【代数的整数論入門】代数体からℂへの準同型写像

[@ramnie6999]

16:13 この時点で ・σ(α)の値が決まればσが決まる ・σ(α)の値は最小多項式f_αの根である ・f_αの根はちょうどn個ある が示されている訳ですが、これだけではσがちょうどn個あることは導かれなくないですか？ 「f_αの根γがあって、σ(α)=γとなる準同型σが存在しない」という可能性が排除できていない気がします。

[@趣味で数学をやっている者-g1b]

そうですね。「写像の存在」を示す定理は一般に高級な定理です。 実際には、α'をαの共役とし、 Q[x]→Q[α] Q[x]→Q[α'] を代入写像とすると、準同型定理より Q[x]/(f)とQ[α]とQ[α']は同型となり、 ここから得られる同型はαをα'に写します。 ただしfはα,α'の最小多項式です。 Q[α]=Q(α) Q[α']=Q(α') なので、結局Q(α)からQ(α')へのαをα'に写す準同型が存在することがわかります。

[@ならずもの-v5b]

共役元どうしを入れ替えると準同型が導かれるやつ，permutationモデルみを感じる