【東京帝國大學】本当に入試に出た積分の難問【戦前入試問題】

[@884]

【東京帝國大學の入試数学が書籍になりました】 東京帝國大學の入試問題 100 題と林のオリジナル解説をまとめた書籍が出版されました！数学好きの方ならきっと楽しめると思います。ぜひお読みください。 “100年前の東大入試数学 ディープすぎる難問・奇問100” amzn.to/3d39zgN

[@宇東の健男児]

ちょうど知りたかったことを丁寧に教えてくれて嬉しい！！ 宿題やってきます！

[@884]

お役に立てたようでよかったです！ 宿題の問題はかなり難しいですが，ぜひトライしてみてください。

[@らん-f5d]

キンプロ知ってたのでサクサク解けました〜！

[@884]

つよい

[@884]

みなさん，こんばんは！今回は，昭和10年の東大入試より，定積分の問題をご紹介。 ただの有理関数や三角関数だけの式の積分は簡単なのですが，今回はごちゃ混ぜになっており，見るからに難しいです。 実際，ほとんどの人がこの積分を計算できないのではないでしょうか。（難問として有名なので，その意味で知っている人はいると思いますが。） この動画では，いきなり問題の解説に入らず，ある種の対称性を有する関数の積分に便利な King Property と呼ばれる公式についてご紹介します。 当たり前といえば当たり前の式なのですが，今回の積分もこの King Property を利用することで計算ができるのです。 被積分関数の x 以外が，x = π/2 に関して対称的であるのがポイント。 その成立を利用し，x → π - x と変換することで，解決の糸口が見えてきます。 うまく x を消すことができたら，あとは三角関数の有理関数の積分をするだけです。 面倒に見える式でしたが，答えはかなり綺麗になりました。 この積分，今となっては知っている人もそこそこいますが，当時全くのノーヒントで東大入試に出たんです。 果たして，当時の受験生のうち何人がこれを解けたのでしょうか......

[@9cmParabellum]

一応AKITOメソッドでも紹介はされていましたが、いきなり積分区間を2倍にする、あんな突拍子も無い発想は我々素人には到底無理なので、素人なりに順当に考えます。　 K=∫[0, π/2, log(sin(x))dx] この時点で積分値が負であることは意識しておくと良いでしょう。 0超1未満で対数は負を返しますからね。 置換積分で K=∫[0, π/2, log(sin(x))dx]=∫[0, π/2, log(cos(x))dx]を示すことは楽です。 ガワの和を中身の積に変換できるのが対数の利点です。全乗っかりしましょう。 2K=∫[0, π/2, log(sin(x)cos(x))dx] =∫[0, π/2, log((1/2)sin(2x))dx] =∫[0, π/2, (-log(2) +log(sin(2x)))dx] =(-π/2)log(2) +∫[0, π, (1/2)log(sin(x))dx] (∵2x=tで置換積分) ここでy=log(sin(x))はx=π/2に対して線対称なので ∫[0, π, log(sin(x))dx]=2K よって上記式は 2K=(-π/2)log(2) +Kとなり K=(-π/2)log(2)が示された。

[@884]

sin の積分と cos の積分が等しいことを利用して 2K=∫[0, π/2, log(sin(x)cos(x))dx] とするのもなかなかアクロバティックな方法だと思いますよ笑 でも，わかりやすい解法ですね！

[@176nerimar4]

最後のはKingProperty使ってlog(sinxcosx) = log(sin2x) - log2として、あとはlog(sin2x)の定積分＝Kを示せばいいのかな。

[@884]

それが一案ですね！

[@おお-z4g]

キングプロパティも教科書に載ってるかどうか微妙なラインですね ∫sinx/(1+(cosx)^2)dxで邪魔なsinxをt=cosxの置換で消せるってのが思いつきませんでした…

[@884]

言われれば当たり前なのですが，意外と忘れちゃいますよね。

[@user-gfhgfhthtfhtgd]

king property ってヨビノリが勝手に呼んでるものだと思ってたけど違うんか

[@884]

海外の動画では，King Property とか King Rule と呼ばれていますね。

[@M47H0iz7]

∫[0→π]xf(sinx)dx=(π/2)∫[0→π]f(sinx)dx にそんな名前が付いてたんだ

[@くどむん]

どの動画みてもking propertyの語源分からないよね笑笑

[@HirotoCB4]

King Propertyは色々な方が積分テクニックとして紹介されていますが、その奥深さが改めてわかった気がします。

[@884]

いきなり King Property で問題を解いて終わり，でもよかったのですが，被積分関数がどういう性質を満たすときに King Property が効果的なのかを整理できた方が役に立つと思い，いくつかのパターンや例題とともに詳しく説明してみました！

[@ぺるちゃん-b4j]

ずっと疑問だったんですが∫1/(1+t^2)dt の不定積分について、大学入試の答案ではarctan(t)+C、tan^-1(t)+C、arctan(t)やtan^-1(t)を用いずに置換積分して答えるのうちどれが最適でしょうか。

[@884]

お分かりのことと思いますが，そもそも大学入試で逆三角関数は範囲外であるため，arctan を用いる必要性はありません。 そして，arctan を用いないと答えが書けないということもないはずです。つまり，x: 1 → √3 のような定積分で出題されるということですね。 ただ，使ってはいけない，ということもないはずです。明確な良し悪しはなく，どちらでも問題ない，というのが僕の考えです。 まとめると ▶︎ 解答に arctan が必要なことはないはず ▶︎ 定積分で，途中過程で使う機会はある ▶︎ 使ったところで減点対象にはならないと思う という感じですね。 ※ tan の逆関数を f(x) として，f(x) を用いて不定積分を書け，みたいな問題が（誘導付きで）出題される可能性はあります。

[@ぺるちゃん-b4j]

返信ありがとうございます！なるほどです！ちなみになんですが、以前あげた動画について疑問に思うことが多々あるんですが、コメントした際にはご返信はいただけますか？？

[@884]

@@ぺるちゃん-b4j はい，新着のコメントには，どれだけ前の動画であってもお返事差し上げております！

[@ぺるちゃん-b4j]

@@884 手間をかけてしまいますがよろしくお願いします🙇‍♂️

[@884]

とんでもないです！

[@9cmParabellum]

まあ、不定積分じゃ無いってことは…ってね。 f(x)=sin(x) /(1+cos^2 (x)) f(π-x)=sin(π-x) /(1+cos^2 (π-x)) = sin(x) /(1+(-cos(x))^2) =f(x) よってπ-x=tと置換する動機が生まれる。dx=-dx I=∫[0, π, xf(x)dx]として =∫[π, 0, -(π-t)f(π-t)dt] =∫[0, π, πf(x)dx] -I よってI=(π/2)∫[0, π, f(x)dx] cos(x)=tan(θ)としてsin(x)dx=-(1/cos^2 (θ))dθ I=(π/2)∫[π/4, -π/4, -dθ] =π∫[0, π/4, dθ] =π^2 /4 …(答)

[@884]

素晴らしいです！🎉

[@まゆか-n6y]

すっごい偶然なんですが今日やったのでできましたww

[@884]

本来たまたま重複するような問題じゃないんですけどね笑 ともかく，素晴らしいです！

[@高橋一性器]

今日やった！

[@884]

同日に解いた人なんで何人もいるんですかね......

[@tetsuro6733]

{-tan⁻¹(cosx)}'＝sinx/(1＋cos²x) であることを利用して部分積分すると ∫[0,π] x･sinx/(1＋cos²x)･dx ＝[-x･tan⁻¹(cosx)][0,π]－∫[0,π] {-tan⁻¹(cosx)}･dx となって第1項がπ²/4，第2項が対称性からちょうどゼロになるのですが 第2項がゼロになることを King Property を使って証明しました・・・ でも，わざわざ部分積分とかしなくても最初から King Property が使えるんですね

[@884]

おーなるほど，そんな計算方法もあるんですね。面白い！ 結果として遠回りではありますが，参考になりました。 確かに，x を除けば arctan(cosx) の形ですもんね。（動画の解説でも部分的に同じ計算をしていますし）

[@tetsuro6733]

@@884 さんへ 済みません。 普通 tan⁻¹x＝1/tanx を意味するので tanx の逆関数は arctanx ですね。

[@884]

大したことではないので問題ないですよ！ 僕は arctan を好んでいますが，-1 乗で統一している書籍等もありますし。

[@ashark7799]

King Propertyを使う時はちゃんと記述しなきゃダメなのかな？

[@9cmParabellum]

やってることはただの置換積分なので、効率的、かつ効果的な置換の仕方の指標の一つとして、キングプロパティを捉えておけばそれで良いと思います。 (「キングプロパティより」などとわざわざ明記する必要は無い)

[@884]

おっしゃる通り，名前を明記する必要はありません。 動画内でも King Property の導出をしていますが，そもそも簡単に導出できるものですしね。

[@ashark7799]

ありがとうございます！！

[@趙適当]

king propertyというのは初めて聞きましたが，調べても名前の由来が分からず・・・数学者？

[@884]

どうなんでしょうね。名前の由来は僕も知らないです。

[@しりゅう-n2r]

見た瞬間π-x＝tとおきたくなった

[@884]

かしこい

[@nowar3607]

中3の僕でも流石にこれは出来た(自慢😌)

[@884]

つよい

[@あいうえお-c3f3d]

これキングプロパティって言うんですね、高二の時に∫（sinx/sinx+cosx）dx （x|0→π/2）解く時にサインとコサイン入れ替えたいからx＝π/2−yで置換したら区間も同じになってお！綺麗になった！って思ってたら名前ついてたのか笑

[@あいうえお-c3f3d]

今回もうまく解けました！

[@884]

自分で公式を発見するとは......お見事です！

[@あいうえお-c3f3d]

@@884 いやマジでたまたまです笑笑定義域のこととか全く考えずにsinとcos入れ替えて足したら約分できるなぁって思ってやったら定義域揃ってるやん！！これすごくね？って感じでした笑友達には自慢してましたけど余裕でまぐれです笑笑

[@mathematics2949]

キンプロは最強。

[@884]

こんな積分がぱぱっと計算できるので，面白いですよね。

[@user-fq5lj6sh9h]

ちゃんと解けて嬉しい(o>ω

[@884]

おーほんとですか！すごいです！

[@bakuwara1]

Twitterでmathという方が5/26に同じ問題やってました

[@884]

あらほんとですか！ 高校生でも扱える難しめの積分ということで有名問題ではありますからね。