Die geniale Lösung eines uralten Rätsels 🤯 - Der Große Fermatsche Satz

[@hanshuber5659]

Hallo, ich bin durch Zufall auf Deinen Kanal gestoßen. Zum Thema „Großer Fermatscher Satz“ ist Dein Video wirklich eines der besten. Ich kenne auch das von Dir erwähnte Buch und kann mich der Thematik nur schlecht entziehen. Eine nette Anekdote ist Fermats Randbemerkung und was sie alles auslöste unter den Größen der Mathematik. Dein Video ist echt sehr gelungen und natürlich gleich ein Abo da gelassen. Mach weiter so… Hans

[@EndlichVerständlich]

Vielen Dank, Hans! 😊 Es freut mich riesig, dass dir das Video zum Großen Fermatschen Satz gefällt und du sogar das Buch kennst! Die Geschichte hinter Fermats Randbemerkung ist wirklich faszinierend - sie hat eine wahre Welle von Entdeckungen und Ideen ausgelöst, die die Mathematik über Jahrhunderte prägten. Danke auch für das Abo und dein tolles Feedback! Das motiviert mich, weiterhin spannende Themen aufzugreifen. Ich hoffe, wir sehen uns bald wieder auf dem Kanal! 👍📚

[@tobiaspower381]

super!

[@highcommissioner1]

Die Lösung der beiden amerikanischen Schülerinnen interessiert mich sehr!

[@SaschaFrederikMair-nt1sp]

Interessiert!

[@amigalemming]

Da können die ganzen KI-Startups mal ihre mathematischen Sprachmodelle auf das Problem werfen. Manchmal finden Computerprogramme ja kurze Beweise.

[@EndlichVerständlich]

Gute Idee! 😊 Tatsächlich arbeiten bereits einige KI-Startups und Forschungsprojekte daran, Sprachmodelle und KI-Algorithmen auf mathematische Probleme anzusetzen. Während es bei bestimmten strukturierten Problemen schon beeindruckende Ergebnisse gibt, ist ein komplexer Beweis wie der von Fermats letztem Satz noch eine große Herausforderung für die heutige Technologie. Dennoch könnte KI in Zukunft sicher eine spannende Unterstützung für Mathematiker sein - sei es zur Inspiration oder zur Verifikation. 👍🏽

[@martineberhardt2205]

Gerne auch etwas über eliptische Kurven, da es ja auch die Grundlage für diesen Beweis zu sein scheint.

[@EndlichVerständlich]

Vielen Dank für die Idee, elliptische Kurven sind tatsächlich ein spannendes und fundamentales Thema, gerade auch im Zusammenhang mit Fermats Letztem Satz. 😊 Ich habe es mir auf jeden Fall notiert! Da das Thema ziemlich anspruchsvoll ist, brauche ich ein wenig Zeit, um ein zugängliches Video dazu zu erstellen. Bis dahin hoffe ich, dass dir meine anderen Videos auch gefallen und die Wartezeit etwas verkürzen! 😉

[@heinrichhaas8390]

Bei dieser Art der Beweisführung bleibt für mich immer ein ungutes Gefühl. Denn wenn die "Basis-Aussage" doch nicht stimmt, dann auch dieser etc. etc.

[@EndlichVerständlich]

Danke für deinen Kommentar! 😊 Dieses ungute Gefühl bei komplexen Beweisen, die auf vielen Schritten und Grundannahmen beruhen, kann ich gut nachvollziehen. In der Mathematik wird das Fundament der Beweisführung - also die grundlegenden Aussagen und Axiome - deshalb intensiv geprüft und allgemein breit akzeptiert. Gerade bei bedeutenden Beweisen wie Fermats Letztem Satz haben Fachleute über Jahrzehnte hinweg jede Annahme und jeden Schritt genau durchleuchtet. Ein gewisses Vertrauen gehört in der Mathematik, wie überall im Leben, immer dazu - und manchmal müssen wir uns auch auf die sorgfältige Arbeit anderer verlassen, weil es in einer so komplexen Welt unmöglich ist, alles allein zu prüfen. 😉

[@ribaldc3998]

Danke, ich habe intellektuell abgeschaltet 😀

[@EndlichVerständlich]

Haha, kein Problem, das passiert manchmal bei so abstrakten Themen! 😊 Wenn du irgendwann wieder Lust auf Mathe bekommst, schau dir gerne mal meine Analysis-Reihe an - die hilft super dabei, das Denken in mathematischen Strukturen zu schärfen. Vielleicht packt dich die Begeisterung dann ja wieder! 😉

[@Ollital]

Meine Schulzeit ist zwar schon eine Weile her, aber sind natürliche Zahlen nicht per Definition immer positiv?

[@EndlichVerständlich]

Danke für den Hinweis! 😊 In der Schulmathematik werden natürliche Zahlen oft als die positiven ganzen Zahlen definiert, also 1, 2, 3 usw. Es gibt jedoch auch Konventionen, die die Null als natürliche Zahl mit einschließen. Um Missverständnisse zu vermeiden, beziehe ich mich hier explizit auf N⁺, also die positiven natürlichen Zahlen. 😉

[@Aichauer]

dich hätte ich gerne als Mathelehrer gehabt!👌

[@EndlichVerständlich]

Danke für das tolle Kompliment! 😊

[@ichnicht1433]

Wie wär's den mit einem anderen Beweis, wenn dieser noch nicht verstanden wird? Ich hab den Grund gefunden, warum die Collatzvermutung stimmt, kann aber den Beweis nicht mathematisch korrekt aufschreiben. Und damit du das nicht als Blödsinn abtust, eine kleine Frage : Was haben die Zahlen 1, 5, 21, 85, 341 usw. für eine Bedeutung und warum kann ich mit der Formel ((3^s) * n + (3^s) - (2^s)) / 2^(s+1) die Zahl nach dem ersten Fall dierekt ausrechnen. s ist übrigens die Anzahl der zusammenhängenden Einsen der Zahl im Binärsystem. Und zum Schluß noch der "banale" Grund: weil aus einer 9 eine 5 gemacht wird und das zu einer Division durch 16 führt. So einfach ist es leider nicht, da es noch Zwischenstufen und größere Teiler als 16 gibt. Und welche Beziehung besteht zwischen 4n+1 und der Collatzvermutung? Krieg ich 'ne Antwort, kriegst du ein abo...

[@EndlichVerständlich]

Sehr interessanter Punkt und ein sehr interessantes Problem. Das Collatz-Problem wird vermutlich mein nächstes Video werden! 😉 Deine Zahlenfolge ist von der Form 2^0, 2^0+2^2, 2^0+2^2+2^4, etc. Es sind also immer Summen von geraden Zweierpotenzen, also in Binärdarstellung sind das die Zahlen 1, 101, 10101, 1010101 etc. Bei einer Multiplikation mit 3, also mit 11 im Binärsystem entsteht eine Abfolge von Einsen, die eine Stelle mehr hat, also 11, 1111, 111111, etc. Durch die Addition einer 1 wird die Zahl um noch eine Stelle länger und besteht nur noch aus Nullen am Ende: 100, 10000, 1000000. Solche Zahlen sind Zweierpotenzen und enden definitiv im Zyklus 4, 2, 1. Das bedeutet, dass deine Zahlenfolge, genau wie die Zahlenfolge 1, 2, 4, 8, 16, 32, die Collatz-Vermutung erfüllt. Die Formel für s = 1 ausgewertet ergibt: (3n + 3 - 2) / 4 = (3n + 1) / 4. Sie funktioniert also nur für Zahlen der Form 4m + 1, was zu deiner Definition der zusammenhängen Einsen passt. Du meinst aber vermutlich nicht generell zusammenhängende Einsen, sondern in der letzten Position. So hat die Zahl 110101 (in binär) zwar zwei zusammenhängende Einsen in den ersten beiden Positionen, aber nur eine in der letzten, also willst du hier vermutlich s = 1 haben. Betrachten wir s = 2. Das sind Zahlen der Form 8m + 3. Zum Beispiel 11 = 8*1+3, also 1011 in binär. Was passiert dann mit deiner Formel: (9n+9-4)/8 = (9n + 5) / 8. Setzen wir die Zahlen dieser Form ein, erhalten wir: (9(8m+3) + 5) / 8 = (72m + 27 + 5) / 8 = (72m + 32)/8 = 9m + 4. Also bei 11 (m = 1) erhalten wir 13 (9*4+1). Für 11 lautet die Collatz-Folge: 11 -> 34 -> 17 -> 52 -> 26 -> 13 (1101 in binär) Wir haben also den Zustand nach 5 Schritten bestimmt. Testen wir als nächstes m = 2, also 19. Dann kommt mit deiner Formel 22 heraus. Dann lautet die Collatz-Folge 19 -> 58 -> 29 -> 88 -> 44 -> 22 (10110 in binär) Wir haben also wieder den Zustand nach 5 Schritten bestimmt. Jetzt überlegen wir uns, warum das immer funktioniert. Dafür schreiben wir die Zahl in der Form n = 2^(s+1)*m + 2^s - 1. Nach einmal *(3+1)/2 kommen wir bei 3*2^s*m+3*2^(s-1)-1 raus. Es ist also wieder ungerade, solange s nicht 1 war. nach s Schritten sind wir bei 3^s*2*m+3^s-1. Die Zahl ist gerade und wir können nochmal durch 2 teilen, erhalten also 3^s*m+(3^s-1)/2. Setzen wir jetzt unser m = (n + 1 - 2^s)/2^(s+1) ein, folgt genau deine Formel. Das ist der Grund, warum du mit deiner Formel ein weiteres Folgenglied bestimmen kannst, das genau 2s+1 dahinter liegt. Damit hast du also gezeigt, dass Zahlen mit vielen 1en hinten in der Binärdarstellung auch viele Schritte in der Collatz-Folge gehen müssen. Du kommst aber leider immer bei einer Zahl raus, die größer ist als deine Startzahl (abgesehen von s = 1). Das hilft dir also nicht weiter. Aus einer 15 wird zum Beispiel eine 40. Gut da kannst du zufälligerweise bis zur 5 weiter gehen und kommst dann in den 4->2->1 Zyklus, aber das ist nur mit deiner Formel alleine nicht klar. 9 hat die Form 101, also s=1, somit wird bei dir daraus eine 7 oder? Die hat dann die Form 111, also wird daraus eine 13, die hat die Form 1101, also wird daraus eine 10 und dann mit s = 0 eine 5. Du weißt aber nicht, welche Form die Zahl hat, die nach einem bestimmten s folgt. Du weißt auch nicht wie viele Schritte du insgesamt gehst, bis du bei der 1 bist. Du kannst mit der Formel lediglich einige Folgenglieder überspringen. 4n+1 ist der Spezialfall bei dem s = 1 gilt und das nächste Folgenglied auch wirklich kleiner ist. Du musst aber den Fall 4n+3 berücksichtigen. Der ist wesentlich interessanter. Der teilt sich dann nämlich in die Fälle 8n+3, 16n+7, etc. auf. Würde bei deiner Formel die Zahl am Ende immer kleiner sein als vorher, dann hätte man auf jeden Fall einiges gewonnen. Als Fazit lässt sich sagen: Sehr interessanter Ansatz, den ich gerne in meinem Video aufgreifen kann, wenn du möchtest, der die Vermutung allerdings nicht beweist, da müsstest du noch etwas mehr Kontext liefern. 😊

[@Uluru1410]

Mehr als eine Viertelstunde bevor das Titelthema kommt und dann lediglich Historie.

[@EndlichVerständlich]

Danke für dein Feedback! 😊 Ich kann verstehen, dass du dir mehr Fokus auf das eigentliche Thema gewünscht hast. Die Historie hilft aber, das Thema besser einzuordnen und seine Bedeutung zu verstehen. Ich hoffe, du schaust trotzdem weiter rein und findest in weiteren Videos Aspekte, die dich faszinieren! 😉

[@Paul_Schulze]

Der Beweis ist so lang, daß nicht 100% klar ist, daß er auch richtig ist. Rein theoretisch könnte immer noch ein Gegenbeispiel gefunden werden.

[@EndlichVerständlich]

Danke für deinen Kommentar! 😊 Der Beweis von Fermats Letztem Satz durch Andrew Wiles ist tatsächlich extrem komplex und anspruchsvoll. Wiles und seine Kollegen haben jedoch über Jahre hinweg den Beweis mehrfach überprüft und keine Lücken gefunden. Der Beweis gilt als so präzise, dass es als äußerst unwahrscheinlich gilt, dass noch ein Fehler oder Gegenbeispiel existiert - auch wenn es natürlich theoretisch nie ganz ausgeschlossen werden kann. So ist es eben in der Mathematik: absolute Gewissheit gibt es bei so komplexen Themen selten, aber der Beweis ist so gründlich geprüft, dass wir ihm großes Vertrauen schenken können! 😉

[@amigalemming]

@@EndlichVerständlich Sie sollen das mal mit einem Beweisassistenten durchspielen. Das würde die Überzeugungskraft noch einmal wesentlich steigern.

[@EndlichVerständlich]

Spannende Idee! 😊 Der Einsatz von Beweisassistenten wird in der Mathematik zunehmend wichtiger, gerade bei solch umfangreichen und komplexen Beweisen. Es gibt bestimmt Projekte, die versuchen, Teile von Wiles' Beweis mit Computerassistenz zu überprüfen - was in Zukunft wahrscheinlich noch weiter ausgebaut werden könnte. Ein vollständiger maschineller Durchgang würde den Beweis sicher noch weiter untermauern und wäre ein beeindruckender Fortschritt in der formalen Mathematik! 🤩

[@ThiloHeck]

Wo ist der Beweis. Das ist doch alles Geschwätz.

[@EndlichVerständlich]

Danke für deinen Kommentar! 😊 Der Beweis von Fermats Letztem Satz basiert im Wesentlichen auf dem Beweis der Taniyama-Shimura-Vermutung, die heute als Modularitätssatz bekannt ist. Die vollständige Arbeit von Andrew Wiles findest du beispielsweise hier: www.scienzamedia.uniroma2.it/~eal/Wiles-Fermat.pdf. Der Beweis ist wirklich komplex und setzt ein tiefes Verständnis in verschiedenen Bereichen der Mathematik voraus. Wenn du dich intensiv damit beschäftigen möchtest, empfehle ich, mit den Grundlagen zu starten. Und wer weiß, vielleicht machst du ja irgendwann ein 20-minütiges Video, in dem du den gesamten Beweis erklärst - das würde ich mir auf jeden Fall gerne anschauen! 😉

[@hannesaeppli7876]

Ja, es ist peinlich. Natürliche Zahlen sind per Definition positiv.

[@EndlichVerständlich]

Überhaupt nicht peinlich! 😊 Die Definition der natürlichen Zahlen ist tatsächlich nicht ganz einheitlich. In der Schulmathematik gelten natürliche Zahlen oft als positive ganze Zahlen (1, 2, 3 …). In anderen Kontexten wird aber manchmal auch die Null dazugenommen. Hier ist es besonders wichtig, die Null auszuschließen und explizit von den positiven natürlichen Zahlen (N⁺) zu sprechen, statt von N₀, das auch die Null umfasst. Kein Grund zur Sorge - das ist ein ganz normales Definitionsdilemma in der Mathematik! 😉

[@Paul_Schulze]

Manche definieren auch 0 als natürliche Zahl.

[@highcommissioner1]

Peinlich ist daran gar nichts - außer, dass immer wieder Leute versuchen, sich mittels dieser moralischen Einordnung anderer selbst zu erhöhen - egal, um welches Thema es geht. Im schlimmsten Fall handelt es sich um einen Pleonasmus oder eine redundante Information, die - speziell in der gesprochenen Sprache - immer wieder notwendigerweise eingesetzt wird, um das Verständnis zu unterstützen.

[@odysseus9941]

Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen, die zum Zählen und Ordnen verwendet werden und bilden die Grundlage der Arithmetik. Sie sind eine Teilmenge der ganzzahligen Zahlen und werden in der Mathematik häufig als NN bezeichnet. Es gibt verschiedene Definitionen und Konventionen, aber die häufigste und standardisierte Definition lautet: 1. Definition der natürlichen Zahlen: Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen, die zum Zählen verwendet werden und bestehen aus: Den positiven ganzen Zahlen: 1,2,3,4,…1,2,3,4,… Optional der Zahl Null: In einigen Definitionen gehören auch die null als natürliche Zahl dazu, was die Menge der natürlichen Zahlen als N0N0​ oder einfach N={0,1,2,3,4,… }N={0,1,2,3,4,…} bezeichnet. 2. Zwei gängige Definitionen: a) Ohne Null (traditionell): Die natürlichen Zahlen bestehen aus den positiven ganzen Zahlen: N={1,2,3,4,5,… } N={1,2,3,4,5,…} Diese Definition entspricht dem traditionellen Bild von natürlichen Zahlen, die zum Zählen verwendet werden. b) Mit Null (moderne und erweiterte Definition): In vielen modernen mathematischen Kontexten (insbesondere in der Mengenlehre und der Informatik) wird Null auch als natürliche Zahl betrachtet: N0={0,1,2,3,4,… } N0​={0,1,2,3,4,…} Diese Definition erleichtert das Arbeiten mit bestimmten mathematischen Strukturen, wie zum Beispiel bei der Definition von Funktionen oder bei der Kombination von natürlichen Zahlen und der Arithmetik der ganzen Zahlen. 3. Eigenschaften der natürlichen Zahlen: Abgeschlossenheit der Addition: Wenn du zwei natürliche Zahlen addierst, erhältst du immer wieder eine natürliche Zahl. Abgeschlossenheit der Multiplikation: Wenn du zwei natürliche Zahlen multiplizierst, ergibt das ebenfalls eine natürliche Zahl. Es gibt kein größtes Element: Die natürlichen Zahlen sind unendlich. Es gibt keine größte natürliche Zahl; für jede Zahl gibt es immer eine größere. 4. Axiomatische Definition (Peano-Axiome): In der Axiomatik (insbesondere bei den Peano-Axiomen) wird die Menge der natürlichen Zahlen formal beschrieben, um die Grundlagen der Arithmetik zu legen. Diese Axiome definieren die natürlichen Zahlen durch folgende Konzepte: Es gibt eine Zahl, genannt die Null (00). Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger, der ebenfalls eine natürliche Zahl ist. Die Null ist kein Nachfolger irgendeiner Zahl. Induktionsprinzip: Eine Eigenschaft, die für die Null gilt und auch gilt, wenn sie für eine Zahl gilt, dann gilt sie auch für den Nachfolger dieser Zahl. Diese Axiome ermöglichen eine formale Definition der natürlichen Zahlen und ihrer grundlegenden Operationen, wie Addition und Multiplikation. 5. Verwendung natürlicher Zahlen: Zum Zählen: 1,2,3,…1,2,3,… (wie Äpfel in einer Schale oder Personen in einer Reihe). In der Arithmetik: Sie bilden die Basis für die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (obwohl Division mit natürlichen Zahlen manchmal zu nicht natürlichen Zahlen führen kann, wenn der Divisor nicht einteilt). Fazit: Die natürlichen Zahlen sind also die Zahlen, die für das Zählen und Ordnen verwendet werden, und in ihrer einfachsten Form umfassen sie {1,2,3,4,… }{1,2,3,4,…}. In modernen Definitionen gehören oft auch die Null und die Arithmetik mit Null dazu, sodass die natürlichen Zahlen die Menge N0={0,1,2,3,4,… }N0​={0,1,2,3,4,…} bilden.

[@erichwolfel9694]

Eure Probleme möchte ich haben!