最古老的數學問題:6,28,496...下一個數字是?(獎金高達25萬美金的數學問題) | 科普與探索(完全數,完美數,歐幾里得)

歡迎來到天天讀書會，這期我們講的是：古老的完美數字(完全數,完美數,歐幾里得,數學,哥德巴赫,尼科馬庫斯猜想,梅森素數,未解之謎)。
這是一個數學中最古老的未被解決的問題，這個問題可以追溯到2000年前。有史以來最聰明的一些數學家都試圖破解它，但都失敗了。甚至，如果你能發現一個符合條件的新的數字的話，你就可以獲得25萬美金的獎勵。
就像我們視頻標題所說的，我們先寫下三個數字，6、28、496。觀察一下三個數字的規律，你能寫出下一個數字是什麼嗎？
你可以暫停一下視頻試著寫出下一個數字。如果你能找出這3個數字的規律，那你會發現這3個數字是那麼特別，那麼完美(完全數,完美數,歐幾里得,數學,哥德巴赫,尼科馬庫斯猜想,梅森素數,未解之謎)。
2000年，意大利數學家皮耶爾喬治·奧迪弗雷迪(Piergiorgio Odifreddi)將解決完美數字問題列為當時數學界最緊迫的四個未解問題之一。這個問題就是：存在奇數形式的完美數字嗎？
解決這個問題就是要找到符合某種規律的特殊數字。因此，數學家們使用計算機檢查了10 的2200次方以下的數字，但到目前為止結果讓他們大失所望。
那麼，什麼是完美數字呢？
#梅森素數 #未解之謎 #科普 #教育 #數學 #完全數

[@hanahana60606]

這個數列包含的是完全數。完全數是指那些等於其所有真因數之和的數。 第一個完全數是 6，其真因數（不包括自身）是 1, 2 和 3，而 1 + 2 + 3 = 6。 第二個完全數是 28，其真因數是 1, 2, 4, 7 和 14，而 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28。 第三個完全數是 496，其真因數是 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 和 248，而 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496。 下一個完全數是 8128，其真因數是 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032 和 4064，而 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 = 8128。 因此，這個數列的下一個數是 8128。

[@cat_fairy5007]

補充: 6 28 496 8128 33550336 8589869056 137438691328 以上列出的是已知的完全数序列中的前几个。 目前已知的完全数都与梅森素数（形如2^p-1的素数）紧密相关。

[@user-oq1po2tn7l]

謝謝你幫我節省23分鐘

[@user-by2cx3nb8n]

Chat gpt 真好用

[@ericleung130]

我用 MS Copilot，答案完全一樣。應該是因為大家都用相同的 AI 模型吧？

[@AlfredJPLin]

＂無用之用是為大用＂，這個影片製作很用心，把很一個複雜的數學問題，用淺顯易懂的方式說明 🎉🎉🎉

[@user-on9dk1mt6e]

愛迪生：抄專利能讓人致富

[@playerslive2311]

嚴格說來 是有自己的研發團隊 愛迪生 是出錢的老闆 也不能全說是 "鈔"專利

[@aa336022]

@@playerslive2311 說到底他沒資格稱為大發明家

[@manyincheng62]

用心良苦

[@Forever12168]

睡不著的時候來看蠻有用的-.-

[@cat_fairy5007]

已知的完全数主要包括： 6 28 496 8128 33,550,336 8,589,869,056 137,438,691,328 2,305,843,008,139,952,128 2,658,455,991,569,831,744,654,692,615,953,842,176 这些完全数是按照它们出现的顺序排列的，而且每个后续的完全数都极大地超出了之前的数。这些完全数都是通过寻找梅森素数（形式为2^p - 1的素数）来找到的，其中p本身也是一个素数。对于每个梅森素数，都可以通过以下公式构造一个完全数： 2^(p-1) * (2^(p)-1) 例如，当p = 2时，2^p - 1 = 3，这是一个素数，根据上述公式可以得到6，这是最小的完全数。 由于梅森素数的稀有性，随之产生的完全数也非常稀有。目前已经发现的梅森素数数量有限，这限制了已知完全数的数量。 对于想要查阅更多已知完全数的详细信息，我推荐访问专门的数学资源和数据库，例如“大数学家网站”（The Great Internet Mersenne Prime Search，简称GIMPS）等，这些平台专注于寻找新的梅森素数并进一步探索与之相关的完全数。

[@q062056199ify]

漏了8964

[@user-ek3ex8go9f]

原來在上古年代就有人在發展挖礦產業了

[@TWchian]

用筆挖礦

[@Tmtan]

一看到封面，就知道這是完整數 因為完整數對我來說具有很大的意義 它開啟了我對編程的興趣 還記得當初在C的編程書上看到兩道問題 一道是要寫程序判定一個數是不是質數(prime number) 另外一道就是找出10000 以內的完整數（perfect number) 於是我就用簡單的for loop , % , 和加法 最後成功算到了 8128 這個數也是完整數 過後我繼續把for loop的上限加大 成功算到了第五個完整數 由於當初就是簡單的暴力去算 所以並沒有算出更大的完整數 這也讓我從此愛上了編程 很享受那種成功用編程解決了問題的成就感 這也是我至今還在繼續編程的原因

[@ZARURU789]

用什麼程序可以判定一個數是不是質數,要怎麼寫?

[@Tmtan]

@@ZARURU789 最簡單暴力就是直接從二開始一直 % 到自身號碼的一半+1 ， 只要沒出現0 就是質數 例如 11， 從 2 開始 % 到6都不會出現 0 那麼他就是質數 例如15 15%3 就等於 0 了 那麼它就不是質數。

[@abscheulich1022]

沒記錯左上到右下的除法是無條件捨去小數，所以 num = int(input()) a = 1 while num % a == 0: a = a + 1; if a > num \ 2: break; 應該是這樣寫，好久沒寫都忘光了

[@mountain.fountain]

130816 6=2*3=2^1（2*2-1） 28=4*7=2^2（4*2-1） 496=16*31=4^2（16*2-1） 所以同理可知下一個是： 16^2（256*2-1）= 256*（512-1）= 130816

[@wolfgangwilson7817]

2^（p-1)*(2^p-1)

[@user-jj5be5fz1o]

6=1+2+3 28=1+2+3+4+5+6+7 496=1+2+3+…+31 質數3，質數7，質數31 6的下個質數是7 28的下兩個質數是31 496的下三個質數是509 也可以說下一個數字是129795

[@user-dz8xs6zk7o]

當代高斯

[@user-uu6yz6sw9s]

如過你能寫出一個循環公式 那你的假說就成立，如果不行 只能說你的假說是巧合，但如果你真的寫出來，你就能證明完全數是無限的

[@user-pt7wn8pm1j]

基於正整數有無限多個這一客觀事實， 無論完全數有多難找， 只要存在生成的公式， 就不是有限個。 所以19:32所說的完全數是有限個是錯誤的。

[@80307100]

它的前提是2^p-1是一個質數，但你不能證明它總會是一個質數，所以你的論證錯誤。

[@user-pt7wn8pm1j]

@@80307100 首先，給你一個背景知識:質數有無限多個。 其次，再給你一個背景知識:2^p-1有無限多個。 也就是說，影片推論無限多個與無限多個的交集為有限個(51個)本身就極不合理。 我就是指出這個推論有問題，缺乏正當性。 你的邏輯問題在於，是跟否之間存在未知的部分，而你不認為有未知的部分存在。

[@mita9855]

去看看孿生質數吧

[@doctor61tw]

最神秘的數字：8964

[@kkk-hc5lg]

談論數學 沒必要扯政治

[@user-fz8lg5sm7f]

？是啥數字我怎麼看不到你倒是打出來啊！ 話不要講一半 沒事我看到了剛剛字被壓扁沒注意到

[@user-zn3bk8ln5d]

那是銀河系防盜片密碼...

[@GLi-zu1gz]

准确地说应该是198964

[@8967-q7w]

8964，神秘東方最不可思議的秘密。

[@shaochilee5284]

一个可能的方法是考虑每个数字与前一个数字之间的关系。注意到这个序列中的数字之间的差异非常大，可能涉及指数增长或者其他复杂的数学关系。 考虑一种指数增长的方法： 观察到 6 到 28， 28 到 496 之间的增长非常迅速。 让我们考虑以下的规则： 1. \( 6 ightarrow 28 \) 2. \( 28 ightarrow 496 \) 观察它们之间的关系： - 从 6 到 28，可以认为是 \( 6 \times 4 + 4 \)。 - 从 28 到 496，可以认为是 \( 28 \times 18 - 8 \)。 虽然这个方法看起来没有一致的规律，但可以考虑下一个数是使用某种指数增长或者倍数关系。 我们可以假设下一个数可能是： \[ 496 \times k + c \] 假设倍数增长与某种常数相加或者相减。考虑一下： - 6 和 28 之间的比率 \( \frac{28}{6} \approx 4.67 \) - 28 和 496 之间的比率 \( \frac{496}{28} \approx 17.71 \) 比率没有一致，但可以假设比率在增大。假设下一个比率约为前一个的 4 倍（4 的平方）： \[ 496 \times 4^2 = 496 \times 16 = 7936 \] 所以下一个数字可能是 7936。这个方法假设比率按照某种倍数增加。实际规则可能更复杂，但这是一个合理的推测。

[@Ohyesfku]

啊！！ 頭好癢！！ 看完感覺要長腦子了~~~

[@wuyulunbi813]

那字幕斷句😅

[@gamepplayker-of6in7do8to9nice]

其實這個問題是有意義的。 它推演出數位時代的大略容量計，在科技電子數位通訊程式系統上界定出時代的標準都有很大助益。

[@user-ql6iu3yd9v]

截至目前，已知的完美数并不多，而且它们通常都非常大。目前已知的完美数有： 1. 6 2. 28 3. 496 4. 8128 5. 33,550,336 6. 8,589,869,056 7. 137,438,691,328 8. 2,305,843,008,139,952,128 9. 2,658,455,991,569,831,744,654,692,615,953,842,176 Chat GPT真好用

[@user-ob6rm8vz1t]

這個方法，有點像現在區塊鏈的虛擬幣。

[@Wind_of_Night]

本質上都是調用計算機算力～

[@user-bp8qv4ph1m]

8:42 第2點和第4點重複描述啦 直接說歐機理得算法可以全部生成完美數就好了

[@dying476]

並沒有重複，歐幾里得算法明顯不能生成奇完全數。第2點說的是不存在奇完全數，第4點說的是偶完全數已經被歐幾里得算法完全概括了

[@user-bp8qv4ph1m]

@@dying476 我不是說第2和第4點是一樣的 是說第4點的"偶數"這2個字是多餘的 除非第2點錯誤 否則第4點直接寫成歐機理得算法可以生成全部完美數就好了 不需要特別寫"偶數完美數"

[@dying476]

@@user-bp8qv4ph1m 懂了，感謝說明

[@user-qf4fb1ye7d]

羅傑猜想：2486也是完美數字

[@Joe-bs7gh]

我今天好強，完整聽完還沒睡著^^ 2024/07/07 感想：這個數字沒有實際應用，對人類無用。 我聽完這個，到底有沒有用呢？

[@user-ik2jn8xm9v]

這個數列是由完全數組成的。完全數是指那些等於其所有正因數（包括1但不包括自身）之和的自然數。 前幾個完全數是： 6：其因數是1, 2, 3，1 + 2 + 3 = 6 28：其因數是1, 2, 4, 7, 14，1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 496：其因數是1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248，1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496 第四個完全數是8128，其因數是1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064，這些因數的和是8128。 因此，第四個數字是8128。

[@user-by2cx3nb8n]

Chat gpt真好用，不需要經過大腦

[@jackqin9699]

这个数列中的数字分别是6, 28, 496，这些数字分别是完全数，也就是所有真因子之和等于自身的数。完全数的前几个例子是6, 28, 496, 8128 等。 第四位数字应该是第四个完全数，即8128。

[@homezodiac8194]

1就是完美的奇數

[@jim6571]

首先要知道所謂的是完美數字的設定，我只懂得加減乘除，就此而言，完美數字只有一個，就是6，因除上述所說較深的二進制奇數平方相加等，請不要怱略6=1 X2 X3。所以請問各位數學奇才或大神們除了6之外還有任何數字可以符合這個設定呢？😂😂😂😂😂😂

[@user-yh7kf8tk9e]

0，但是就看你有沒有信仰😂

[@user-ix7jf2fs5h]

若要符合n=除了n以為的所有因數乘積，則此數必須僅有四個因數1、a、b、n，也代表n=兩相異質數之乘積 而影片中的完美數要符合（2^p-1)*2^(p-1) 僅當p=2時可以使其符合條件 其餘都因為包含2的大於一次方而不符合條件

[@luc313022]

量子電腦表示：素來素去，我素素就出來了

[@-pizzagang-6003]

看到一半我就知道歐拉又來了，只要讀過數學就不可能不知道的名字

[@Ian-mb8fs]

羅傑說下一個是2486

[@freerichmale]

我也可以這樣解，下一個數字多一位數，6和9的延伸字是8，2的三次方是8，所以下個數字是8888，你說是最古老的數學題，在這個最大前題下，我一定是正解。

[@bananabanana8902]

為什麼你不在6月28號發影片

[@Angus.0628]

那天我生日😂

[@Mouse30678]

欸欸數學家 羅傑說下一個數字是2486

[@xingfangtang38]

6✖️6=36。（方格），把数字从1至36每格一个数填入它的方格中就能得到每一行，每一列，斜角方向方格数字相加都等于111 。36格也可以分解为（2✖️2）（3✖️3）=4✖️9。同样28✖️28=784。（格）把数字从1到它的乘积784以“数独”填空。它的行，列，斜相加可相等的值是：10990。784格可分解为（4✖️4）（7✖️7）=16✖️49=784。把方格分为16个，7✖7️=49方格。把数字分为16组。每49个数字为一组。如（1-49）。（50-98）又为一组。其它数字依次类推。先得到各组行，列，斜相加相等的数值。再以四四十六格数独填空方法合成。就可得到。28平方积、格数独填空行，列，斜相加都是：10990。12平方格，20平方格。凡是4乘上任何一个单数的积平方方格都适用。直到无限♾️大。除了2✖️2=4（格）。不能行，列，斜相加全部相等外。3✖️3=9以上任意一个数字平方方格，将它们的乘积数字做“数独”填空都分别有它的“定数值”。每行，每列，斜向相加都同时相等。请问还有什么数不是完全平方。如果你做不来。我全部数字平方格都能找到它们。保证每格一个数，不多也不少。每格数不重复，个个数字都用上。方式方法十分重要‼️

[@randy4179]

老二

[@user-nm4df8mx4p]

2^8+（2^16-1）

[@user-cz2ml9vf1d]

這有沒有通式

[@user-po5hy5vo1n]

現代的數學家 皋津升羅傑也找到了神秘的數字2486

[@fatemakeus]

其实要解决这个问题，是需要先解答一个100万的问题。那就是黎曼猜想…黎曼猜想被证实那一天，自然完整数就知道有没有偶数的…

[@user-bi3by3qd5z]

下一個規律號是1060

[@user-hp9yg5qt8v]

不是有未來人，直接發問他們不就知道可以算到哪，也能驗證未來人是不是真的！

[@xihongshichaojidan]

8128

[@chin1919]

精彩绝伦

[@AB_SansPlayer_X]

6 28 496 208

[@user-hw4ld9yn2p]

寫代碼就好了

[@gamepplayker-of6in7do8to9nice]

之後的數是 9.8、11.10、13.12、15.14、17.16、19.18 請注意連法只適用二進制數字碼的結構分佈拓展，但不是用自然數字去拆解組合公式，也就是沒有硬性代數公式來書寫但是程式設計卻能達到這個目的

[@银翼杀手]

爱迪生:我找到了999个人给我研发灯泡，最终我选择了其中一个最好的。

[@Blue-pd3dv]

我记得谁说过一句：只要维度足够高，任何数列都能给他拟合个公式出来😂

[@user-hy6tq8gy7j]

問就是2486

[@wbgsuite]

6=1+2+3=1*2*3

[@Hi-ChiNaBrute]

隨便一個數字都能對吧⋯ 把這四個數字直接改成4次方程的解就ok了

[@ar-bs9di]

6=6×1 28=6×4+4×1 496=28×16+16×3 32320=496×64+64×9 我認為是32320。

[@wangsweikien341]

6, 28, 496, 8128, and 33550336

[@presumptuoustseng2623]

（2的P次方-1）一定是奇數，後面（2的p-1）次方一定是偶數，兩個相乘一定是偶數啊，所以不可能有基數完美數😂 而且後面那個sigma 6也太廢，前面1+2+3=最後面的6，那全部加起來一定等於6*2啊不是廢話嗎…因為因數的最後一個一定是自己，完美數前面加起來一定是自己，自己加了自己一定是自己X2…我看不懂這邊說sigma是巨大的推進的點在哪…😂😂

[@dailyreading]

sigma是一種公式化的函數形式，這種公式可以進行變形。其實歐拉曾經用這種方式演算了完美數，隻是過程有點複雜，害怕一些人看不懂就沒有在視頻裡呈現。

[@user-zi5ge1ee6k]

解不出的世紀猜想 就是完美的命題

[@user-zo3dc6sf7m]

完美數不可能有奇數 任何非質數的奇數 皆有偶數個奇數的因數(包含數字本身）組成 則任何非質數的奇數 因數和皆為偶數 不存在奇數完美數

[@ohraymond123]

「任何非質數的奇數，皆有偶數個奇數的因數（包含數字本身）」 9已經不符合了

[@user-zo3dc6sf7m]

@@ohraymond123 對 從理論上來說 他是符合的 因為可拆成1成9 3成3 但是這種開根號完為整數的奇數也無法成為完整數 因為

[@user-ub1cg8cd9k]

埃及數 : 142857

[@JunHaoLaw-z8l]

Chat Gpt:我的钱呢？！

[@user-rg9ce1qn2g]

羅傑說答案是2486

[@puiech.]

下一個數字 2486

[@DestinyHang]

114514 很神秘

[@junkaisho4100]

羅傑說是2486

[@lolo-ww6cw]

open AI 有答案。6、28、496、9288

[@u-yay]

這也太簡單了 連智商83的人都知道 一定是2486

[@easonlohyeeonnmoe1530]

1792

[@user-tx6mq1ud2m]

對我來說是神秘數字60225

[@aaron1262]

9487

[@HOWJASONSU]

外星人看到是10進制 就知道地球是被 擁有10隻手指頭 或是 擁有 10個肢體的生物 所控制😂 而且是4維度串列生物。如果是章魚 可能就變成 8進制了。😊 。聽說 最高級的外星人 都是採用多維量子算法 一瞬間 全部的可能結果 就全部出現在眼前。是高級16維生物。😅

[@randy4179]

老高看太多

[@HOWJASONSU]

@@randy4179 老高？誰？

[@shinypan1958]

130816

[@user-bn6xm8lr3s]

第四個完美數字：12498

[@kashiwako]

只要質數問題未解,這問題也無解

[@junyu-k]

8138 還是6138？

[@user-ci8cb8hk7d]

你都知道公式為何不去領25萬？

[@user-mm1ui8bl3m]

做這件事的報酬也太低了吧，花一樣的時間我寧可做股票

[@samyu7504]

欸欸 2486說你是羅傑

[@Ricky_Cubing]

是6

[@pennykwoktsd]

721831都係神奇數字

[@naisonghu2981]

18：33说2300万位的一个数写在一本719页书里？就算1页里能写下100*100=1万个数字，正反两面算1页纸，2万*719=1438万也写不完这个数啊！还有一个问题：这个梅森素数对应的那个完美数在540万亿位左右，横着写可以写到7倍到太阳距离，太吓人了

[@detaimo1561]

羅傑說你是2486

[@user-ki9vb7on5s]

直接問chat gpt

[@Dogbt9by]

114514

[@YouYou-fn6nk]

这组数字：6，28，496 之间的规律可能是： 6 = 2×3 28 = 4×7 496 = 16×31 2，4，16 呈现出以 2 为公比的等比数列，下一项应为 16×2 = 32 3，7，31 相邻两项的差值依次为 4，24，推测下一项差值为 24×4 = 96，31 + 96 = 127 所以下一个数字应该是 32×127 = 4064

[@waynelindaway]

2,4,16不是等比喔

[@kennethkan3252]

=16x16x127 2,3,5,7 n=質數順序的次方數 2^n-1 3,7,31,127 另一邊是m^2 m=2,4,16,256 3. 2x3 7. 4x7 31. 16x31 127. 256x127

[@user-oy6wc7vn7x]

2486

[@yorick8073]

傑寶:2486

[@user-ws5xw8wd9z]

4168

[@daniellks78]

Is this a veritasium copy

[@user-ym4lb8dk4u]

621

[@yuyu-pu4jc]

欸欸皮耶爾，羅傑說答案是2486

[@aston-martin-8]

2350

[@ayden4616]

我的想法(在開始之前) 6=2×3 28=2×2×7 496=2×2×2×2×31 質數3、7、31 分別差3個質數、7個質數 所以下一個是差31個質數 一個2、兩個2、四個2 所以下一個是八個2 總結：下一個數是2×2×2×2×2×2×2×2×181=46336

[@Abc-if4wh]

130816嗎 2*（2*2-1）=6 4*（4*2-1）=28 16*（16*2-1）=496 所以下一個應該是256*511

[@naiz1454]

6=2X3 28=4X7 496=16X31 得a(2a-1), a={2,4,16,...} a=2^(2^(n-1)), n=1,2,3... 當n=4 (2^8)(2(2^8)-1)=256(512-1)=130816 ...?

[@obafang0830]

我也得到這個解

[@meteorchannelver3]

512-1的511不是質數啊

[@fisherdarren5186]

@@meteorchannelver3 一樣符合某種規律，又沒說一定要是質數啊！

[@meteorchannelver3]

@@fisherdarren5186 你公式的運用的條件都不清楚怎麼用公式 喔天啊

[@fisherdarren5186]

@@meteorchannelver3 6=2X3 且 3=2X2-1 28=4X7 且 7=2X4-1 496=16X31 且 31=2X16-1 2 ==> 4 ==> 16 ==> 256 (平方可得) 這樣的規律應該不難懂...... 我也是推出這樣的答案，實際上可以找出千奇百怪符合起始三個數的式子，所以這類問題其實很無聊........

[@allen8408]

153952

[@cpsun2940]

（2^4）*（2*（2^4）-1）

[@cpsun2940]

算式應該是(2^（2^（x-1)))*((2^(2^(x-1)))*2-1)才對 所以下一個應該是256*511

[@user-pd9gw4co6h]

小弟愚昧的問一下，算這可以幹嘛，算出來了然後呢？

[@無敵的雞翅大教主]

如果世界上的人思想都跟你一樣認為高難度的數學沒有意義，那麼這個世界的數學發展大概跟你一樣停留在小學等級吧

[@user-gm3cv7cu6d]

被你發現了 反正本來就在那

[@LoveTaiwan08]

89-64

[@WeileiLiang]

答案：羅傑說你是2486😊

[@huichungwu8911]

65280

[@CAT-POPCCTE]

最羅傑的數字：2468

[@wang-1994]

这也有点用的，比如让Ai找到“奇完全数”然后，耗尽它所有算力，就不会功击人类了😂毕竟“这数存在，但你为什么找不出”。 当年要让天网强制回答这个问题，也不至于拍了这么久多集终结者了😂（抖机灵）

[@Chen-oo]

羅傑說你是...

[@user-gr3yc2mc9r]

6（1位） 28（2位） 496（3位） 8128（4位） 33550336（8位） 8589869056（10位） 137438691328（12位） 2305843008139952128（19位） 2658455991569831744654692615953842176（37位） 191561942608236107294793378084303638130997321548169216（54位） 古代數學家根據當時已知的四個完全數做了很多假設，大部分都是錯誤的。其中的一個假設是：因為 2、3、5、7 恰好是頭 4 個質數，第 5 個完全數應該是第 5 個質數，即當 𝑛 = 11 {\displaystyle n=11} 的時候，可是 2 11 − 1 = 23 × 89 {\displaystyle 2^{11}-1=23\times 89} 並不是質數。因此 𝑛 = 11 {\displaystyle n=11} 不是完全數。另外兩個錯誤假設是： 頭四個完全數分別是 1、2、3、4 位數，第五個應該是 5 位數。 完全數應該是交替以 6 或 8 結尾。 事實上，第五個完全數 33550336 = 2 12 ( 2 13 − 1 ) {\displaystyle 33550336=2^{12}(2^{13}-1)} 是 8 {\displaystyle 8} 位數。 對於第二個假設，第五個完全數確實是以 6 {\displaystyle 6} 結尾，但是1588年，義大利數學家彼得羅·卡達迪計出第六個完全數 8589869056 {\displaystyle 8589869056}，仍是以 6 {\displaystyle 6} 結尾，只能說歐幾里得的公式給出的完全數以 6 {\displaystyle 6} 和 8 {\displaystyle 8} 結尾。卡達迪證明了此結論。此外，還計出第七個完全數137,438,691,328。[1][2][3] 對完全數的研究，至少已經有兩千多年的歷史。《幾何原本》中就提出了尋求某種類型完全數的問題。 每一個梅森質數給出一個偶完全數；反之，每個偶完全數給出一個梅森質數，這結果稱為歐幾里得－歐拉定理。到 2018 年 12 月為止，共發現了 51 個完全數，且都是偶數。最大的已知完全數為 2 82589932 × ( 2 82589933 − 1 ) {\displaystyle 2^{82589932}\times (2^{82589933}-1)} 共有 49724095 {\displaystyle 49724095} 位數。