Action de groupe (2/6) : propriétés et exemples

[@elvispresley1479]

Je viens de passer le meilleur réveillon de ma vie en comprenant tout sur les actions de groupe ! Un immense merci d'être LE phare qui permet de me guider dans mes révisions !

[@jpr4747]

En plus de ça, on n'arrête pas de rigoler en suivant ces vidéos géniales...

[@eliavasouied2284]

Merci infiniment !!!!! Vos vidéos sont incroyables !!!!!!

[@AFares-wd4vx]

Bonjour, merci pour cette vidéo. C'est cool, ça m'a éclairé sur pas mal de choses obscures. Vous êtes top (mais vous le saviez déjà ;)). Juste une question, j'ai vu apparaître 6 vidéos concernant les actions de groupes à un moment, et là, elles ont disparu (je n'ai pu voir que les deux premières et encore en cherchant beaucoup parce que vous les avez passées en "non répertoriées"). Vous serait-il possible de rendre publiques les 6 vidéos à nouveau ou les repartager ? Je prépare l'agreg interne et vos explications sont beaucoup plus précieuses que bien des bouquins. Merci pour tout le travail que vous faîtes. C'est super.

[@MathsAdultes]

Elles seront publiées toutes les deux semaines, je prends toujours un peu d'avance et ça me permet de remercier ceux qui me soutiennent sur Tipeee de leur donner accès en avant-première. Ne vous inquiétez pas vous les retrouverez prochainement :-)

[@AFares-wd4vx]

@@MathsAdultes merci de votre réponse. J'attendrai. Je me suis inscrit comme tippeur pour soutenir le projet et pour vous remercier de votre super travail.

[@ultrafiltreultrafiltre1792]

Bonjour time 33:33 votre implication écrite en bleu dans l'encadré est même réciproque (on peut la remplacer par l'équivalence vu que de toute façon par définition pour toute action e.x =x )

[@ultrafiltreultrafiltre1792]

trois heures plus tard j'ai cru que non mais c'est ok (je voulais revoir la formule pour être certain, la nuit ne m'a pas porté conseil là du coup)

[@celinesimon2326]

Bonjour, j'aurais voulu savoir si cette série de vidéos sur les actions de groupes étaient nécessaires et/ou suffisants pour la leçon d'agrégation interne : "Utilisation de groupes en géométrie". Merci pour votre réponse.

[@MathsAdultes]

Je pense que le contenu est suffisant pour faire une bonne leçon sur ce sujet et c'est d'ailleurs la raison essentielle de la présence de ces vidéos sur la chaîne :-)

[@fabricesolaris4294]

Merci pour vos vidéos et bonnes fêtes de fin d'année. à 27:55 quand vous dîtes que la multiplication par g est aussi un automorphisme vous voulez dire l'action de translation ? Si G est un groupe multiplicatif, l'application f : G->G, x->gx avec (g un élément de G différent du neutre) alors f n'est pas un morphisme car f(xy)=gxy f(x)f(y)=gx gy. C'est bien cela ?

[@MathsAdultes]

vous avez parfaitement saisi !

[@vivientane3060]

Bonjour monsieur, merci pour la vidéo, j'ai une question. Est ce que pour une action d'un groupe G sur un ensemble fini X, transtivité => fidélité? S'il n'y a qu'une orbite, les stabilisateurs sont de cardinal 1, donc réduits au neutre car sous-groupe, puis ker(phi) est aussi réduit au neutre par intersection et phi est injectif, donc l'action est fidèle. Est-ce vrai ?

[@MathsAdultes]

Pourquoi les stabilisateurs seraient-ils réduit au neutre ? regarde l'action d'un groupe sur un singleton par exemple, elle va être transitive mais fidèle si ton groupe possède plusieurs éléments !

[@vivientane3060]

@@MathsAdultes ah oui j’ai confondu et j’ai cru que cardX = card(O)card(S) alors que c’est G pas X

[@ultrafiltreultrafiltre1792]

Bonjour times (corrigée) 31:03 quand vous dites que H est normal (i.e. distingué) vous voulez dire que H est normal dans N(H) H est un sous-groupe pas forcément normal dans G mais il sera normal dans N(H) quoi qu''il arrive De plus et si j'ai bien compris ce que j'ai vu sur wiki ces derniers jours , N(H) est le plus grand sous groupe de G dans lequel H est normal

[@Kalimat2023]

Merci pour ce cours. Dans les axiomes de la géométrie affine vous n'avez pas parlé de la relation de Chasles

[@ghesmiekountima4547]

Bonjour ! Excusez moi, il y a quelque chose que je ne comprends pas au niveau de l'exemple comment rsr=s ?

[@ultrafiltreultrafiltre1792]

Bonjour : time 25:20 juste à la ligne en dessous de la phrase "On peut faire agir G sur K^n" une écriture de l'action sur K^n serait avec des matrices colonne (à coefficients dans K) et non pas l'écriture : sigma . (x_1,...,x_n)=(...) Les éléments de K^n étant des vecteurs colonne sauf erreur pour l'écriture que vous donnez ici mais bon c'est un détail (c'est pas important)

[@MathsAdultes]

Pourquoi dites vous que les éléments de K^n sont des vecteurs colonnes ? un élément de R² se note bien (x,y) non ?

[@ultrafiltreultrafiltre1792]

@@MathsAdultes oui je me suis trompé les élément de K^n sont bien notés comme vous le faites ma notation est celle de la matrice (colonne) d'un vecteur dans une base (ici la base canonique) c'est à dire la matrice de l'application qui à (x_1,...,x_n) fait correspondre \sum _{i=1}^n x_i.e_i mon erreur vient que quand j'écris les coordonnées d'un vecteur dans une base j'écris directement la matrice de cette application

[@WahranRai]

30:05 Risque de confusion entre la notation de Ox orbite de x et la classe de conjugaison Ox

[@orsobianco1402]

Bonjour et grand merci pour toutes vos vidéos très pédagogiques. Une petite remarque à 25'14". "On fait agir le groupe G sur X par sig.x_k=x_sig(k)". Cette définition pose problème. En effet, si on veut que ça satisfasse à la définition d'action, il faut faire agir G sur X par sig.x_k=x_sig**-1(k). On aura bien alors (tau o sig) . x_k = tau ( sig.x_k) = x_sig**-1 o tau**-1(k) = x_(tau o sig)**-1(k). Merci beaucoup encore.

[@MathsAdultes]

Tout à fait, je me suis planté, bravo à vous pour cette vision attentive !!!

[@orsobianco1402]

@@MathsAdultes merci bien

[@jeannefaucher3069]

Fin de vidéo : En fait on peut comparer la fidélité et l transitivité avec l'ingectivite et la surgectivité ?

[@MathsAdultes]

oui oui

[@gabuzomeu3440]

Bonjour, merci infiniment pour vos vidéos, et cette série en particulier. J'aurais aimé un éclaircissement sur l'exemple de matrice à 26:20. Pour sigma =( 1 3 2 ), et pour x=(x_1;x_2;x_3), il me semble que (x_sigma(1);x_sigma(2);x_sigma(3))=(x_3;x_1; x_2) Par contre, le produit de la matrice indiquée [[0 1 0][0 0 1][1 0 0]] par [[ x_1][x_2][x_3]] devrait donner [[x_2][x_3][x_1]] i.e. (x_2;x_3;x_1). Est ce qu'il ne faudrait par définir l'action par (x_sigma^{-1}(1);x_sigma^{-1}(2);x_sigma^{-1}(3))=(x_2;x_3; x_1) ou changer la matrice. Désolé pour la longueur, merci!!!!

[@MathsAdultes]

vous avez raison désolé pour la faute de frappe

[@ultrafiltreultrafiltre1792]

Bonjour : minute 16:42 sauf erreur quand on parle d'action à droite d'un groupe G sur un ensemble E l'intérêt n'est il pas quand E n'est pas G et de voir cette action à droite définie par (x,g) -> x.g comme une anti-action issue de la correspondance avec un morphisme de G dans l'opposé du groupe symétrique de E c'est à dire un antimorphisme de G dans le groupe symétrique de E De manière analogue que l'on a fait correspondre un morphisme de G dans le groupe symétrique de E à une action de groupe à gauche définie par (g,x)-> g.x Bien que ici vous parlez de l'inutilité de considérer les actions à droites d'un groupe sur lui-même pour voir des choses sur ce groupe on a l'impression que tout a été dit sur les actions à droite et qu'on en conclus donc qu'elles sont inutiles

[@eikichigrimbert7327]

Attention l’action sur K^n décrite à 25:21 n’est pas une action de groupe. Pour tout vecteur x de K^n et pour toutes permutations s et t, on a s.(t.x)=ts.x

[@MathsAdultes]

Je ne comprends pas pourquoi vous dites ça ?

[@eikichigrimbert7327]

@@MathsAdultes Cela est un peu complexe à démontrer en commentaire mais on peut facilement trouver un contre-exemple pour montrer que s.(t.x) est différent de st.x en général. Si on se place dans K^3 et prenons par exemple les transpositions s=(1 3) et t=(2 3). On a alors st = (3 2 1). Ainsi, en posant x=(x_1,x_2,x_3), on a (st).x=(x_3,x_1,x_2). Calculons maintenant s.(t.x). Pour calculer t.x on échange les valeurs des deuxième et troisième coordonnées, on obtient alors (x_1,x_3,x_2), puis pour calculer s.(t.x) on échange maintenant les valeurs des première et troisième coordonnées de t.x, ce qui donne (x_2,x_3,x_1), qui est donc différent de (st).x.

[@eikichigrimbert7327]

@@MathsAdultes je vais essayer de vous le démontrer dans ce commentaire : Soient x un vecteur de K^n et k dans {1,...,n}. Intéressons-nous à la k-ième coordonnée quand on fait agir s sur t.x. Par l’action de s, la k-ième coordonnée de t.x va être remplacée par la s(k)-ième. Or, la s(k)-ième coordonnée de t.x est la t(s(k))-ième coordonnée de x. On a finalement bien s.(t.x) = ts.x.

[@MathsAdultes]

vous avez raison, c'est en fait une action à droite, ça ne change pas le résultat final mais ça fait tâche ! Bravo à vous pour ce visionnage attentif !

[@ultrafiltreultrafiltre1792]

Bonjour à 12:49 votre démo est simple et efficace mais j'ai été obligé de m'y prendre autrement pour démontrer cela (sauf erreur mais là je n'ai pas le choix ceci dit si vous avez le temps de me dire si elle ne convient pas merci ) je m'y prend donc ainsi : Je donne la définition d'une action d'un groupe (G,*) sur un ensemble E (et ici cet ensemble sera ce groupe) donc là en disant qu'il s'agit d'une loi de composition externe à gauche sur E et de domaine G selon GxE->E,(g,x)|->g.x puis je donne la définition d'une translation à droite en disant que c'est une application notée fd qui pour un g fixé dans G que je note fd:G->G, x|->x*g et je conclus que si G agit sur lui même par translation à droite je me retrouve avec g.x=g*x= fd(g)(x)=x*g ce qui est faux si G n'est pas commutatif

[@MathsAdultes]

Je ne comprends pas bien votre égalité g.x=g*x

[@ultrafiltreultrafiltre1792]

@@MathsAdultes cette égalité à cause que G agit (donc à gauche) sur lui même