【毕导】决定论的终结：小球、穹顶与牛顿第四定律

小学二年级都学过的牛顿力学告诉我们力和物体运动的关系，似乎只要我有足够的算力就可以预测未来一切非生命体的运动轨迹，似乎从宇宙诞生的那一刻未来就已经成了注定的轨迹。
但我这里竟然有一个小球可以用最简单的数学推翻这一切，这个小球竟然可以挣脱牛顿力学的束缚，在T时刻获得自由的意志，难道决定论在这一刻轰然倒塌？
这其中的漏洞是什么？我们的现实生活又将被带往何方？
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[@SakretteAmamiya]

個人認為其實很好破解 要符合1/144 (t-T)^4這個運動軌跡的條件，首要條件是「在t=0的時候有一個值為1/6的jounce」 然而，在t=0時，小球的受力源只有重力和曲面正向力這兩個平衡力，這兩個力都不在r的方向上，也不是變力，因此不會有jounce=1/6的情況發生 還有另一個問題存在 即使是已經在下滑階段了，正向力是否能支持小球在r方向上的運動(在任意瞬間都可以視為不同曲率的圓周運動) 不過這倒是個小問題，只要在上面加一層蓋子，使兩個曲面在任意位置都能恰好容下小球就行，讓另一個曲面去給予正向力 這樣jounce可能仍然是1/6，但曲線不會是1/144 (t-T)^4，因為r, r', r''或r'''會有至少一個不符合t=0時為0的條件 另外，那個sinθ=dh/dr的部分，應該有限定θ>0，因為θ=0的時候是不會有r方向分力的，就像我前面討論到的一樣 ---------------------- 我只是個大學讀機械的渣渣 有哪裡說錯歡迎用力噴

[@fakestory1753]

但是並沒有這個首要條件吧？ 加設"力的來源"出現早於位移的現象是現實物理的想法 但是這個思考實驗中位移跟加速度並不存在前後關係 他們是由牛頓第二定律(位移跟加速度有微分關係)跟場(加速度由位移決定)來建立關聯的 這兩種關聯都是處處成立的 不能說是其中一種先發生 (同理 加加加速度也只是微分關係) 既然沒有前後關係 就不能去假設必須先有力才有加加加速度 從初始條件全部為0 下一瞬間變成 位移/速度/加速度/加加速度 全為無限小量＆加加加速度為1/6 這個過程不違反牛頓第二定律跟場的關係

[@SakretteAmamiya]

@@fakestory1753 應該這麼說 這個在現實物理上要成立，就必須要有一個定值為1/6的jounce來源，否則無法成立 我原本的用詞可能不準確，「力」確實只能直接影響加速度 受力為定值時，就會有一個保持定值的a存在 而現在，我們不只是需要有一個變力，還是個隨時間指數成長的變力 這樣才能讓f是一個t的二次函數，使球可以產生一個定值的jounce，進而產生這個思想實驗的結果 然而，在自然情況下，這樣的等加變力不存在，因此無法形成這個實驗的結果

[@johnn7092]

"在t=0時，小球的受力源只有重力和曲面正向力這兩個平衡力，這兩個力都不在r的方向上，也不是變力，因此不會有jounce=1/6的情況發生" 此处逻辑何在呢？无力只能说明加速度=0，与 Jounce>0 并不矛盾

[@SakretteAmamiya]

@@johnn7092 有力，才會有加速度、加加速度、加加加速度……的存在，只是合力為0的時候加速度也是0 而要造成jounce>0，勢必有一個jounce來源，它可以產生等加變力，才能讓這個現象成立 而現實不存在這個來源

[@yeungs.h.3302]

針對第一點，留意設定是t

[@CelineChou-vc5xn]

這挺有趣的，用牛頓運動定律就是來準確描述宏觀物理世界的運動現象，但得出的nontrivial 解確是隨機發生。 但牛頓力學本來就是基於牛頓自己對於大自然中的數學哲學所理解並推論出來的，就以三體問題來說，牛頓力學以及萬有引力定律在面對複雜的三體時無法給出精確解析解，這就是證明牛頓運動定律不完善的最佳例子。 而針對影片中的運動系統方程來看，該方程是一組非線性微程，那麼自然的，非線性方程式所支配的運動系統也是非線性的，這個推論正是在20世紀初數學家龐加萊研究非線性動態方程中的結論，而他的研究中發展了混沌理論這個應用數學分支，我認為影片中的這個問題跟混沌理論是很相似的，倘若探討運動態軌跡方程的相圖，或許深度研究就能得到類似混沌理論相關的結論。 想當然爾，決定論這種線性的邏輯，在非線性的運動行為面前自然是完全站不住腳的。 本人數學程度還未足以達到分析混沌理論的程度（僅到偏微分方程、微分幾何）因此沒辦法給出一個完美的計算推論。

[@user-zw5fl8cm1p]

非線性還是屬於決定論，只是對初始條件很敏感，以至於幾乎無法預測而已，量子力學才是真正擊垮決定論。

[@shang0h]

dude these are so good

[@user-oi5cp4tz9b]

可能台灣才有這個回覆沒意義留言的習俗 但是 頭香✌

[@user-pj9vq1uz1r]

中国也有，不过叫“一楼”

[@WulinGate]

中国网络论坛中第一个回复的叫“沙发”。

[@Jadenlo]

那置板凳算頭香的一種嗎

[@user-md3er5go9m]

直覺上是尖點造成數學處理上面很麻煩 或者找不到恰當的工具來描述這種尖點發散的問題 所以遇到這種情況要用微擾來看 應該可以證明無法區別是因為微擾掉下還是遵循曲面方程

[@EvanTseng-rj7iu]

那個曲面在尖點上可能不可微吧 沒細算

[@jasper89314]

@@EvanTseng-rj7iu 那如果考慮長條蛋糕形狀 只是他的上面是符合那個方程式的狀況呢? 這種情況還會有尖點微分的問題嗎

[@user-el3zf1ds7u]

如果在理想條件下忽略其他問題， 假設這個結論是對的， 我直覺會覺得就算在電腦（事實上根本沒有電腦做得到任取一個實數T） 模擬實驗無數次也永遠等不到球掉下去， 因為實數集的勢太大了，只能說他在t趨近無窮時r(t)非0。

[@user-el3zf1ds7u]

所以終究是個用來挑戰牛頓力學敘述的思想實驗，至於像他這樣處理細節到底有沒有其他另個層次的問題就不太好知道了@@

[@eggdog]

有料，我也覺得應該去用微擾計算

[@user-hu1mc3lm5i]

这个肯定没影响决定论本身，只能说物理学的哲学基础需要再次夯实了

[@9263STYV]

其实按照量子力学的观点。小球和顶接触面，很小的接触面，就会因为量子效应在微观尺度上产生随机力，虽然小，但是作用在小球上还是会产生微小的随机的加速度。随着时间流失，这些微小的加速度总体会导致小球受力不均，最终落下来。只要量子力学的随机属性还在，波函数没有被推翻，决定论就是死翘翘的。对于一般人，用数学的方法来描述这一现象着实会劝退很多人。很多人都知道波函数，但是当看到波函数的公式的时候，绝大部分的人都不知道这就是波函数。

[@plus-sign]

最大的問題是，諾頓穹頂的第二個解本身就只建立於牛頓定律之上，而跟量子力學毫無關係。 如果說牛頓只能給出一個解，實際實驗/量子力學發現了第二個解，或許推翻了決定論，那這沒問題，說明牛頓力學只是宏觀的簡化 (沒考慮真空漲落跟不確定性原理) 但如果根據影片，現在的問題是：牛頓定律導出了第二個解 - 儘管可能存在未知的漏洞，但似乎也推翻了決定論 那這就是一個問題了，畢竟經典力學的本質就是決定論。自身推翻自身證明著數學系統本身的漏洞，而不是數學系統不夠準確來描述現實。 不過以我淺薄的物理知識，會覺得「此解不符合初始條件」 - 這個解限定了在時刻 T 開始之後位移一直維持著一個恆定的四階導數，而從力的角度出發，代表著一個變化的力 (而非不存在任何力 - 對 F=ma 兩邊求導可得力F的二階導數不為零，這個變化的力不符合我們對「無任何外力」的假設) 即使根據時間反演對稱性，若小球在理想狀態下向上滾，剛好在穹頂上停住而剩餘一個加加速度，那麼小球的確會在一段有限時間後向下滾落，但這依然不符合系統中「無外力」的假設 - 因為從牛頓力學及理想情況出發，「小球靜止」狀態中加加速度恆定為零，而「小球突然滾下去」的狀態中加加速度突然改變為另一個恆定值 (這顯然是把兩個初始條件與假設完全不同的合理解拼接的結果，假設中也沒有任何對此改變之解釋，因此此拼接是不合理的)。 這個知乎貼文有更詳細地解釋了這一論點 (跳到「相圖」的section) [ zhuanlan.zhihu.com/p/552511468 ] *作者不是我 當然這裡的證明目標是為了維護牛頓三定律本身的自洽性 - 因此如果推導無誤，則影片內容有錯漏。當然也不排除是我的物理與數學知識不足或看漏了甚麼。

[@9263STYV]

@@plus-sign 其实，我一直认为牛顿的经典物理和量子力学的区别在于，牛顿经典力学是忽略了微观不确定性，宏观统计学意义的计算。 比如温度，压力等，都是微观世界概率不确定性在宏观统计学意义上的表现，它只关注平均值，而忽略每个时刻，每个微观粒子的自身状态，把一堆粒子当成一个整体看待，这样就可以简化模型，比如用质量，温度，等等就可以描述复杂的集合体。而正是微观情况下的不确定性，经过长时间累计，宏观上也会出现比较大的变化。也就是为什么有蝴蝶效应，混沌原理。

[@NoNameToHave]

@@9263STYV 经典计算科学也是发展的，能描述的东西有限，时间一长自然就有矛盾的地方了。是这个意思吗？

[@9263STYV]

@@NoNameToHave 不是矛盾，而是不完备。

[@NoNameToHave]

@@9263STYV 同意👍

[@Joel-xt5yz]

所以柔道教练说的没错。完成一次完美的背负投是六阶导，真的是一个POP

[@LatticeMage]

有趣

[@jiangyanzuzu]

r是t的函数的意义等同于小球沿着穹顶移动了吗？

[@user-hk2sn4sv2p]

不是 所以 導出來的1/6有方向嗎？如果是方向等於0度的話 應該 不影響吧？（而且就跟底下評論說的一樣 題目是假定不受力 但最後推出來有力就不符合題目的設定了）雖然知道這是哲學問題 但有人嘗試做過這個實驗嗎？😅

[@user-hd9ep4qc5x]

真是精妙的思想实验🕶🕶🕶

[@yingwangshi5847]

其实还是决定论，微分方程的另一个解，就跟初中的分式方程的增根一样的性质。

[@Blocker-Nagnto]

宏觀公式得出隨機結果 但微觀角度下 穹頂的電子對球的電子的排斥 只有在從分子 被溫度導致的速度推近才會造成“碰撞” 每個粒子相互作用 就像混沌擺 看似隨機 但只是因為初始條件的無法人為控制 結論：只要能以粒子的方式計算 大量且高速的計算 仍然可以絕對的預測未來

[@miku3920]

汽車油門、煞車有個頓點，如何證明可以控制到剛好停住

[@ssrb5695]

刹车大于油门＝停住😂

[@pingdizuo492]

我觉得这里有两个不确定：不确定什么时间小球会掉下来，只知道某个时间，但是无法确定具体什么时间。不确定小球从哪个方向掉下来。

[@user-zw5fl8cm1p]

其實物理學家很喜歡就耍賴說這個解是數學解不符合物理就直接拋棄。當然有可能這個解深挖會有些新物理，但一般來說物理學家會直接耍賴，這實驗也沒法做，真實系統一定有原子隨機力進入，那就變成另一個系統了。

[@user-xe6px8bk6e]

加加加加加加加加加加加加……速度

[@user-ws4el7re7n]

数学只是现实的近似描述

[@kyant7529]

有没有可能现实才是近似的，

[@Blocker-Nagnto]

應該說 宏觀數學只能有近似公式

[@Blocker-Nagnto]

​@@kyant7529現實由微觀絕對構成 但人類本身就是大量微觀物質堆起來的結構 不能真正的觀測微觀物質

[@user-dx3td3sy9m]

物理學才是近似描述，數學比物理學精確得多

[@apollomaverick]

似乎是穹顶的顶点是个奇点，类似于黑洞，物理定律在奇点处全部失效

[@plus-sign]

5:34 以我淺薄的物理與數學知識，這一點表述錯誤。 將 F=ma 取兩次導，可知由於 r的四階導數，也就是a的二階導數不為零，因此 F 的二階導數不為零，因此在 t > T 這段時間存在非零的力，不符合初始條件。

[@endofnewfall2272]

为什么一个静止小球会在 t > T 這段時間存在非零的力呢？

[@rbzhang3374]

对，很严密

[@yeungs.h.3302]

根據數式，t=T時，便開始有力出現。 所以t>T有力，並沒有問題。 初始條件只是t=0時，r=0。

[@XIAOFOUNG]

在半球面上，曲面的切线方向并不是垂直于重力方向。重力方向是沿着半球面的径向向下的，而切线方向则是沿着曲面的切线方向。因此，sinθ并不能简单地等于dh/dr。 通常情况下，我们可以使用切线与水平面的夹角θ来表示曲面的坡度，但在这个情况下，切线方向并不是垂直于重力方向，因此不能直接使用这个角度来计算重力分量。 chatgpt 說的：）

[@maltzXD]

像布朗運動那樣，空氣份子撞擊不均也形成受力。

[@UCan927]

05:41 神尼玛牛顿亲笔签名... 😂

[@hallook7750]

错误在于，数学只是对实在的模拟，经常有很多情况数学不灵了需要增加模拟。比如说根号二的无限不循环，难道边长为1的等边直角三角形的斜边是不可测量吗😂

[@NoNameToHave]

那只能说边长肯定不是都是1，而且是在变化的。

[@leonh6538]

可测量和精度是两个问题

[@oriholy9817]

数学不是对实在的模拟。数学就是数学，跟物理世界没啥关系，只是物理世界可以用数学工具来描述。在物理世界中精度有限，注定了无法精准的测量出根号2。基础不牢，地动山摇。

[@yuanjingcheng5949]

这不是牛顿的第一推动问题么？速度改变位置，力（加速度）改变速度，那谁改变力呢？加加速度，那谁改变加加速度呢？看来量子不确定性是不是可以用来解释第一推动？

[@plus-sign]

因為這個證明是完全在經典物理學的框架內設立的，如果出現了與自身假設相矛盾的現象，就代表經典力學下的數學系統與假設不自洽。 如果今天牛頓力學只得到一個解，而量子力學也提供了另一個解，這是沒問題的，因為可以說成是「牛頓力學依然是自洽的數學系統，但它描述現實時不夠準確，而量子力學提供了更準確的解」

[@kor-pl3by]

公式不对，计算方式不对呗。那个点就是人为设定的，现实就不存在。微积分本就是人为的分而治之，加上根号和曲面，这些人为美化的设定。最后，就是理论上有多种可能性，但现实却只有一种结果。再就是，宇宙是动态变化的，而这个动态变化，人类没有办法确定出其精确时间--出现时间是随机的。所以，理论上设定的“没有力”是不存在的--合力为零，是一次测量结果，不是运动状态。第二种解，也可以看作这种思想的体现--合力为零，也有时效的。或者说“合力为零”是人为美化的结果。说到根子上就数学对“零”的定义不清：按现在，“0.9无限等于1”的方式，0也不是零了。说白了，数学上七改八改的，把自身体系搞乱了。

[@SirBBC]

应该要么一二阶就已经不可导，要么任意阶可导。这个点确实很奇怪，不是自然界会存在的点，太理想化了。

[@plus-sign]

​@@SirBBCt=T 的時侯就出現了四階導突然變化的情況 (從0跳到了1/6) 應當是因為前半段解和後半段解儘管個別都是合理的解，但其實是在該點初始條件根本不同的兩個解。把兩個解硬拼在一起當然會出問題...

[@kor-pl3by]

@@SirBBC 这种理想化的点，本就是笑话：一个啥都是零的东西，却又啥都可以参与影响。就像一个线加个点，到底是增加了长度还是没增加呢？说没增加啊，线本身就是无限点组成的。说增加啊，点是零啊。