15. Chain rule, FULL EXPLANATION and proof

[@MateFacilYT]

*¡Hola! ¿Necesitas ayuda con tus ejercicios?* Escríbeme en cualquiera de mis redes sociales: Facebook.com/MatefacilYT Telegram: t.me/matefacilgrupo twitter.com/matefacilx instagram.com/matefacilx tiktok.com/@matefacilx

[@jesusangel4923]

Crack ; estaba leyendo la demostracion de un libro pero no la entendia gracias ahora si se como se demuestra

[@AndresLopez-cr2rl]

No me canso de ver tus videos , seguro porque están bien fundamentados, gracias 😊

[@ramonjaramillo1269]

Para el impaciente: La demostración empieza en 8:54. Excelente video.

[@William-H]

Muchas gracias señor

[@William-H]

Viejo, eres lo máximo, de verdad, el mejor canal de matemáticas que existe.

[@ulisesdiale4004]

Verlo con la fórmula está bien para demostrar, pero no para entender... Si buscan que la idea les suene intuitiva, imaginen que observan 3 edificios: edificio A, edificio B, y edificio C. No pueden precisar la altura de ninguno (para asemejarse a la idea de lo que es tener un diferencial...dy = y + h cuando h TIENDE a 0, ahí no estamos precisando ningún valor para dy). Digamos que lo único que sí pueden saber con exactitud, es que el edificio B mide el DOBLE que el edificio A y que, a su vez, el edificio C mide el TRIPLE que el edificio B. Cuántas veces más alto es el edificio C respecto al edificio A? Tomemos las alturas de los edificios como diferenciales (es decir, las respectivas alturas que tengan más un incremento que TIENDA a 0, de este modo no podríamos precisar ningún valor de las alturas, solo llamarlas "diferenciales"). Llamemos "A" a la altura del edificio A, y así respectivamente con los otros. Ahora bien, dijimos que la altura del edificio C es el triple que la del edificio B, esto es: (dC/dB)=3. Y dijimos que la altura del edificio B es el doble que la de A, quedando (dB/dA)=2. Si la altura del edificio C es 3 veces la del edificio B, y la altura de éste último es 2 veces la de A, resulta lógico pensar que la altura de C es 6 veces la del edificio A, porque 2×3=6 (a este punto, dibujen los edificios siguiendo el planteamiento y se van a dar cuenta que efectivamente el edificio A cabe 6 veces dentro del edificio C...el edificio A cabe 2 veces dentro del edificio B, y éste a su vez cabe 3 veces dentro del edificio C). Usando la notación de los diferenciales: (dC/dA) = (dC/dB) × (dB/dA) = 2 × 3 = 6. Esto mismo es la regla de la cadena, conocer el valor de una derivada a partir de información adicional. Se explica haciendo de cuenta que tenemos las funciones: C(B)=2B y B(A)=3A Digamos que el valor 6 que nos quedó, es la derivada respecto de A de una nueva función compuesta de las anteriores: L(C(B(A))). Una cosa es demostrar; otra, entender. El problema es que siempre nos demuestran sin haber entendido

[@squanchy6134]

Eres un campeón

[@gustavopalma9451]

Vaya, de dónde has sacado este planteamiento? Gracias.😊

[@gustavopalma9451]

Buenísima.

[@jorgeluismirandasandoval8771]

La mejor explicación de la regla de la cadena ; gracias bro saludos

[@MateFacilYT]

Gracias!

[@gersonramirez6773]

Gracias, buena explicación, ya tienes un suscriptor más

[@lasmatesdelamor4287]

La verdad he visto varias de las demostraciones en tu canal, no obstante siempre me pregunto ¿cuál será el proceso cognitivo para ir por el camino en el que vas en tus explicaciones? Porque siempre me queda la duda sobre como se les ocurre la forma de aplicar una técnica por ejemplo cuando haces la multiplicación por 1 escrita en forma de un cociente en el cual intercambias denominadores y obtienes la derivada del lado derecho, me pongo a pensar sobre las miles de formas en que se puede representar el 1 y como de esas miles de formas se le ocurrió al matemático que esa forma lo llevaría al camino correcto de la demostración. No sé si me di a entender. Excelentes tus videos, saludos cordiales.

[@aestheticmordecai5776]

Si algo eh aprendido estudiando mates en la uni es que una vez que estudias y maduras los conceptos tu solito te das cuenta de cuando utilizar cierta "técnica" o recurso que más te convenga.

[@manelbaladagasparin7200]

para llegar a una respuesta siempre se tiene que seguir mas de un camino, es por eso, que en multitud de veces, es practicar y tener una caja de herramientas enorme que te permita seguir avanzando hasta resolver el problemas que buscas, aqui ha hecho la tecnica de hacer "unos" pero seguro que hay mas manera y una que para ti sea la adecuada. Pero eso solo lo consigues practicando.

[@danielnwn]

Muy buena explicación :D me ayudó mucho tu video para entender la demostración

[@sideswipe2003]

Excelente video, muy buena idea mostrar las dos notaciones, por que es algo que confunde mucho cuando estás iniciado

[@josemiguelherazo1672]

Mi mejor opción es Matefacil. EXCELENTE CANAL.

[@polvinaspelaez5316]

Dios te protega y guarde a ti y a toda tu familia, bendiciones

[@rsgciencias1220]

Excelente vídeo profe, me encantan sus explicaciones 😇😇😇😇😇

[@ivangabrielamaromedrano6922]

Exelente vídeo. La demostración es muy elegante

[@gustmint]

Checa el libro de cálculo infinitesimal de Spivak, esa sí que es elegante y formal. 👍

[@alejandrojuarez2939]

@@gustmint También esta.

[@Kelmat_]

Gracias! No podía encontrar a alguien que lo explicara bien

[@jeremiascea8790]

eres un crack ,me has ayudado un montón en la universidad

[@raulsantinolopezrodriguez8349]

Excelente explicación. Gracias Profe

[@faridbadillo1832]

Que gran video, ya me has ayudado un buen, no dejes de subir videos así

[@karlavelez228]

Gracias por la demostración 😊

[@ever.santamaria]

Noto un pequeño problema en la demostración y es en la multiplicacion por el cociente de mismo numerador y denominador es decir [v(x+h)-v(x)]/[v(x+h)-v(x)] y es que técnicamente esta bien para todos los casos cuando v(x+h)≠v(x) sin embargo para el caso particular en el que son iguales, la operación sería igual a multiplicar por 0/0 lo que implicaría un ex falso quadlibet, este caso podría darse si la función v fuese constante, en este caso v(x+h)=v(x) aunque h sea distinto de 0. Esto entonces invalidada la demostración, a menos que sea explícito el hecho de que v no es constante.

[@alejandrojuarez2939]

Tendrías que demostrar el caso por aparte, cuando v(x) es una constante, lo cual es muy sencillo de verificar, al final tendrás una igualdad donde cero es igual a cero si sustituyes v(x) en la fórmula del principio que puso el profesor que hizo este video, de ahí podrás ver que también se cumple para v(x) constante, por cierto, fue muy buena tu observación, el profesor de este video olvidó mencionarla. Un saludo cordial.

[@levisandro]

Gracias excelente demostración

[@bobby159]

Joder por fin ya estaba hasta la madre sin saber de donde salía gracias :3

[@contrerascastrosebastian9786]

gracias me ayudó mucho su video

[@gw6831]

Aveces me siento raro estudiando demostraciones estudiando ingeniería

[@MateFacilYT]

Es bueno aprender a demostrar las cosas, te ayuda a tener un pensamiento más crítico y ordenado, y en muchas ocasiones recuerdas mejor las fórmulas :p

[@gw6831]

@@MateFacilYT tienes razón y son muy bonitas

[@Ander_Gamer1514]

jajaja me pasa lo mismo

[@nicolascarrizo3832]

Simplemente Muchas Gracias!

[@matiassosa7962]

Genial tu demostración

[@juliciencia]

te amo muchas gracias

[@josed2828]

Bellísima demostración

[@MateFacilYT]

Gracias! ¡Te invito a unirte a mi grupo MateFacil en Telegram! t.me/matefacilgrupo

[@rodrigoramirez8146]

te mereces un like

[@pedroorantes7445]

sos el mejor y explicas muy bien en otro video me puedes saludar sigue así sos el mejor en matemáticas y también explicas muy bien

[@saulburrolagonzalez4652]

Me intetesa su sodwer de caldereria

[@neylerfloresromero5900]

Excelente explicación, gracias.

[@juanrodolfoholguin7944]

aqui la demostracion no es tan compleja como en los libros. Muchas gracias.

[@sebastiangonzalez4365]

estuvo buena la demostración, gracias. ¿tenes vídeos con ejemplos de límites con sustitución de variable? ese método no lo tengo claro, estaría bueno ver ejemplos, con límites en los cuales no te quede otra que usar el cambio de variable.

[@nathalianascimento1304]

Muitos obrigada professor 😍💞

[@lautarodeambroggi6597]

muchas gracias genioooo

[@david-fz3nb]

Solo en las derivadas de funciones compuestas se usa la regla de la cadena????

[@irlandadelrazo2661]

Eres la mera vena. Ay qué vulgar se escuchó. Bueno, eres el mejor 😍

[@dfcodex8429]

contigo las matedificiles se hacen matefaciles

[@susanaguzman509]

muy bueno!!

[@j.elias16]

Que libro me recomiendas para estudiar este tema(regla de la cadena ), a profundidad .?

[@MateFacilYT]

Hola! Te recomiendo el libro de Calculus de M. Spivak.

[@j.elias16]

@@MateFacilYT Muchas gracias. 👍

[@Deku-nk4lt]

Hola, estoy teniendo un problema. Estoy intentando derivar x^x tratando de utilizar la regla de la cadena, pero creo que no me está saliendo 😢 Aplicando regla de la cadena a x^x sería: v(x) = x f(v) = v^x f(v(x)) = x^x v'(x) = 1 f'(v) = x•v^(x-1) f'(v)•v'(x) = (x•v^(x-1))•1 = (x•x^(x-1))•1 = x^x Pero esa no es la derivada de x^x por lo que averigüé, así que... ¿qué estoy haciendo mal con la regla de la cadena??

[@gastoncardozo4613]

Excelente!!

[@stonebrad4914]

No entiendo cuando dicen derivada interna. Puedes explicarme eso?, Por ejemplo en ecuaciones trigonométricas.

[@AprenTuring]

que linda demostracion

[@MateFacilYT]

¡Gracias!

[@brunocabrera1567]

Entonces si el primer ejemplo lo derivo normal por decir que quede 4(3x²-5)³ estaría mal ?

[@carlospalma1527]

Sí, ya que haría falta multiplicar por la derivada de 3x^2-5

[@larisacircelli7309]

¿Se puede aplicar esta demostración si v fuera una función vectorial?

[@manelbaladagasparin7200]

si

[@alfonsomex.5556]

Increíble👍👍👏

[@alberton.r4593]

Gracias I love

[@pierrecornejo3481]

Hola amigo una pregunta (f(g(x)))’ se parece mucho ala derivada de f’(g(x)) no veo la diferencia

[@pierrecornejo3481]

Amigo ya entendí gracias

[@yoklug]

Pero... aparte tienes un error de notación ¿no? o sea, o utilizas la notación y' o utilizas f'(x). Es error decir (f(x))' o qué autor maneja esa notación?

[@javierlealmonsalve7941]

Que libros de matemáticas recomiendas ?

[@MateFacilYT]

Eso depende de qué tema te interese, ya que las Matemáticas tiene muchísimas ramas. Para todos los temas de Matemáticas previos a la Universidad, te recomiendo el de Matemáticas Simplificadas de Conamat :)

[@beristainrodriguezrodrigo8762]

Hola, excelente video, pero me surgió una duda ¿Y si fuera la composición de tres funciones?

[@danielalexandervasquezcazon]

Calla pichi y deja vivir feliz ala gente

[@derekdaluz8425]

Por eso se llama regla de la cadena, a la composición de la composición le aplicas ma misma regla primero y así surge una cadena de composiciones

[@iyan1067]

Q bueno eres

[@iyan1067]

Voy en la secundaria

[@hugoruizsanchezdelavega6321]

Pero en el caso donde v(x+h) - v(x) = 0? Por ejemplo en la función constante

[@MateFacilYT]

Para responder eso, formalicemos un poco más. Sea x en R y sea v, función derivable en el punto x, sea f derivable en v(x). Entonces pueden ocurrir dos posibilidades: 1. v'(x)=0, en cuyo caso existe e>0 tal que la función v es constante en (x-e, x+e). Este caso debemos tratarlo por separado en la demostración. Nótese que f(v(x)) es también función constante en ese intervalo, y la derivada es cero, cumpliendo de hecho la regla de la cadena, pues al ser v'(x)=0, se tiene que d/dx f(v(x))=f'(v(x)).v'(x)=f'(v(x)).0=0 2. v'(x) es distinto de cero. En cuyo caso, la función v es estrictamente creciente o decreciente en una vecindad de x. Esto es existe un e>0 tal que para todo "a" y "b" (con "a" distinto de "b") en el intervalo (x-e, x+e), v(a) es distinto de v(b). Entonces simplemente tómese dicho "e", y sea h>0 tal que x+h pertenece a (x-e, x+e), esto puede hacerse dado que h tiende a cero, y puede tomarse lo suficientemente pequeño para que x+h caiga en ese intervalo. Esto garantiza que no se hace división entre cero. Aquí se está usando una propiedad de las funciones derivables que dice que si g es derivable en x, y además g'(x) es distinta de cero, entonces existe una vecindad de x en la cual la función g es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para más información te recomiendo el libro de Calculus de M. Spivak.

[@estebanfeliperojasnunez9883]

Para evitar ese problema es análisis en R se demuestra este teorema usando f(a+h)=f(a)+f'(a)h+r(h) donde r(h)/h tiende a 0 cuando h tiende a 0.

[@carlosenriquerosaslira9105]

Y si H=v(x+h)-v(x)=0 no estaríamos dividiendo por 0 ?

[@MateFacilYT]

Lo que se está calculando es el límite, no es dividir entre cero.

[@carlosenriquerosaslira9105]

Si eso lo entiendo pero a lo que me refiero es como aseguras que la función ahí definida no es cero por ejemplo en el caso de que v(x) sea función constante

[@MateFacilYT]

​@@carlosenriquerosaslira9105 Para responder eso, formalicemos un poco más. Sea x en R y sea v, función derivable en el punto x, sea f derivable en v(x). Entonces pueden ocurrir dos posibilidades: 1. v'(x)=0, en cuyo caso existe e>0 tal que la función v es constante en (x-e, x+e). Este caso debemos tratarlo por separado en la demostración. Nótese que f(v(x)) es también función constante en ese intervalo, y la derivada es cero, cumpliendo de hecho la regla de la cadena, pues al ser v'(x)=0, se tiene que d/dx f(v(x))=f'(v(x)).v'(x)=f'(v(x)).0=0 2. v'(x) es distinto de cero. En cuyo caso, la función v es estrictamente creciente o decreciente en una vecindad de x. Esto es existe un e>0 tal que para todo "a" y "b" (con "a" distinto de "b") en el intervalo (x-e, x+e), v(a) es distinto de v(b). Entonces simplemente tómese dicho "e", y sea h>0 tal que x+h pertenece a (x-e, x+e), esto puede hacerse dado que h tiende a cero, y puede tomarse lo suficientemente pequeño para que x+h caiga en ese intervalo. Esto garantiza que no se hace división entre cero. Aquí se está usando una propiedad de las funciones derivables que dice que si g es derivable en x, y además g'(x) es distinta de cero, entonces existe una vecindad de x en la cual la función g es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Para más información te recomiendo el libro de Calculus de M. Spivak.

[@carlosenriquerosaslira9105]

Justo de ese libro vengo y me había atorado en la demostración de la regla de la cadena. :(

[@coberyt2313]

eres muy bueno like si entendiste😂

[@angeld18ppp0]

Con estas cosas, me dan ganas de abandonar la escuela

[@rubenduran9186]

X2

[@liliamartinezl8327]

@@rubenduran9186 x3

[@ulisesdiale4004]

Busquen mi comentario, está entre los más recientes

[@unmaniaco21]

X4

[@cristiangarcia3607]

Yo pana Lit

[@zorak0044]

mi libro lo hace diferente... mañana lo estudio de nuevo...

[@erickgarcia8745]

Espera, ¿no te has equivocado al aplicar la definición de la derivada? Tu pones k(x)=f(v(x)) y que su derivada es k'(x)= lim f(v(x+h))-f(v(x))/h cuando en realidad debería de ser k'(x)=lim f(v(x)+h)-f(v(x))/h el cual es muy distinto y no podrías hacer uso de tu procedimiento para demostrar la regla de la cadena.

[@MateFacilYT]

Hola! La variable en k(x) es x, no es v. Por lo tanto, k(x+h) = (fov)(x+h) = f(v(x+h)) Por lo cual no hay ningun error en lo que escribí.

[@erickgarcia8745]

​@@MateFacilYT Hola! De hecho ahora que me fijo tu función k depende del valor de g(x) y g(x) tiene como variable x, por lo que podrías anotar que g(x)=u y k=f(u). Ahora, k depende de u, por lo que su derivada sería k'=lim f(u+h)-f(h)/h . ¿Y qué es u? Pues u=g(x), por lo que k'=lim f(g(x)+h)+f(g(x))/h. Este k' te indica que la derivada de k se halla cuando g(x)+h=g(x) y no cuando x+h=x.

[@MateFacilYT]

@@erickgarcia8745 A ver, creo que tienes algunas dificultades con el tema de composición de funciones. La función k, es la composición de f con v, ambas f y v son funciones de x, al hacer la composición de dos funciones de x obtienes una función de x, la cual estoy llamando k(x) en el video. La función k depende de x. Si te resulta más sencillo, veamoslo con un ejemplo. Supongamos que f(x)=x^2, y que v(x)=x^3+1, entonces (fov)(x)=f(v(x))=(x^3+1)^2, es decir, en este caso k(x)=(x^3+1)^2. Ahora bien, es claro que k(x+h)=((x+h)^3+1)^2, mientras que f(v(x)+h)=f(x^3+1+h)=(x^3+h+1)^2, f(v(x+h))=f((x+h)^3+1)=((x+h)^3+1)^2 Como puedes notar, k(x+h)=f(v(x+h)) y no es igual a f(v(x)+h) Si aun tienes dificultades, te recomiendo repasar el tema de composición de funciones y luego volver a analizar lo que hice en el video. Saludos.

[@erickgarcia8745]

​@@MateFacilYT Vale vale, creo que ya te capté la parte del principio. Y corrigiendo lo que dijiste antes, g(x) si actua como variable de k si defines k como k(u)= f(u) con g(x)=u, ya que la variable u dependería de los valores de g(x). Dicho esto, en primer lugar, en tu tercer paso los cosas no me vuelven a quedar nada claras. Fijate en el primer límite. Tu me has puesto que f' = [f(v(x+h))-f(v(x))]/[v(x+h)-v(x)] cuando eso no tiene pinta de su derivada para nada. Has quedado en que k = f(v(x)), entonces (y perdon por la redundancia) la derivada de f(u) con u=g(x) es igual al lim f(u+h)-f(u)/h, si reemplazas te queda que la derivada de f es f' = lim f(g(x)+h)-f(x)/h, la cual varía muchísimo con lo que tu me dices. Ya he aplicado tu límite en un ejercicio (sin hacer el cambio de variable a H) y no me sale para nada la que vendria a ser la derivada de f. En segundo lugar, el cambio de variable no debería de ser para todos? Con esto quiero decir que si me cambias f(v(x+h)) por f(v(x)+H) no tendrias que cambiar f(v(x)) tambien para que ahora se encuentre, digamosle asi, en "términos de ese límite"?

[@MateFacilYT]

@@erickgarcia8745 También debes distinguir respecto a qué variable se está calculando la derivada. El incremento h se le suma a la variable respecto de la cual se está derivando. La derivada de k se hace respecto de x, eso se sobreentiende en la notación que se utiliza, por eso la escribí como k(x) para que quedara más clara. La regla de la cadena en lo que consiste es en poder calcular la derivada de k respecto de x, cuando a su vez k es una composición de dos funciones, f que depende de v que depende de x.

[@jabonzitov5798]

nananananananan de nashe breo

[@Mir.PalPez]

Me quedé en 8:56, continúo en un momento.

[@jhonnycoe3851]

derivadas 1/(6x^7-4)^3 este ejercicio

[@Mir.PalPez]

Me quedé en 11:55

[@gustavolamur9978]

Helpme

[@gustavoeduardopenanegravaz4367]

😴😴😴😅

[@jesusquirino742]

Ooooooooo

[@elchicurro2788]

Es que tu pedagogía es muy mala

[@MateFacilYT]

Millones de estudiantes han dicho lo contrario. Es más probable que seas tú quien tenga deficiencias en ciertos temas y debas repasarlos Saludos.

[@Will-Ch]

Magistral , gracias

[@ricardomelgarejozamata]

Excelente video me ayudo mucho .