[UT#76] Une introduction animée à la théorie des groupes !

Dans cette émission, je propose une introduction animée à la théorie des groupes. Au plus loin des approches consistant à enchaîner les définitions abstraites, je présente une dizaine d'exemples très visuels qui possèdent tous un point commun: il se cache, dans l'ombre de ces exemples, une structure mathématique… cette structure, tu l'auras deviné, porte le nom de « groupe ».
Je note enfin, chose exceptionnelle, que c'est l'une des plus belles émissions que j'ai réalisées depuis les débuts de la chaîne. Si tu apprécies mon travail et que tu es dans le doute, je te recommande chaleureusement de la regarder 😉!
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🕒 Repères temporels:
0:00 - Introduction
0:30 - Exemple #1 - Groupe cyclique d'ordre 2
2:30 - Exemple #2 - Un produit cartésien
5:55 - Exemple #3 - Un groupe infini…
8:34 - Retour à la question de Jade
9:58 - Exemple #4 - Groupes de permutations
16:25 - La curieuse question d'Agathe
18:14 - Exemple #5 - Z²
18:56 - Exemple #6 - Groupe libre à deux générateurs
21:42 - Définition - Qu'est-ce qu'un groupe ?
23:32 - La remarque essentielle de Marcel
24:25 - Outro
✍🏻 Erratum:
À 14:53, j'ai réalisé une petite coquille sur l'animation. En voici ci-après une explication détaillée.
🔹Je dis σ(2)σ(1)σ(2), et c'est bel et bien ce que j'aurais dû animer, dans la mesure où je souhaite « montrer » que σ(1)σ(2)σ(1) * σ(2)σ(1)σ(2) correspond à « ne rien faire ».
🔹En l'occurrence, j'ai animé une nouvelle fois σ(1)σ(2)σ(1), et l'erreur se situe là ! Le plus intéressant, c'est ce qui a causé la non détection de l'erreur: en fait, σ(1)σ(2)σ(1) * σ(1)σ(2)σ(1) correspond aussi à « ne rien faire » ! Cela dit, cette relation est redondante avec le fait que les σ(i)² correspondant à « ne rien faire », raison pour laquelle elle ne figure pas dans ce que j'ai appelé « les relations fondamentales » dans ma petite histoire…
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✒️ Notions abordées: groupe, groupe cyclique, groupe quotient, produit cartésien, groupe de Klein, réflexion, symétrie, translation, loi de composition interne, élément neutre, groupe de rotations, groupe de permutations, groupe diédral, sous-groupe, groupe commutatif, loi associative, isomorphisme de groupes, présentation d'un groupe par générateurs et relations, groupe libre, graphe de Cayley, action de groupe fidèle, méthodologie de travail du cours, Lux in Tenebris.
🌞 Bonne écoute !
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[@thomasgiamberini5957]

Tout d'abord j'aimerai vous souhaiter un joyeux Noel! Il me semble que à 14:53 il y a un petite erreur de cohérence entre l'animation et les explications... En tout cas tes vidéos sont incroyables Oljen. Continue comme ça!

[@oljenmaths]

Merci beaucoup pour les vœux et pour la remarque ! J'épingle le commentaire avec une explication instructive sur la coquille ci-après. 🔹Je dis σ(2)σ(1)σ(2), et c'est bel et bien ce que j'aurais dû animer, dans la mesure où je souhaite « montrer » que σ(1)σ(2)σ(1) * σ(2)σ(1)σ(2) correspond à « ne rien faire ». 🔹En l'occurrence, j'ai animé une nouvelle fois σ(1)σ(2)σ(1), et l'erreur se situe là ! Le plus intéressant, c'est ce qui a causé la non détection de l'erreur: en fait, σ(1)σ(2)σ(1) * σ(1)σ(2)σ(1) correspond aussi à « ne rien faire » ! Cela dit, cette relation est redondante avec le fait que les σ(i)² correspondant à « ne rien faire », raison pour laquelle elle ne figure pas dans ce que j'ai appelé « les relations fondamentales » dans ma petite histoire… J'espère que ce sera la seule coquille détectée 🤞🏻😇!

[@karimtouis5215]

Je suis prof, sache que tu as énormément de mérite, tu fais un travail remarquable.... comment se fait-il que le niveau des français baissent autant avec des prof de ton calibre. Bref, je te souhaite que du bonheur, tu ne peux être qu'une belle personne. Bonne chance.

[@oljenmaths]

Merci infiniment pour ce message qui fait chaud au cœur, Karim 🙏🏻😁!

[@loicgeeraerts]

Parce que des enseignants comme lui sont très rare dans le système Francais oú le classicisme règne en maître. D'où l'expression "cours à la Française" pour désigner un cours magistral dont le déroulement consiste à présenter la théorie sans changer de représentation sémiotique puis de montrer éventuellement des exemples dans le meilleur des cas. Ensuite, tu galères enTP en essayant de faire les liens avec le cours. Chez les anglo-saxons, c'est l'inverse, ils présentent d'abord les exemples fondamentaux puis la théorie, qui du coup, a beaucoup plus de sens pour les étudiants. Enfin, si on ajoute le fait de changer de représentation, comme cela a été fait ici, c'est parfait. Encore bravo Olivier pour votre travail ! (que je finance modestement)

[@oljenmaths]

Merci beaucoup pour vos messages chaleureux@@loicgeeraerts, et merci infiniment pour le soutien continu depuis bien des mois déjà, cela me touche beaucoup 🙏🏻!

[@arthurletrehumain]

Je confirme, c'est l'une des plus belles émissions de cette chaîne

[@oljenmaths]

Merci Arthur 🥳!

[@smartcircles1988]

Joyeux Noël Oljen, je tiens tout d'abord à te remercier parceque ta chaîne KZbin prend une nouvelle direction ces temps-ci et saches que j'apprécie beaucoup les émissions que tu publies depuis quelques temps, merci pour les sujets passionnants que tu abordes, c'est toujours très intéressant, j'attends toujours impatiemment tes notifications depuis que je t'ai découvert, j'apprécie aussi fortement lorsque tu sors des sentiers battus en proposant du contenu différents de ce que j'appellerais "Les Maths classiques" et ensuite, j'aimerais aussi t'écrire que la théorie des groupes est un sujet que ton publique attendait depuis bien longtemps et moi aussi, merci Oljen, d'ailleurs à l'avenir n'hésites surtout pas à parler de Mathématiques de haut vol, tes sujets de recherches, sous le format que tu avais déjà publié, i.e les longues vidéos de plus d'une heure en +5 et enfin voilà que ce pavé prends fin.

[@claverassanvo8495]

👏👏👏🙏👍💯 Grand Bravo 👏 Le cours de mathématique le plus ➕️ profond et le plus systémique qu'il m'a été donné d'assisté. Votre thèse vous a permis d'approfondir la notion d'ensemble. [-+×÷] peuvent être appliqués à un ensemble; à condition de refaire la même chose [+-÷×] ;pour revenir à l'état initial. Exemple pour illustrer que j'ai compris:pour A un ensemble: Si on fait [A-2] et après[A+2];On revient à A. Un ensemble est invariant s'il subit des transformations opposés et réversibles entre griffes 🙏🙏👍💯➕️💯❤❤❤🎉🎉🎉

[@Rabdalzak]

je fais également des vidéos youtube de maths, et je suis vraiment bluffé de la qualité de vos vidéos et de la pédagogie mise en oeuvre ! bravo à vous !

[@kamelchalabi6808]

Excellent cours sur les groupes qui touche un public vraiment large

[@ArmandGiauffret-oq8iu]

C'est magnifique !

[@fredericbouvet3346]

Bonjour. Belle présentation. Merci. Cette histoire de groupe me rappelle celle d'un grand mathématicien !français Mr Poincaré avec son groupe modulaire et les dessins de Escher qui sont très esthétiques et d'une beauté magnifique. Belle fin d'année.

[@michelbernard9092]

Joyeux Noël à tous, et bons succès à la chaine de Marcel. Il est exact que la théorie des groupes a été autant fertile en maths qu'en physique, c'est une théorie magnifique.

[@Ayman-sc3fk]

23:23 PAR PITIE DIGRESSE PENDANT ENCORE 2H STV C'EST TROP PASSIONNANT !!!

[@martinnobar1998]

Joyeux Noël et merci !

[@observing7312]

J'en veux plus! J'ai toujours été fasciné par là théorie des groupes...

[@jazzsoul69]

Cette vidéo parle de groupes au sens très large du terme 😏 je trouve cette branche des maths de + en + fascinante

[@jeanlouis97240]

J'aurais tellement voulu avoir cette vidéo quand j'ai abordé cette notion en sup... C'est toujours aussi bien !

[@manwork6545]

joyeux noel marcel! merci pour vos exposés mathématiques. tout est clair, limpide comme du cristal. n'hésitez pas à approfondir les sujets, je pense que les gens ne manqueront pas de vous suivre.

[@oljenmaths]

Merci pour ce message chaleureux 😇!

[@toutankill]

UNE AMPOULE !!! Excellente video merci, j'avais fait mon "memoire" de fin de licence de maths sur la theorie de Galois, que j'ai agréablement decouverte à l’époque, aussi ce genre de contenu me ravi ❤

[@picpuspicpuspicpus8142]

Excellent comme toujours !!

[@gwendalperes8703]

Merci à vous C'est simplement merveilleux. J'aime les maths comme ça 🙂 (Je suis un ex-taupin)

[@oljenmaths]

Merci beaucoup pour ce message très chaleureux 🙏🏻 !

[@Giraud-Laignel-hy9hb]

Vidéo remarquable. Bravo pour ce travail !

[@bamakoO]

Ca me rappelle la prépa, un plaisir

[@maths.france]

Bonjour, Je vous remercie pour cette vidéo, elle est excellente ! J'aurais aimé en voir plus à propos du groupe des Maléfices ... Merci encore !

[@atha5469]

Puissant

[@PafLeRenard]

Toujours aussi merveilleusement bien expliqué ! Génial ! Merci et joyeux Noël (avec un peu de retard)

[@oljenmaths]

Au plaisir, merci beaucoup 😄!!

[@SefJen]

Cette vidéo est tout bonnement géniale ! Moi qui cherchais un angle d'attaque pour expliquer aux débutants ce qu'est un groupe, je crois que je vais te piquer ton plan ^^ Vraiment beau travail ! Joyeux Noël en retard et joyeuses fêtes de fin d'année.

[@oljenmaths]

Merci, joyeux Noël et bonne année 🥳!

[@ericjanbon3237]

Cela commence à devenir très intéressant cette chaîne, on se rapproche du programme de l’agrégation interne ! Merci beaucoup et joyeuses fêtes !!🎉

[@oljenmaths]

Au plaisir 😄! Je ne sais pas dans quelle le mesure le niveau va suivre une pente ascendante à l'avenir, mais je suis sûr qu'à long terme, j'aimerais traiter tout le supérieur jusqu'à l'agrégation. Ma problématique actuelle, c'est de trouver le temps d'accomplir tout cela. En l'occurrence, sur cette vidéo, j'ai passé à peu près 30h de travail pour présenter une définition 🤣. Joyeuses fêtes de même 🙏🏻!

[@ericjanbon3237]

@@oljenmathsJe suis bien conscient du temps que cela doit te prendre quand je vois le temps que je mets pour préparer un dev de 15 minutes en video. J’ai découvert ta chaîne, il y a quelques jours et je peux te dire que les vidéos d’analyse (les premières vidéos que j’ai écoutées) sont du pur nectar pour comprendre pourquoi on fait appel ou on introduit telle notion ou tel concept… Vas à ton rythme et encore un grand merci pour ce partage plus qu’instructif 😉

[@loicgeeraerts]

Pourquoi dites-vous que cette chaine "commence à devenir très intéressante"? Ne l'a-t-elle pas été depuis le début?

[@ericjanbon3237]

@@loicgeeraerts Ahah, tu as parfaitement raison Loïc sinon je ne l'aurais pas mise n favori. J'ai usé de l'adverbe "très" pour appuyer le fait que, pour un agrégatif, on commence à entrer dans un ouvert dense d'informations alors qu'au début, nous étions à la frontière. C'est cela le bonheur de cette chaîne, c'est que tout adepte de plaisirs mathématiques y trouve de quoi se ressourcer et cela va aller crescendo lorsque Olivier aura du temps pour aborder les méandres connexes du programme de l'agrégation :)

[@loicgeeraerts]

@@ericjanbon3237 Tant que l'espace du programme de l'agreg reste connexe tout va bien !

[@palicot]

Belle référence à Kaamelott... 😅 UNE AMPOOOOULE

[@oljenmaths]

Je suis très content qu'elle ait été repérée 😇! À ROULEEEEEETTTEEEES !!!

[@oscarlamelo]

Joyeux Noël Oljen, j'ai vu que tu avais enseigné aux Chartreux, dire que j'habite à croix rousse, ça me fait plaisir ! Merci pour cette vidéo, je n'ai rien de particulier à dire mais je met ce commentaire pour apporter mon poids dans l'algorithme KZbin aha !

[@oljenmaths]

Merci beaucoup Oscar, joyeux Noël de même ! Aha, peut-être nous sommes nous croisés quelque part sur les hauteurs de la Croix Rousse, qui sait ? Merci de faire poids sur l'algorithme 😁🙏🏻!

[@hardwork3199]

7:41 mdr , keep goign bro ❤

[@AllemandInstable]

la machine est lancée pour GS sur la thèse 🎉🥳

[@oljenmaths]

J'ai semé quelques graines dans cette direction, en effet 👨🏻‍🌾. Cela dit, le long format n'est pas pour encore… mais le petit, oui, pour bientôt 😇!

[@etistyle96]

La théorie des groupes c'est l'un des sujets qui m'a fait percevoir la noblesse des mathématiques. c'est marrant que tu finisses par la loi de composition interne. je pensais que tu commencerais la vidéo par ça. Est-ce que tu as prévu des vidéos sur les anneaux, magma et autres joyeusetés ?

[@oljenmaths]

Pour l'instant, je n'ai pas grand chose de prévu mis à part la sortie de la troisième formation, sur la stratégie pour l'épreuve écrite de mathématiques 😉. Pour la suite, je ne m'autorise pas encore à y penser pour l'instant, mais les possibilités sont en grand nombre, en très grand nombre 😇.

[@Pradowpradow]

Merci beaucoup pour la vidéo qui était très claire ! J'ai une question, quand on cherchait un groupe à 2 générateurs sans relation fondamentale sur ces générateurs, est-ce qu'on aurait pu se contenter de prendre deux Marcel chacun sur son axe X, avec comme générateurs la translation vers la droite ? J'ai l'impression que ça fonctionne mais je n'en suis pas certain

[@oljenmaths]

Au plaisir 😄! Non, ça ne fonctionne pas, mais c'est une très belle tentative ! La raison, c'est que tes déplacement commutent, et que c'est en fait une nouvelle copie de Z² que tu tiens là 😉.

[@kamilabbosalikassa4290]

trop cool Mr Olivier , superfetatoire🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣

[@oljenmaths]

Le mot a été lâché 😱!

[@hugoschmitter7331]

Bonjour ! tout d’abord bravo pour ce cours vulgarisé sur la théorie des groupes c’est génial ! Cela me fait penser aussi à une introduction aux groupes diedraux ai-je raison ?

[@oljenmaths]

Les groupes diédraux sont, en effet, un exemple de groupe, dont l'association d'idées me paraît fort raisonnable 😇.

[@ourybah9730]

Le groupe des permutation c’est un peu comme un rubik’s cube🤔🤔

[@alex595659]

c 'est dans les livres pour les maths pour infos et pourtant je ne les jamais vu

[@ISIDWorld5491]

merci , c'est comme les maths doit être étudiée

[@mehdielabdaoui1955]

Je n'ai pas compris le principe du groupe libre et ces histoires de réductions de taille. Pourquoi il y a un ensemble vide dans G9?

[@oljenmaths]

L'ensemble vide Ø qui apparaît après la barre verticale signifie que pour Marcel, « il n'y a essentiellement pas d'autre possibilité de revenir à l'état initial qu'en faisant demi-tour ». C'est un peu tarabiscoté, mais la notion de groupe libre définie abstraitement me paraît plus compliquée encore 😇.

[@mehdielabdaoui1955]

@@oljenmaths ah d'accord merci, après la notion de groupe libre est plutôt une notion très avancée de théorie des groupes, c'est niveau M1 minimum.

[@jilouterou9078]

Quelle est la signification de "non trivial" ?

[@oljenmaths]

Tout dépend du contexte, mais dans le cadre de la théorie des groupes, un groupe non trivial est un groupe qui n'est pas réduit à {Id}, ou à {« Ne rien faire »}, pour reprendre l'image proposée dans la vidéo.

[@AllemandInstable]

une ampoule ?

[@oljenmaths]

La référence: kzbin.info/www/bejne/iGmYdZ-id56DhcUsi=eH6Nrn6A2SvTUs6a&t=4 😇.

[@Boznic__]

Je suis admiratif, merci