[선형대수학] 꼭 알아야 하는 기초 1 (기저, 생성, 차원, 선형독립, 선형종속)

[@bosstudyroom]

'미분방정식의 해'를 이해하기 위해 선형대수를 같이 공부하게 되면 (예를 들어) 다음과 같은 것들을 보다 원활히 이해할 수 있게 됩니다 : 제차 미분방정식에서 특성방정식을 풀어서 얻은 값들에 의해 e의 지수함수로 해의 형태를 표현하면, c1 과 c2라는 임의의 상수를 곱해서 일반해의 형태를 설정해 주어야 했습니다 이는 중첩의 원리 때문이라고만 설명드렸지만, 선형대수학의 개념으로 바라볼 때에 더 직관적이고 수학적인 이해를 할 수 있게 됩니다 :) (또한 추후에 스튀름 리우빌 이론을 스터디하게 될 때 completeness 등을 이해할 때에도, 기본적인 선형대수학 기초지식이 필요하게 됩니다)

[@parkjeongeun100]

이제서야 모든 용어의 개념이 정확히 이해가 되네요. 그동안은 머릿속에 안개가 낀 것 같았는데 연탄가스 마시고 동치미 국물 마신 듯 시원하고 개운해진 느낌입니다. 정말 대단한 능력이세요. 그럼 저는 또 다음 편으로...

[@bosstudyroom]

:) 좋은 격려의 말씀을 남겨주셔서 너무 감사합니다 ㅎㅎ

[@느끼한사자]

정말 감사드립니다.. 군전역 후 독일에서 물리학공부를 시작하게 되었는데, 독일어로 학교 강의를 듣다가 도무지 이 부분이 이해가 안가 며칠을 너무 힘들었습니다... 용어 차이도 있고해서 계속 독일어로 된 설명만 찾아봤었는데 한국어로 된 설명을 들으니 바로 이해가 가네요 ㅜ 물론 보스님이 설명을 너무 잘해주신 것도 있습니다. 앞으로 또 헷갈리는 파트가 나오면 바로 보러오겠습니다 감사합니다

[@bosstudyroom]

독일에서 물리학을 공부하시는군요 : ) 제 설명을 통해서 이해하셨다니 정말 뿌듯하고 영광입니다. 타지에서 여러가지로 고생이 많으실텐데 응원하겠습니다! 좋은 말씀 남겨주셔서 감사드려요 ㅎㅎ

[@user-mb4vb5jw7t]

와 선대는 어떤 영상을 들어도 이해가 안 갔는데 보스님 영상보고 한번에 이해가 갔어요 하나하나 친절히 알려주셔서 감사합니다 ㅜㅜ 계속 영상 기다릴게요 !! 앞으로도 많이 올려주세요 :)

[@bosstudyroom]

:) 당시에 선형대수학 개념 설명을 별도의 영상으로 올렸던 건 처음이라.. 잘 전달 드릴 수 있을지 걱정도 있었는데 남겨주신 댓글 덕분에 정말 뿌듯합니다 ㅎ_ㅎ

[@inmyroutine]

사랑합니다.....감사합니다....

[@bosstudyroom]

🙂

[@seulart2552]

1학기에 공학수학을 공부할때 이해가 제대로 되진 않았지만 억지로 쑤셔넣으며 공부하곤 했는데, 영상을 보니까 되게 흥미롭네요. 이 시리즈 끝까지 시청해서 다음학기 때는 여유롭게 공부해야겠습니다 :) 항상 감사합니다 BOS님

[@bosstudyroom]

영상을 재밌게 봐주셔서 저도 정말 감사드립니다 :)

[@인셍-z5c]

보스님 ㅠㅠ 전기회로 나와있는 강의까지 열공했더니 중간고사는 잘봤는데 강의가 없는 범위부터 독학한 기말고사는 망쳤어유 ㅠ 그래도 덕분에 A0나왔네요…. 보스님 덕분입니다🥰🥰 감사해요!!

[@bosstudyroom]

제가 바쁘더라도 영상을 더 올렸어야 했는데 ㅠ.. 수고 많으셨습니다 :) 따뜻한 댓글 남겨주셔서 정말 감사합니다 🙂

[@너구리-n7y]

아니 미적에 선형대수에 물리에 딥러닝에... 보스교수님의 능력은 대체 어디까지입니까?ㄷㄷ

[@bosstudyroom]

앗 :) 친절한 말씀으로 격려해주셔서 정말 감사합니당 🙂

[@Ynot-dr9cz]

도저히 종속 독립 개념이 이해가 안됐는데 이영상 하나로 정리됐어요ㅠ 너무 감사합니다 . BOS님은 이런 전공공부 어떻게 하셨는지 궁금합니다..혼자 책을 읽고 이해하기는 쉽지가 않네요😢

[@bosstudyroom]

좋은 피드백 주셔서 감사합니다. 저는 전공 공부할 때, 개념을 보거나 문제를 풀 때마다 '스스로 정말 정확히 이해하고 있는지'에 대해 항상 의문을 가졌던 것 같아요! 교재의 설명을 읽거나 문제를 풀다가, 무언가 제가 설명할 수 없거나 헷갈려서 걸리는 부분은 가능한 채우려고 했던 것 같습니다 : )

[@노노-r8y]

좋은 강의 감사합니다. 질문이 있습니다. 선형독립집합 S의 원소들은 기저인가요? 예를들어 S = {V1, V2} 이고, V1 = (1, 1), V2 = (1, -1) 일 때 V1과 V2는 2차원의 벡터공간을 만드는 기저라고 할 수 있는건가요?

[@bosstudyroom]

보충설명을 아래와 같이 드려볼게요. 영상에서 설명드린 것과 같이, 어떤 벡터공간의 '기저'는 1. 서로 선형독립인 원소로 구성되어 있고 2. 해당 벡터 공간을 '생성'(span) 해야 합니다. 댓글에서 예로 작성하신 S는 '2차원 유클리드 공간'의 기저라고 할 수 있습니다. 기저 S에 속하는 두 벡터 V1과 V2이 서로 선형독립이고, 그 S가 '2차원 유클리드 공간을 span'하기 때문이에요. 다만 S가 기저라고 한다면 어떤 벡터공간의 기저인지의 정보가 필요합니다. (예를 들어, 3차원 유클리드 공간에 대해서는, V1=(1,0,0), V2=(0,1,0), V3=(0,0,1)일 때 S={V1, V2, V3}가 기저가 됩니다.) +) 기저라고 부르는 것은 집합 S를 가리키는 표현이고, V1 및 V2는 (그 기저에 속하는) '벡터'로 이해하시면 됩니다 : )

[@노노-r8y]

​@@bosstudyroom답변 감사합니다. 또 다른 질문이 있습니다. 동일한 차원의 벡터공간을 생성하는 서로다른 기저 2개가 있을 때, 이 두 기저가 만드는 벡터공간은 어떤 차이가 있나요? 가령 2차원 벡터공간을 생성하는 두 기저 S1과 S2에 대해서, 기저 S1이 S1 = {V1, V2}, V1 = (1, 1), V2 = (1, -1) 이고, 기저 S2가 S2 = {V3, V4}, V3 = (1, 0), V4 = (0, 1) 일때 기저 S1과 S2가 만드는 벡터공간은 어떤 차이가 있나요? 그리고 벡터공간 생성에 관해 어떤 기저 S에 속한 선형독립인 벡터들의 선형결합(선형독립인 벡터들을 스칼라배 한 후 더하는 과정)을 통해 벡터공간을 생성(그리고 생성된 벡터공간의 차원은 기저벡터의 개수와 동일)한다고 이해했는데 제가 맞게 이해한걸까요?

[@bosstudyroom]

우선, 생성에 대해서는 잘 이해하신 것이 맞습니다. 다만 작성하신 S1과 S2는 동일한 벡터공간을 생성합니다. 그 벡터공간은 2차원 유클리드 공간이며, 참고로 한 벡터공간의 기저는 유일하지 않습니다. (1,0) 및 (0,1)과 같은 벡터로서 생성되는 좌표 평면(2차원 '유클리드' 공간)도 2차원이 되지만, 또 다른 2차원 벡터공간의 예로는 '2계 선형 상미분방정식의 해공간(벡터공간의 성질을 만족하는 해집합)'이 있습니다. 아마 이 부분을 이해하시면 차원에 대해서 보다 잘 이해하실 것 같은데, 이 부분은 제가 선형대수 2, 3편에서 설명을 드린 부분이라 참고해보셔도 좋을 것 같습니다 : )

[@랍]

그럼 만약에 (1,0,2) (0,1/2,0) (0,0,0) 인경우면 선형독립이 아닌건가요. 저것들 선형결합으로 0벡터가 나오게 하려면 c1 c2 는 0이 되어야만하지만 c3는 모든수가 될 수 있으니

[@bosstudyroom]

네 그렇습니다. 말씀하신 이유로, 영벡터를 포함하는 벡터 집합은 선형종속 입니다.

[@sup2334]

차원에서 마지막 예제에 질문이있는데요 기저는 선형독립이니깐 c1v1+c2v2+c3v3 = 0(영벡터) 각 성립이안되는 상태이므로 c1,c2,c3 = 0 (선형독립) 이여야만 한다 이건가요?

[@bosstudyroom]

네, 기저는 선형독립 이어야 하므로 c1=c2=c3=0 인 것이 맞습니다! 다만 댓글에 제가 내용을 조금 덧붙이자면, 저러한 v1,v2,v3의 선형 결합의 결과가 '영벡터와 같으려면' c1,c2,c3가 0인 것이라고 설명하는 방법이 더 낫습니다. 주어진 3개의 벡터에 대해서 영벡터의 결과를 성립하기 위해서는 c1,c2,c3가 모두 0이어야 함을 보일 수 있고 그는 곧 선형독립의 정의인 것이죠 :)

[@강녕-c1h]

17:15

[@ryantwochooii]

역시나 어지럽다