Anneaux et Ideaux

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, un idéal est un sous-ensemble remarquable d'un anneau : c'est un sous-groupe du groupe additif de l'anneau et qui est de plus stable par multiplication par les éléments de l'anneau. À certains égards, les idéaux s'apparentent donc aux sous-espaces vectoriels - qui sont des sous-groupes additifs stables par une multiplication externe ; à d'autres égards, ils se comportent comme les sous-groupes distingués - ce sont des sous-groupes additifs à partir desquels on peut construire une structure d'anneau quotient.
Apparus à la fin du xixe siècle en théorie algébrique des nombres pour généraliser à des entiers algébriques la décomposition en facteurs premiers des entiers, les idéaux ont rapidement joué un rôle central en algèbre et en géométrie algébrique, en particulier à la suite des travaux d'Emmy Noether isolant l'importance des conditions de chaîne. Au-delà de l'algèbre ils interviennent de façon centrale dans les développements du xxe siècle de certains chapitres d'analyse fonctionnelle, notamment l'étude des algèbres de Banach et l'analyse harmonique commutative.
En algèbre commutative, deux types d'idéaux sont omniprésents : les idéaux maximaux et, sans doute encore davantage, les idéaux premiers. Dans l'anneau des entiers relatifs, tant les idéaux maximaux que les idéaux premiers (non nuls) sont les pZ, où p est un nombre premier ; dans les anneaux commutatifs plus abstraits ces familles d'idéaux généralisent la notion de nombre premier.
En théorie des anneaux non commutatifs, il faut prendre garde à l'existence juxtaposée de deux concepts distincts d'idéaux : les idéaux à gauche (ou à droite), qui sont des sous-modules, et les idéaux bilatères, ceux par lesquels on peut quotienter. Alors que la structure des anneaux non commutatifs les plus généraux peut être extrêmement complexe, on a plus de prise sur ceux vérifiant les conditions de finitude découvertes par Emmy Noether et Emil Artin, à savoir des conditions de chaîne sur leurs idéaux à gauche ou à droite.