An AMAZING Radical Algebra Problem | Give It A Try!

[@RashmiRay-c1y]

Note that 2(7/2 - 15/√(20))^1/4= (56-24√5)^1/4. Let a^4=56-24√5 and b^4=56+24√5. Then, ab=4 and a^4+b^4=112. So, we get a = (56-24√5)^1/4 = √5 -1. Thus, E=[18√5 -17]^1/3 . Let u^3=18√5 -17 and v^3=18√5 +17. Then, uv=11 and u^3-v^3=-34. Therefore, u=E=1/2[3√5-1].

[@Quest3669]

X^3= 18√5-(17) or x= (√45-1)/2 the soln

[@АндрейПергаев-з4н]

Куча не нужных действий Начнем с того что 14-6sqrt5=(3-sqrt5)^2 14-6 sqrt 5=2*(7-3sqrt5) Таким образом х=2*sqrt( (3-sqrt5) /2) 6-2sqrt5=(sqrt 5-1)^2 В итоге х=sqrt 5-1 И никаких больших цифр Далее применяется метод неопределённых коэффициентов Очевидно что (asqrt 5-c)^3=5a^3*sqrt5-c^3-15ca^2+3ac^2sqrt5 Осталось только приравнять коэффициент при sqrt 5 и свободного члена 3а*с^2+5а^3=18 и 15са^2+с^3=17 Решаем систему и вот ответ получается ответ

[@RealQinnMalloryu4]

x^5(17)^2 ➖ 25 ➖ 16+2=x^5{289 ➖ 25} ➖ 16+2={x^5*264} ➖ 16+2=264x^5 ➖ (16)^2+2={264x^5 ➖256}+2=8x^5+{2+2 ➖ }={8x^5+4}=12x^5 2^6x^5 2^2^3x^2^3 1^1^3x^2^1 3x^2(x ➖ 3x+2).x^4(7)^2/(2)^2 ➖ (15)^2/(20)^2=x^4 {49/4 ➖ 225/400}={x^4*176}/396=176x^4/396 172^3x^4/392^3 1^3^4^1^1x^4/1^3^2^1^1 1^2^2x^2^2/3^1 1^1x^1^2/3^1 x^2/3(x ➖ 3x+2).

[@潘博宇-k4l]

E=[3(5)^(1/2)-1]/2.

[@gregevgeni1864]

7/2 -15/√20 = ... = (14-6√5)/4 = = [(3-√5)/2]² = [2(3-√5)/4]² = = [(6-2√5)/4]² = [(√5-1)²/4]² = = (√5-1)⁴/4² = (√5-1)⁴/(2⁴)= [(√5-1)/2]⁴. So ⁴√(7/2 - 15/√20) = ⁴√[√5-1)/2]⁴ = = (√5-1)/2. Now R = ³√[(17√5-16+2 •⁴√(7/2-15/√20)]= ³√ (17√5-16 + 2•(√5-1)/2)= ³√(17√5-16+√5-1) = ³√(18√5-17). => R³ = 18√5 -17. Let S³ = 18√5+17. Then S³ - R³ = 34 (1) and R³ • S³ = (18√5)² -17² = 1331=11³ => R•S = 11 (2) Solving the system of (1) ana (2) => R = (3√5-1)/2