東大 座標上の鋭角三角形

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[@kantaro1966]

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[@hiroakinakajima]

(2)の左辺はa(m+n)(m+n-1)+(1-a)m(m-1)+(a^2-a+b^2)n^2と変形できます。また(1)からa, 1-a, a^2-a+b^2 はすべて正(しかも０にならない)です。動画内の説明の通りtを整数としてt(t-1)≧0は常に成り立ち、n^2≧0なので左辺≧0が言えます。問題は等号成立条件ですが、上の変形から等号成立は(m+n)(m+n-1)=0かつm(m-1)=0かつn^2=0のときかつそのときに限ります。3番目の条件からn=0となりそれを1番目に代入すると2番目の条件と同じになるので、mの条件はm(m-1)=0すなわちm=0またはm=1となります。よって等号成立条件はm=n=0またはm=1かつn=0、かつそれらのときに限るとなります。

[@aotanuki-q2x]

京大は、等面四面体が存在するときその面は鋭角三角形であることを示せ。っていう問題ありましたね。直方体に配置できることを知ってれば簡単なんだけど難しい

[@amethyst9505]

掌握でやったなぁ。領域の包括関係 条件を満たすa.b.において常に題意を満たすならば、a^2-a+b^2＞0が(m+na)^2-(m+na)+(nb)^2≧0の十分条件になる

[@ほう砲]

東大かどこかの複素数の鋭角条件の問題で同じような答えになるのがありましたね

[@Eikokunegi]

10:24で等号にならないと言っていますが、n=0の場合、等号になる可能性があります。

[@あん-h6z]

そこまで気にすんなwwwwwww

[@ああああ-p1u]

2^10

[@coscos3060]

xが整数なら　ⅹ^2－ⅹ≧０　がポイントです　　易しいようで奥深い良問です。

[@のぶもと-t3r]

こんばんは。 いい問題ですね。図を使ったa,bの条件不等式の説明がとても分かりやすかったです。

[@さく-r3h]

最初に図形を考えて答えは見えましたが結局余弦定理で答えを出してしまいました。。。 鋭角の条件を簡単に不等式で示せるのはとても便利ですね。受験生なのに恥ずかしながらうまく扱えていませんでした。。 毎日とても学びになります。

[@中村吉郎]

さすがに東大の入試問題です。式と図形の結びつきを良く考えて、解いて行く過程は独特でした。 　また分析力、思考力等が、問われる奥の深い問題であることが実感出来ました。 　ありがとうございました。

[@井上成美-m8s]

おはようございます。（１）は貫太郎さんと同じで、幾何的な証明を文章で書いてみました。点Ｑが円周内にある場合、鈍角であることの証明は必要でしょうか？証明しておけば安心ですが。部分点でどれだけ取れるかです。（２）は計算を進めましたが、袋小路で行き止まりにぶち当たりました。a^2-a+b＞0をどの様に使うかがポイントでした。貫太郎さんのヒントを聞き何とかやってみました。東大の問題は歯ごたえがありすぎですね。明日もよろしくお願いします。

[@jalmar40298]

ぱっと見で(1)が円周角の定理の逆で示せることに気づけたので今日は少し冴えてる (2)は拡大と平行移動で、a,bが(1)の条件を満たすときO'(m,0),P'(m+n,0)とおくと Q'(m+na,nb)は△O'P'Q'が鋭角三角形になる領域を動く（n≠0のとき） 求めたいのはこのQ'がOPを直径とする円の周もしくは外部にあることである 実際この時は常に外部にある n=0のときはO'(m,0)がOPを直径とする円の周もしくは外部にあることを示せばよいが、これは明らか 特に等号成立は円の周にある時なので「(m,n)=(0,0),(1,0)のとき((1)の条件を満たす)任意のa,b」となる

[@vacuumcarexpo]

俺もベクトルを使って、拡大と平行移動でやったのですが、こっちの方が簡単じゃ～ん（笑）❗…っていうか、本質を突いている。 俺のはただ、ベクトルに置き換えて計算しただけで、本質を理解してはいなかった。結構、苦労したのにダメだわ～（笑）。

[@vacuumcarexpo]

（1）は貫太郎方式でやったんだけど、（2）のm+naが図形的に何か意味あるのか悩んだ結果、ちょっと遅くなっちゃった。 ベクトル(p→)＝(1,0)、ベクトル(q→)＝(a,b)と置くと、 (m+na)^2－(m+na)+n^2･b^2 ＝｜m(p→)+n(q→)｜^2－｜p→｜･｜m(p→)+n(q→)｜ ＝((m－1)(p→)+n(q→))･(m(p→)+n(q→))と書ける。 (p→)≠(0→)、b≠0より、(q→)≠(0→)かつ(p→)と(q→)は平行ではないので、(p→)と(q→)は一次独立。 よって、(m－1)(p→)+n(q→)とm(p→)+n(q→)はn≠0の時、一次独立。 以下、簡便のため、ベクトルp,qはそのまま書く事にする。 よって、((m－1)p+nq)･(mp+nq)≧0を示せば良い事になる。 n＝0の時は、m(m－1)≧0（∵｜p｜＝1かつm∈Z）より、題意を満たすので、以下n≠0の場合を考える。 つまり、ベクトル(m－1)p+nqとベクトルmp+nqの成す角が直角以下であれば良い。 円周角の定理より、位置ベクトル(m－1)p+nqと位置ベクトルmp+nqで表される点を結んだ線分の中点を中心として、半径1/2の円周の外側に原点があれば良い（但し、円周上を含む）。 即ち、｜(m－1/2)p+nq｜≧1/2…①を示せば良い。 （1）の条件をベクトル表示すると、 0((m－1/2)^2)｜p｜^2+n(2m+n－1)p･q。 ｜p｜＝1、00。 n＝0の時、上式の等号が成立するので、 ((m－1)p+nq)･(mp+nq)≧0。 ∴(m+na)^2－(m+na)+n^2･b^2≧0。 こんなのはどうでしょうか？

[@ryotaro6792]

鋭角条件は、cosθ>0より各内積>0としてもコンパクトに求めることが出来ますね。

[@PC三太郎]

予告していた期間内ではあるも、きょうは所用が立て込んだため、このような夜になってからの動画視聴ならびに答案のPDFアップとなりました。遅れてすみません。 note.com/pc3taro/n/nd8c1933eb2c2

[@いいいあああ-r8g]

サムネに惹かれました。 これから毎日お願いします。

[@ポカ偽物]

一次関数の最大最小は両端を調べれば良い 意外と使える

[@user-changchang]

最大値、最小値は極値か端点ってやつですな

[@taishi4743]

今日もありがとうございます！ (2)b^2>a-a^2を使う前になぜかnの値で場合分けして泥沼にはまりました…

[@とっち-o8n]

→は、ベクトルとする。r→=mp→＋nqとすると、rの座標が、(m＋na、nb)となり、rの座礁が円の外にあることを示せばよく、rの座標を考えると、o、mp→の点、nb→の点とする平行四辺形の残りの頂点となり、mとnが整数なら円の外にあるのは、当たり前なんだけど、どこまで論理的に証明書けるかだけな気がする。

[@ああ-z3h3f]

0

[@ak12456]

手首、すんごい曲がっている☺サムネの貫太郎さん

[@へその緒食べたい]

(1)自分も図形的にやりました (2)おもしろい 貫太郎さん頭良い

[@wasabi7thv]

こんばんは(^-^)/ ２回め受講＆👍️済みです！ サムネ、可愛くて好きです(^^)。 HPもすごく見やすく利用しやすいですね。最新のTwitterも確認できるのも良いです(^^)d。 新しいTシャツデザインを、もしご検討中でしたら、将棋デザイン、もしくは数学と将棋を合わせたデザインとか、貫太郎先生らしさがあるTシャツ、欲しいなぁ♪、と思ってます。

[@hiroyukimatsumoto9257]

内積アプローチで解きました。図示すればなんとなく見えますね。 円周角の定理の定理ではっ!となりました 2は必要条件の議論ができるか試したかったのですかね…

[@tikin315]

可愛いサムネだ

[@ゆーと-k3b]

(1)すぐ図形的にいけるって気づけた！うれしい！

[@yamachanhangyo]

これって、まさに♪Sin,cos何になる～～って問題ですねｗ というか、もう与式を見たとたんに図形で考えた方がよさそうな雰囲気がビンビンで、逆に東大らしからぬ問題かと。 この問題を灘や開成を受験しようかという中学生に渡したら、そっちの方が瞬殺で解きそう。 どっちかというと(2)の方が本番という出題のように思えます。

[@yo.9146]

文系の問題ですが、難しい。掌握でやったとき、解けきれなかった。(高2のとき)

[@coscos3060]

中学で習う円周角が役立つことに驚きました。余弦定理などで考えずとも😉

[@鈴木康司-h1c]

原点中に点Qの境界にある円をn倍して、横にmだけ平行移動すると、もとの円の外にあるので、与式は成り立つ。という事になるでしょうか。後味悪いけど👎。

[@hakusyoon9638]

(1)でb^2>1/4が得られるので (2)は判別式使うと良さそうです！

[@kantaro1966]

b^2>1/4は必ず成り立つわけではありません。b

[@aa.4758]

Theme1ー2例題　全称証明の鉄則②の領域で考える、の問題だ！（同じ本やってる人はわかる）

[@ironia006]

(1)は余弦定理から想像できたけど、(2)で(1)の結果を利用しようと考えてもよく分からんかった

[@mips70831]

一日遅れのおはようございます。 土曜日は猫の動物病院の日。嫌がる猫（病院が好きな猫はまず居ないでしょうが）を病院に連れて行くのは精神的に疲れる作業ですし、このところの不規則な生活でかなり睡眠不足気味だったのでほぼ完全休養日にしてしまいました。（一応、午前中に問題を確認して解法は頭の片隅で考えておりましたが。） (1) は余弦定理を使いました。青チャなどにも鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形 になる場合が記載されていますすが、一々覚えておくほどではない。 かと言って貫太郎先生と同じ考え方をすると、脳みそ未整理な私の場合判断を誤ってしまいがち、ということで三つの角のコサインが正になればいいという考え方で導きました。 cos○＝ の形にすると分母が発生しますが2辺の長さの積ですから正負の判定は分子のみを考慮すればいいので楽です。 もっとも、貫太郎先生と同じように図形的な考察も行いました。 (2)は貫太郎先生と同じように評価していきましたが、最後の1次関数とみなして定義入りの両端の値を代入して判断するという発想には至りませんでした。 未熟です。 本日も勉強になりました。ありがとうございました。

[@otegons]

掌握の問題だぁ〜難しいですね😇

[@HachiKaduki0501]

おはようございます。 （１）は、図示するだけだったら中学生でも解けるってことですね。 東大を受けるような子だったら、ちょっと考えれば不等式でも表すことができるでしょうけれど、…。

[@江戸川こなん-g2y]

図示した後に、境界線について書かないと減点 されるやつですかね。数式より図形で説いた方が 早い問題ですね。

[@user-ih1qy2zd8t]

ある程度の難易度の問題は解けるのですが、共通の数学(模試)が全然解けません。 実生活に結びつけられてたり誘導とかに上手く乗れないです。 どう勉強するべきでしょうか

[@amethyst9505]

ある程度の難易度とけて共通の数学解けないってことあるんですか？

[@中村吉郎]

突然失礼します。 　小生元中学校数学教師です。64歳にして、受験数学の経験が皆無です。 　そこで、貫太郎先生から数学を教えて頂き、数学の学び直しをさせて頂いている者です。 　 　大変失礼ながら、貴殿の詳しい状況が、良く分かりません。 　しかし、課題となっている問題について、解法の研究を重ねて行けば、道は開けるのではないでしょうか。 　なぜならば、私は夜間大学4年生の時から、教員採用試験対策のため、大学入試の数学の問題を独学で悪戦苦闘、孤軍奮闘して、少しだけ学びました。 　大学を卒業してから、二度目の教員採用試験に背水の陣で臨みました。 　その時に、大学入試問題集を使って、本格的に学び半分程度の問題の解法のポイントを理解して、なんとか解くコツを掴むことが出来ました。 　そのお蔭で、ビリで教員採用試験に合格させて頂き、数学教師の端くれと成りました。 　 　有難いことです。その方法は、分からない問題は、解説を見て問題の解法の急所（問題を解く上での最大の鍵）を、じっくり時間をかけて、掴み理解するようにしたところ、お蔭様でかなり力がついて来ました。教員採用試験で、勉強した問題と、酷似した問題が出題されました。 　やはり、入試問題レベルの問題を、かなりの数をこなして行かないと応用力も、備わらないのかも知れません。 　私の拙い学習経験や、中学生を37年間指導した経験からも、基礎をしっかり固め、応用力をつける努力を根気強く重ねることが、不可欠のようです。　 　長々と、拙いことを述べさせて頂きました。恐縮しております。 　以上は、私の拙い個人的な考えです。ご承知下さい。 　貴殿のますますのご活躍とご健勝を、陰ながら、祈っています。

[@鈴木康司-h1c]

多くの受験正も、あなたと同じように焦ってると思います。あの長い長文に付き合っているとイライラします。ただ、数ページにわたる長い文章、誘導の問題も、全体の多くても3割程度ではありませんか？それ以外は、センターの時よりは、傾向は変わっていますが、公式が分かっているか、視点を変えられるか、別解を理解出来るか、などを聞いてきます。そして計算量も減っています。長いのは慣れるしかありません。それ以外の問題をまず練習して解けるようにして見ては？模試で解けなかった短文問題が、何故解けなかったかを考えてみて下さい。今迄抜けていた所が多いのでは。で、もう一度、参考書で細かい点を確認してみたらどうでしょうか。長文は、某塾の、比例代表並立制の問題みたいなのは、諦めるくらいでもいいかも。

[@user-ih1qy2zd8t]

@@鈴木康司-h1c ありがとうございます。 傾向は変わっていますがセンター過去問を解くのはありなのでしょうか。

[@鈴木康司-h1c]

俺お前より頭悪いけど、 センター過去問は、あまり意味が無いと思います。とにかく問題の質が変わってしまったようですから。

[@yamada9402]

内積からcosを求め、 cosα>0 cosβ>0 cosγ>0 としたら(１)が出来ました。 この時、cos

[@amethyst9505]

その条件は実質三角形の成立条件に一致しますが、b≠0なので自動的に満たされます

[@kawamotokoji45]

cos>1ということは引数が実数である限りあり得ない cos=1ということは角度が0(+2nπ、nは整数だけど実質的には0に等しい)ということだから3点が一直線上に並ぶということになり三角形にならない まあ結果的にはQがx軸上にあることになり範囲外となるので考慮する必要が無くなるわけですが 追加 またその場合、3点が相異なる場合に限定すれば他の2角のうちいずれかがπ(180°)となるので自動的に鋭角三角形の条件を満たさなくなります

[@yamada9402]

@@kawamotokoji45 ありがとうございます

[@あい-n6w1c]

サムネのインパクト笑

[@KT-tb7xm]

(１)でOPを直径とした円を考えれば良いってのは同じこと思いつきました。 (2)は動画のような代数的処理の上手い方法が思い浮かばず，図的に処理しました。 文章だと書きづらいんですが，可能な限り記述してみます。 以降，とりあえず n > 0に限定して話を進める。 題意の不等式を変形すると 　{ (m+na) - 1/2 }^2+(nb)^2 ≧ (1/2)^2 ⇔　{na + (m-1/2)}^2 + (nb)^2 ≧ (1/2)^2 ここで，A=na，B=nbという新たなAB座標平面を定義すると 　{A + (m-1/2)}^2 + B^2 ≧ (1/2)^2……① つまり，題意の不等式はAB平面上において， 　中心( m-1/2 , 0 )，半径1/2の円（円Cとする）より外側　※領域①とする の領域を表現していると見なせる。 一方，(1)の解答として得られた不等式の両辺をn^2倍して変形すると 　( a - 1/2)^2 + b^2 > (1/2)^2　かつ　0 < a < 1 ⇔　(na - n/2)^2 + (nb)^2 > (n/2)^2　 かつ　0 < na < n ⇔　(A - n/2)^2 + B^2 > (n/2)^2　かつ　0 < A < n……② つまり，(1)で得た不等式は，AB平面上において， 　中心( n/2 , 0)，半径n/2の円の外側（円Dとする）　かつ　0 < A < n　※領域②とする の領域を表現していると見なせる。 つまり，領域②全体が必ず領域①（境界含む）に含まれることを示せれば良い。 ここで円Cの中心は必ずA軸上にあり，中心( m-1/2 , 0 )，半径1/2であることから，A軸と円Cとの交点の座標は( m , 0 )と( m-1 , 0 )であり格子点となる。さらに，中心座標は必ず「整数－1/2」である。 一方，円Dの中心もまた必ずA軸上にあり，中心( n/2 , 0 )，半径n/2であることから，A軸と円Dとの交点の座標は( 0 , 0 )と( n , 0 )であり，格子点となる。つまり，円Cと円Dが部分的に重なり合うことはなく，必ず円C全体が円Dの内部にあるか，もしくは全体が外部にあるかのどちらかである。 まとめると， [1]円C全体が円Dの内部にある場合 　円Dの外側　⇒　円Cの外側　　が成立するため，題意を満たす [2]円C全体が円Dの外部にある場合 　円Dの外側　かつ　0 < A < n　⇒　円Cの外側　が成立するため，題意を満たす 次に ，n < 0 について考える。 [1]B軸について 上記の議論に描いた図形は全てA軸対象であるため，AB平面をA軸対象でひっくり返せば同じ議論が成立する。 [2]A軸について 円Dは必ず原点においてB軸と接し，かつA軸とのもう1つの交点も格子点である。また，円Cは必ず，中心をA軸上に持っていて，かつA軸上の直径の両端のA座標が格子点である。この関係は「第一象限＋第三象限」と「第二象限＋第四象限」が入れ替っても変化がないため，同じ議論が成立する。 n=0の時は，題意の不等式に代入すると m^2 - m ≧ 0 であり，これは動画でもあったとおり，mが整数なら成立する。 以上より，題意は証明された。

[@coscos3060]

How　precious this solution is ! OPを直径とした円など絶対思いつきません、こういうことが数学のセンスのあるか ないか の差ですよ

[@KT-tb7xm]

@@coscos3060 さん ありがとうございます😊 中学生的な発想が役に立つケースですね😊

[@sisterray4490]

元の式で等号成立をしなくても大丈夫でしょうか？

[@受験生大学]

おはようございます。今日は、東京大学なのですね。

[@user-rv7kc4gg3y]

おはようございます☀

[@地学基礎マスター]

👍

[@とまとまと-k6r]

これ三角形成立条件の検討要らんしまだ楽

[@とまとまと-k6r]

(2)a,bの円と見て中心と半径の議論で無理そうやったからa=0,1 b=0が外にいるでやったンゴ

[@とまとまと-k6r]

まぁ式で見るか図形で見るかやからやってる事同じやけど

[@まてまてぃか-m9g]

僕は7:00らへんのところは方べきでやりましたー

[@yamada9402]

(2)は平方完成したらすぐでした

[@エグゼクティブマドカ]

サムネawwww

[@中村吉郎]

おはようございます。散歩中に、あることに気付きました。 　私は、15歳で社会人となり61歳まで働きました。全ての勤務先が、国立高専(実験副手)、国立理工系大学(事務官)、中学校(数学教師)と、学校であることに気付きました。 　そこで、たくさんの数学の先生にも、お会いしました。 　また、夜間大学(理学部第二部数学科)で、学んだので、そこでもたくさんの個性的な数学の先生と、出会いました。感謝しています。 　貫太郎先生と、奇跡の出会いをさせて頂き感謝します。 　失礼ながら、貫太郎先生は、真の数学の先生です。研究熱心で情熱を持って、数学を楽しみながら、教えて下さるので、私はとても勉強になります。 　さぁ、数学を楽しんで勉強します。

[@地学基礎マスター]

さぁ、数学を勉強します

[@中村吉郎]

@@地学基礎マスター 様　貴殿のますますのご活躍とご健勝を、祈っています。 　ありがとうございました。

[@dorash______]

サムネミス？

[@kantaro1966]

どこですか？

[@dorash______]

点Oの座標が抜けていると思います

[@youtsube09]

サムネ、何か、イラっとするなぁw