Décomposition en Éléments Simples d'une Fraction Rationnelle ✨️

Décomposition en éléments simples
J'explique la méthode pour transformer une fraction rationnelle en sa forme décomposée en éléments simples.
Etape 0: S'assurer que le degré du numérateur est strictement plus petit que le degré du dénominateur. Sinon, faire la division euclidienne du numérateur par le dénominateur et séparer la fraction pour libérer le terme R/D, qui lui vérifiera la condition des degrés.
Etape 1: Chercher les racines du dénominateur et le factoriser au maximum sur R ou C. Pour R on se retrouver avec des termes X-a avec des puissances éventuellement et des polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif.
Etape 2: Ecrire la fraction rationnelle F(X) comme somme selon la méthode indiquée dans la vidéo. Utiliser l'évaluation en les pôles après avoir multiplié par les facteurs adéquats ou avoir soustrait les pôles dont les coefficients ont déjà été trouvés.
On obtient ainsi une belle décomposition en éléments simples.
Cette forme est très utile pour la primitivation ou pour des transformées de Laplace inverse.
Notions: polynôme, fraction irréductible, fraction rationnelle, racine, factorisation, limite, évaluation, corps, réel, complexe, partie réelle, partie imaginaire, dérivée, degré, discriminant, décomposition, pôle.
Niveaux: sup (mpsi, mpi, pcsi, bcpst, ece, bl), 2ème année de fac (licence 1 et 2), mais utile aussi en spé et pour les concours. La plupart des notions abordées dans la vidéo peuvent être comprises par un terminale à l'aise avec le calcul intégral.
#fraction #polynome #formule #algebra #quotient