部分積分の使いどころ〜2000京大〜

＜問題＞
関数f(x)=∫_0^x1/{1+t²} dt で定める．
(1) y = f (x) の x = 1 における法線の方程式を求めよ.
(2) (1) で求めた法線と x 軸および y = f (x) のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ.
＜ソース＞
2000 京大
＜目次＞
0:00 問題把握
0:09 (1)
1:08 (2)
＜PDF＞
数III特訓全21題 www.icloud.com...
＜使用機材＞
カメラ：iPhone 11 Pro
タブレット：iPad Pro 12.9インチ
アプリ：Good Notes 5
編集ソフト：Final Cut Pro

[@YK-gs7nm]

マジでこの人の動画分かりやすい

[@hayakuchi]

(^.^)

[@きもっちゃん-b7b]

高校生はarctanを習わないので(京大目指す人は知っている人もいるかもしれない)この解法は素晴らしいですね〜

[@くろまめスクランブル]

部分積分するの思いつかんかった

[@pml___]

y＝tan(−1)xの定積分表示であることを示してからでもいけそうですね！

[@gj8076]

本質的には同じことだが、出題の仕方からすると、部分積分というよりは、逆関数を考えさせて、台形の面積から、tanの定積分を減ずる方法を意図したのではなかろうか？

[@gj8076]

あるいは、逆関数が tan 関数と明示できなくても、∫xdy を置換積分することによって、動画内の最後の式に合流する方法かな。部分積分の図形的な意味をわかっていれば、全く同じことをしていることがわかるし、その点を聞きたかった問題な気がする。

[@hayakuchi]

GJさん、コメントありがとうございます。実はこの問題のテーマを2択で迷っていました。 「逆関数の積分」も抑えていきたいテーマなんですが、これは本日UPする最終問題で扱うことになりまして、 本動画では、より解答がシンプルになる方の「部分積分の使いどころ」をテーマにして解説させていただきました。 数学の多面性を感じますね。

[@gj8076]

@@hayakuchi なるほど。それは失礼しました。 これから、今日の分を拝見致します。

[@松尾秋良]

なるほどおって感じ

[@user-ucuc00]

この問題は京大なら簡単な方ですか？

[@hayakuchi]

難しくはない方だと思います。特に近年の易化傾向の中では、確実に取りたいレベルの問題だと思います^ - ^

[@Xx_P_xX]

arctanx