Abschnittsweise definierte Funktionen | Treppenfunktion | Sprungfunktion | hybride Funktion

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In der Mathematik ist eine abschnittsweise definierte Funktion (auch stückweise Funktion, hybride Funktion) eine Funktion, die durch mehrere Unterfunktionen definiert ist. Wobei jede Unterfunktion auf ein bestimmtes Intervall des Bereichs der Hauptfunktion, einen Unterbereich, angewendet wird. Die abschnittsweise definierte Funktion ist eigentlich eher eine Möglichkeit, die Funktion auszudrücken, als ein Merkmal der Funktion selbst. Aber mit zusätzlicher Qualifikation kann sie die Natur der Funktion beschreiben. Zum Beispiel ist eine stückweise Polynomfunktion eine Funktion, die ein Polynom auf jeder ihrer Unterdomänen ist, aber möglicherweise auf jeder ein anderes Polynom.
Das Wort abschnittsweise wird auch verwendet, um jede Eigenschaft einer stückweise definierten Funktion zu beschreiben. Die für jedes Stück, aber nicht notwendigerweise für die gesamte Domäne der Funktion gilt. Eine Funktion ist stückweise differenzierbar oder stückweise kontinuierlich differenzierbar, wenn jeder Abschnitt in seiner gesamten Subdomäne differenzierbar ist. Auch wenn die gesamte Funktion an den Punkten zwischen den Abschnitten nicht differenzierbar ist. In der konvexen Analyse kann bei abschnittsweisen Funktionen der Begriff der Ableitung durch den des Subderivats ersetzt werden. Obwohl die "Stücke" in einer stückweisen Definition nicht Intervalle sein müssen, wird eine Funktion nicht als "abschnittsweise linear" oder "stückweise kontinuierlich" oder "stückweise differenzierbar" bezeichnet, es sei denn, die Stücke sind Intervalle.
Die Treppenfunktionen sind sowohl den einfachen Funktionen als auch den Sprungfunktionen sehr ähnlich, sollten aber nicht mit diesen verwechselt werden. So nehmen beispielsweise einfache Funktionen auch nur endlich viele Werte an, können aber trotzdem viel komplexer sein, da sie nicht über Intervalle auf dem Grundraum definiert werden, sondern über messbare Mengen. So ist beispielsweise die Dirichlet-Funktion eine einfache Funktion, aber keine Treppenfunktion im hier genannten Sinne, da sie über abzählbar viele Sprungstellen hat und in keinem noch so kleinen Intervall konstant ist. Außerdem werden einfache Funktionen auf beliebigen Messräumen definiert, wohingegen Treppenfunktionen bloß auf R definiert werden. Allerdings ist jede Treppenfunktion auch immer eine einfache Funktion.
Die Sprungfunktionen sind wie die Treppenfunktionen auch auf den reellen Zahlen definiert. Allerdings sind sie immer monoton wachsend, können aber auch abzählbar viele Sprungstellen haben.
Eine Treppenfunktion ist in der Mathematik eine spezielle reelle Funktion, die nur endlich viele Funktionswerte annimmt und stückweise konstant ist. Dadurch erhält der Funktionsgraph einer Treppenfunktion sein charakteristisches und namensgebendes Aussehen, das einer auf- und absteigenden Treppe ähnelt.
Mathematik Nachhilfe in Villach

[@Людмила-э3в]

Alles verständlich erklärt! TOP!

[@lernflix]

Danke für dein Feedback. Freut mich, dass ich helfen konnte. LG lernflix 😄 Danke für dein ABO

[@moonlight042]

so gut erklärt - und fast das gleiche beispiel wie in meinem buch richtig super

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[@alexanderfoot4584]

Herrvorragend erklärt! Besten dank.

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Hallo Alexander. Danke für dein nettes Feedback. Freut mich, dass ich dir helfen konnte. Danke auch für dein ABO und dass du allen vom lernflix-Kanal erzählst. LG lernflix

[@henrispiess8768]

Danke Bruder endlich verstanden

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Bitte sehr gerne. LG lernflix

[@einfach_nurthomas9419]

Vielen vielen Dank jetzt versteh ich es endlich

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Hallo Thomas. Danke für deinen Kommentar. Freut mich sehr, dass ich dir helfen konnte und das Thema jetzt besser verstehst. Danke auch für dein ABO. LG lernflix

[@Schnitzel-my3kp]

danke, sehr gut erklärt👍

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[@khalilchristian1774]

instablaster.

[@Schnitzel-my3kp]

@@khalilchristian1774 ?

[@Zeynep-mv8ng]

Sie sind ein Held.

[@lernflix]

☺Aber nicht doch, aber trotzdem vielen Dank für dein Feedback. Freut mich, dass ich helfen konnte. Danke dir für dein ABO. LG lernflix 😆

[@allahsknabe]

Muss man praktisch dann nur die werte rechts einsetzten, einzeichnen und fertig?

[@lernflix]

Ja. Die Werte des Intervalls sind in die jeweilige Funktion einzusetzen und zu zeichnen. Danke auch für dein ABO. LG lernflix

[@TheBloodexX]

Sehr sehr gut!

[@lernflix]

Danke für dein Feedback. Freut mich sehr, dass ich dir helfen konnte. Danke auch für dein ABO. LG lernflix

[@Deido112]

Wenn die abschnittsweise definierte Funktion stetig ist, ist dann das Integral der Funktion auch immer stetig?

[@lernflix]

Hallo Deido. Danke für deine Frage. Jede auf einem Intervall stetige Funktion besitzt eine Stammfunktion. Somit ist auch jede Stammfunktion stetig. LG lernflix 😄

[@Deido112]

@@lernflix Vielen Dank!

[@trenks6430]

Sehr gut danke

[@hasanovic1221]

müssen die graphen beim zweiten nicht noch verbunden werden?

[@lernflix]

Hi Sebo. Danke für deine Frage. Nein, du darfst diese Linien nicht verbinden. Es handelt sich um Sprungfunktionen. Bei x=1 hast du nur einen Wert, wenn du die Linien verbinden würdest hättest du bei x=1 unendlich viele y Werte. Ok? LG lernflix

[@herbertklumpp2969]

Das ist dann eine Strecke zwischen x=3 und x=4

[@oge2260]

Darf man beim Ersten Beispiel die linke (minus(x)plus(y)) gar nicht vom Ursprung aus zeichnen

[@oge2260]

Sehr gutes Video. ich dachte nur weil kein kein kleiner größer als dasteht

[@lernflix]

@@oge2260 Danke für deine Frage. Natürlich kannst du die Funktion aus dem Ursprung heraus zeichnen. Je kleiner du den x-Wert wählst, desto kleiner wird ja auch y. Wenn du für x 0 wählst, hat auch y den Wert 0. OK? Danke auch für dein ABO. LG lernflix

[@manulo123]

Dankeeeee

[@lernflix]

Bitteeeeee, sehr gerne. Danke für dein ABO. LG lernflix 😁

[@raloroo1639]

👍🏻👍🏻

[@lernflix]

Danke für deinen Daumen. Schön, wenn ich dir helfen konnte. Freue mich natürlich auch über ein ABO von dir. LG lernflix

[@alial-hamdo1794]

Danke

[@lernflix]

Bitte, sehr gerne! Freut mich, dass ich dir helfen konnte. Würde mich natürlich auch sehr über ein ABO von dir freuen. LG lernflix