое

@dudvstud9081 Жыл бұрын

Спасибо за комментарий! 🙏

@HOOKAH10 2 жыл бұрын

« минута 1:40 - цитата « нормальный человеческий вектор 😂😂 .. здорово 😁

@applepixlife9286 6 ай бұрын

26:58 будет ли более корректно сказать,что Ax - лямбдаX = нулевому вектору?

@dudvstud9081 5 ай бұрын

Да

@АндрейКосарев-ъ6ц Жыл бұрын

Тут это вроде бы не важно, НО если я не дурак, то V матрица с точностью наоборот. V - это матрица перехода из начального базиса, в котором выражены наши вектора e, в базис с. в. e. Соответственно V переводит в базис с.в., а V-1 в начальный базис. Сути не меняет, но я просто погуглил, чтобы не ошибиться. Скажите, если не прав.

@dudvstud9081 Жыл бұрын

Мне вот кажется, что наоборот все-таки. В матрице V в столбцах стоят собственные вектора. Значит она должна способствовать переходу ИЗ базиса собственных векторов. А где Вы нагуляли, что матрица V переводит вектора в базис собственных векторов?