Complétion p-adique ou réelle? Le théorème d'Ostrowski

[@m9l0m6nmelkior7]

Un très joli théorème, surtout quand on regarde ensuite la complétion de Q en les nombres p-adiques !

[@ericjanbon3237]

Quelle fine analyse, je ne m’en l’Hasse pas ! 😂

[@christophebal1692]

La majuscule compte ici... Une remarque de la part de quelqu'un qui ne s'est Mi(n)kowski récemment.

[@rootbuild2028]

Vivement le p-adique

[@marsupilable]

Ce résultat dit que l'hypothèse de multiplicativité de la norme est extrêmement sévère. Dans la nature, les normes d'algèbre sont généralement sous-multiplicatives, notamment : les normes d'opérateur (norme dite triple) ou la norme infinie pour les fonctions bornées L'inégalité triangulaire fait finalement pâle figure en comparaison à la multiplicativité exacte, donc il faut pas s'étonner de se retrouver à faire de l'arithmétique. Ç'aurait été intéressant de proposer un contre-exemple de norme sous-multiplicative sur Q qui échappe à cette classification d'Ostrowski. J'imagine qu'il suffit de prendre le max entre 2 telles normes : on regarde 2^{-np(x)} et 2^{-nq(x)} et on prend le max. C'est une norme sous-multiplicative..

[@marsupilable]

Bonjour Du coup, dans la norme p adique on écrit (1/p)^np(x) mais en fait on voit qu'on peut remplacer 1/p par n'importe quel nu < 1. Donc finalement c'est un choix purement esthétique, j'imagine que c'est pour que ce soit un peu plus concret : si je veux calculer la norme 5 adique par exemple de 31/1000, je vais juste chercher le 125 au dénominateur et c'est ça la réponse.

[@philcaldero8964]

@@marsupilable la normalisation à en général quelque chose d'un peu plus que dans l'esthétique mais dans ce cas-là c'est vrai.