Continuità e Derivabilità Esercizi Classici #2

Altri esercizi svolti sulle funzioni continue e derivabili. Vedremo in particolare come comportarsi quando ci sono funzioni definite a tratti e quando ci viene chiesto di valutare la derivabilità di funzioni in cui il limite della derivata prima non esiste ;)
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[@EliaBombardelli]

APPROFONDIMENTO (per studenti universitari e appassionati): Come mai in alcuni esercizi con parametri possiamo basarci sull'analisi dei limiti destro e sinistro della derivata (se esistono) per studiare la derivabilità della funzione in x0 (e non dobbiamo invece usare per forza il limite del rapporto incrementale)? La questione è sottile e la trovate spiegata bene qui: bit.ly/3ChtFMZ

[@Tanukosauro]

I tuoi video sono oro per preparare Analisi I ! Grazie infinite! :D

[@EliaZiroldo]

Spiegazioni chiarissime che non tralasciano mai nulla! Grande, continua cosi!!

[@andreadedomenico1479]

Fantastico come al solito :D

[@corrado0084]

Sei bravissimo, mi stai salvando 2 giorni prima della verifica

[@antonella862]

Seguo tutti i video del tuo canale, riesci a rendere digeribili anche le nozioni più complesse. Grazie per la passione che ci metti e per volerla condividere con gli altri. Ho una domanda: nell'esercizio n°4, dopo aver calcolato il limite della derivata, calcoli il limite del rapporto incrementale in f(0) e fin qui ho capito il perchè, ma com'è che poi mi ritrovo il limite per h->0 di (h^2sin(1/h)-0)/h non riesco a capire il passaggio, mi potresti gentilmente chiarire? grazie mille

[@DaveHelios99]

Video utilissimo come sempre, grazie mille. Avrei però una domanda. Come mai se il limite non esiste è necessario effettuare il calcolo del rapporto incrementale? Non bastava dire che in quel punto non si ammette derivata e stop? Mi spiego meglio: quando è "affidabile" fare il limite della derivata prima e quando invece lo è applicare la definizione di derivata?

[@enrico.creator]

sei un grande

[@andreacarbone568]

ciao, scusami potresti spiegarmi come mai nel calcolare il limite tendente a 0 del rapporto incrementale x^2 sin(1/x) hai sostituito con h^2 sin(1/h) grazie mille.

[@fabio3161]

Ho una domanda: Nelle funzioni definite a tratti dopo aver verificato la continuità della funzione nel punto x con zero ,devo fare il limite dx e limite dx della derivata prima della funzione ...se entrambi i limiti mi vengono fuori che non esistono ,di quale dei due limiti devo fare il rapporto incrementale ? Oppure devo fare il rapporto incrementale di entrambi e vedere se i risultati coincidono ?

[@elettrabombardelli940]

GG Bro!

[@psycosmic6]

Ottimo!

[@epicmusiconly]

Molto bravo

[@federicaleonarda8217]

ma perché il seno viene considerata come una funzione costante mentre il coseno no? Anche il coseno oscilla tra -1 e 1! Non lo capisco :( ti prego rispondimiii

[@ss-be6co]

grazie tanto!

[@davideal7735]

Grandissimo! Solo una curiosità. Nel primo esercizio visto che la continuità è necessaria per la derivabilità e ho capito che b=5, avrei potuto imporlo direttamente e considerare solo il valore del parametro a per la derivabilità?

[@omarnaja8415]

Sisi certamente. O altrimenti possono venirti fuori esercizi in cui è derivabile per ogni b ma continua in b=5. In quel caso se non ti ricordi il legame che c'è tra continuità e derivabilità l'esercizio è sbagliato. Quindi vai sul sicuro e sostituisci subito il parametro appena lo trovi

[@GiuseppeGiu96]

domani c'è la seconda prova, mi sta bastando vedere i video cardine come questo per fare un intero ripasso,spero che sara utile per domani:P grazie :)

[@EliaBombardelli]

Giuseppe Giu andata bene? =) Se possono esserti utili, sulla pagina Facebook del canale ho linkato 2 versioni affidabili delle soluzioni

[@GiuseppeGiu96]

non proprio,il problema due mi ha bloccato per 4 ore nel tentativo di trovare f(X) usando le varie aree e i punti stazionari ma niente :( poi mi sono demoralizzato,e stanco ho fatto i quesiti a come mi venivano :(

[@NicotheDrummer88]

Ciao volevo chiederti un chiarimento...hai detto che il limite della funzione coseno (1/x) non esiste in quanto 1/x per x-->0 fa infinito e la funzione coseno è una funzione periodica che oscilla tra -1 e 1. Ora mi chiedo, ma la funzione seno non gode dello stesso principio?? non è sempre una funzione periodica e limitata tra -1 e 1??

[@EliaBombardelli]

NicotheDrummer88 si, anche la funzione seno ha lo stesso problema, però il 2x moltiplicato davanti fa si che quel "pezzo" di derivata tenda a 0 e dunque non crei particolari problemi. Si può infatti dimostrare facilmente che se moltiplichi una quantità limitata (il seno, nel nostro caso) per una che tende a 0 (il 2x, nel nostro caso), il risultato tende a 0. Il coseno invece, non essendo nell'esempio considerato moltiplicato per quantità infinitesime, resta una quantità oscillante il cui limite non esiste. Spero sia più chiaro. Un saluto =)

[@adrianobianchi2853]

LessThan3Math grande, avevo lo stesso dubbio

[@gigetta9650]

LessThan3Math ma la x che si moltiplica con il 2 prima del seno non si può semplificare con la x che c' è al denominatore dell' argomento del seno come hai fatto con l' x^2 dove c'è il coseno?

[@Lewstherin666]

+Gigetta 96 Attenzione: il x^2 che semplifica, non lo semplifica con il coseno!! Una cosa del genere non si può fare!! Il x^2 che c'è nella seconda parte lo semplifica con il x^2 che c'è al denominatore di (-1/x^2). (-1/x^2) è la derivata di (1/x)! Sostanzialmente quando calcola la derivata della funzione, avviene il seguente procedimento: Derivata = d, x^2 = A, sin(1/x) = B, 1/x = C Quindi f(x)=(x^2*sin(1/x) = f(x) = (A*B(C)) derivata di (A*B) = (dA * B + A * dB * dC). Come vedi, i primi quattro termini sono il risultato del prodotto tra derivate (A,B). Tuttavia, B(C) è una funzione composta! E quando abbiamo una funzione composta, oltre a calcolare la derivata di B, dobbiamo anche moltiplicarla per la derivata di C! Ora, siccome dobbiamo eseguire la moltiplicazione prima di tutti gli altri calcoli, ne risulta che dobbiamo anzitutto moltiplicare la seconda parte di ciò che ho scritto sopra, cioè (A * dB * dC). Se andiamo a sostituire, risulterà: (A=x^2), (dB=cos(1/x)), (dC=-1/x^2), quindi: (x^2 * cos(1/x) * -1/x^2). Come vedi, dunque, semplificherà (A=x^2) con (dC=-1/x^2)! Segui questo link e vedrai l'espressione scritta bene: www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E2*cos%281%2Fx%29*%28-1%2Fx%5E2%29%29

[@gees7639]

ottimo

[@redegliangmar1]

ma perchè la derivata di asin2x-4 da 2acos2x? Non dovrebbe fare acos2x? oppure acos2? Grazie!

[@antonioaiello1956]

Cerco di aiutarti io, nonostante il ritardo. La derivata di una costante è zero (0), quindi la derivata di (a) è 0 così come la derivata di 4 è uguale a zero (0). La derivata della funzione composta sin(2x) è : cos(2x) * 2 quindi in definitiva la derivata del prodotto a*sin(2x) è uguale ad : a'*sin(2x) + sin(2x)'*a = 0*sin(2x) + cos(2x)*2*a = 2acos2x. Spero di esserti stato utile. Ciao

[@niccoloventuri6294]

bravo

[@pedramentezarghofran5653]

scusa una domanda la derivata del a. sin2x non é uguale a sin2x+acos2x ?

[@antonioaiello1956]

No. Devi guardare la derivata della funzione composta. La derivata di una costante è zero (0), quindi la derivata di (a) è 0 così come la derivata di 4 è uguale a zero (0). La derivata della funzione composta sin(2x) è : cos(2x) * 2 quindi in definitiva la derivata del prodotto a*sin(2x) è uguale ad : a'*sin(2x) + sin(2x)'*a = 0*sin(2x) + cos(2x)*2*a = 2acos2x. Spero di esserti stato utile. Ciao

[@enricosilvestri224]

E se al posto di sen1/x c'era la tan1/x? La tangente mica è una funzione limitata?

[@96giovinco20]

Raga ma quando calcola la continuita sin (1/x) che tende a 0 1/x nn fa seno di infinito ??

[@lucasanfilippo5370]

Ciao Elia, ti ho già scritto un commento simile.. mai fatte le derivate alle superiori dello scientifico.. dici che è materia di esame, io mo sono diplomata nel 2000, possibile che siano state inserite dopo? Cioè, per essere chiari, ne ho avuti di insegnanti cani, però se le avessimo fatte lo ricorderei..

[@DoppiaD97]

Ragazzi ma nell'esempio 4, se diciamo che x^2*sen(1/x) tende a zero, come mai cos(1/x) non esiste?

[@EliaBombardelli]

in x^2*sen(1/x) c'è x^2 che tende a 0, mentre sen(1/x) sai che è limitato tra -1 e 1 : per questo il loro prodotto, che sarebbe il prodotto tra una quantità infinitesima ed una limitata, tende a 0. Se invece consideri solo cos(1/x), sai solo che sta tra -1 ed 1, nulla di più, quindi il suo limite non esiste. Spero sia più chiaro, un saluto =)

[@DoppiaD97]

Grazie mi stai salvando per la maturità xD

[@belazent]

+LessThan3Math non ho ancora capito.... Potresti spiegarmelo in un'altro modo? 🙏🏻😔

[@bondonsbagnini1892]

ciaone prof :D mi scuso se oggi ho fatto il cattivo a scuola :( volelo dirle che è un vero pro :D

[@ilaria9271]

Ma hai lui come prof? Come siete fortunati, che invidia!! =)

[@bondonsbagnini1892]

si girl...il piu figo di sempre :D

[@fernandoartese3029]

Salve, come mai abbiamo evitato il limite destro e sinistro del rapporto incrementale nel primo esercizio?

[@davideal7735]

Penso per non complicarci la vita. È più facile e veloce usare le regole di derivazione rispetto al limite del rapporto incrementale

[@michelemi2337]

ciao ragazzi! io non capisco perché il cos(infinito) non esiste mentre in sen(infinito) oscilla tra -1 ed 1.

[@samuelmaso98]

+Michele mi Se oscilla tra -1 e 1 non esiste, il valore infatti non è univoco e quindi non possiamo dire se tenda a 1 o a -1, di conseguenza diremo che non esiste.

[@kozlovful]

Ciao ragazzi, qualcuno mi può spiegare come fa la derivata di quella funzione composta? Non riesco a trovarmi.

[@EliaBombardelli]

Ciao Fabio, se scorri nella playlist ho un video apposito sul come fare quel tipo di derivate =) Un saluto

[@kozlovful]

Grazie, ho risolto. Sei sempre il migliore!

[@gerryscottato]

ma anche sin x ha un valore infinito, perchè questo vale ma il coseno invece no?

[@fraaaancesco]

Perché se moltiplicato per uno zero zero il risultato fa zero. Si dimostra con il teorema dei carabinieri (o teorema del confronto)

[@MrTjstefan]

ciao ragazzi qualcuno è in grado di spiegarmi come da lim h>0 f(0+h) - f(0) /h si arriva a lim h>0 h2 sin(1/h)-0 / h ? grazie.