Dimostrazione della Formula Risolutiva delle Equazioni di Secondo Grado.

In questo video illustro la dimostrazione della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.
In questa dimostrazione si usa una tecnica detta del "completamento del quadrato" che viene brevemente spiegata.
Se siete interessati ad una presentazione come quella mostrata in questo video potete contattarmi attraverso il mio profilo su fiverr:
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[@TheVector89]

Ma la radice di x^2 non è uguale al valore assoluto di x?

[@vipa7070]

Sì, penso che tu abbia ragione. Bisognerebbe aggiungere un passaggio in questa dimostrazione in cui si passa attraverso il valore assoluto. Questo chiarirebbe meglio la comparsa del +/- davanti al segno di radice.

[@TheVector89]

e quel +/- da dove viene?

[@vipa7070]

Il +/- deriva dalla definizione di valore assoluto. Per definizione il valore assoluto di x è (+)x se x>0 ed è -x se x

[@mattiacanuti_Watty03]

Hai ragione, infatti del video non si è spiegato molto bene perché pare appunto che era il valore senza segno e cioè il valore assoluto

[@vipa7070]

Senza ricorrere al valore assoluto si può fare così: x² - 4 = 0; usando il prodotto notevole a² - b² = (a + b) (a - b) possiamo scrivere quest'equazione come: (x + 2)(x - 2) = 0; Avendo due binomi che moltiplicati fra loro danno zero posso vedere quali sono i valori di x che annullano ognuno dei due binomi, ossia considero: x + 2 = 0 da cui ricavo x = -2 e poi x - 2 = 0 da cui ricavo x = 2 per cui in definitiva x = ± 2. Mi pare che questo chiarisca e giustifichi anche la comparsa del ±. Naturalmente questo vale ugualmente per ogni equazione del tipo x² - k = 0, con k un numero reale qualsiasi.

[@giusepperojch-nj7wi]

Perfetta e comprensibilissima la dimostrazione

[@luigimuceli5346]

Perfetto!Passaggi chiari e comprensivi. Sopratutto fatti passo per passo, senza dare niente per scontato, ma con gradualità e chiarezza!!

[@alessandroparroccini336]

Complimenti per la spiegazione

[@manuelpisa5797]

maestro lei è un grande

[@vipa7070]

Grazie Manuel!

[@jacopocroce59]

grazie, molto utile

[@emanuelecaddeo8165]

Grazieeeeeeee

[@venme6740]

grazieee

[@nicolascandaliato9430]

Ottima spiegazione

[@emanuelecaddeo8165]

Grazie mille

[@vipa7070]

Grazie a te per aver visto questo video.

[@danielkaffee00]

si ok ma non hai spiegato perchè proprio k2/4.... non lo spieghi ne tu ne nessun altro al mondo .... a chi e come è saltato in mente la prima volta di usare k2/4????????????????????????????

[@vipa7070]

Già i babilonesi conoscevano il modo di risolvere le equazioni di secondo grado, siamo quindi tra 2000 e 600 anni prima di Cristo! Questo metodo del completamento del quadrato è un metodo algebrico, quindi è probabilmente dovuto a qualche matematico arabo (gli arabi con l'aiuto degli indiani hanno sviluppato il sistema numerico e l'algebra che usiamo oggi). Sul perché si debba usare proprio k²/4 per completare il quadrato x² + kx, la risposta è, se vogliamo, nel nome stesso del metodo, ossia "completamento del quadrato". Consideriamo ad esempio (x + n)². Questo è un quadrato completo. Se lo sviluppo ottengo: (x + n)²=x² + 2xn + n². Io invece ho x² + kx. Mettiamo una sopra l'altra queste due espressioni: x² + x(2n) + n² x² + x(k) Come vedi ho scritto x(2n) invece di 2xn, ma ovviamente per la proprietà commutativa della moltiplicazione queste due espressioni sono uguali. Ho poi scritto x(k) che, per la stessa ragione di prima, è uguale a kx. Ora la domanda è: qual è il termine che nella seconda equazione corrisponderebbe all'n² che è presente nella prima equazione? La risposta è semplice. Poiché so che 2n=k ecco che n²=k²/4. Quindi per avere un quadrato completo nella seconda equazione dovrei aggiungere k²/4.

[@biancogianbattista2157]

@ DANIEL Anzitutto, complimenti per la profondità e l'acutezza dell'osservazione... eh già!! ... QUASI nessuno al Mondo sa, può e/o vuole davvero render ragione della canonica formula risolutiva delle equazioni di secondo grado perché sarebbe indispensabile riferirsi al SECONDO LIBRO DEGLI ELEMENTI DI EUCLIDE (proposizioni 1 - 8) ma ... chissà perché, quando si tratta di antichi matematici greci come Euclide, Diofanto, Apollonio, Archimede ecc. ... a destra e a manca si fa a gara a chi più e meglio li releghi ARBITRARIAMENTE E ARTIFICIOSAMENTE nell'ambito di antichi mostri mitologici tra i tanti, manco fossero l'Idra o Cerbero ecc. .... e non SCIENZIATI davvero esistiti e che ci hanno lasciato le opere che ci hanno lasciato. Venendo ad un esaustivo e stringente chiarimento del dubbio sacrosanto che sollevavi, valga quanto segue: Disegna su una computisteria a quadretti un QUADRATO (Q) col lato, per esempio, di 42 quadratini e affianco, giacente sulla stessa retta e tangente al primo, un quadrato (q) col lato di 6 quadratini. Se ci si chiede a quanto e/o a cosa equivalga la differenza tra le aree dei due quadrati (Q - q), che nel nostro caso ammonta a 1.728 quadratini, si risponderà che equivale al rettangolo (R) che ha per base la somma dei lati dei due quadrati, e per altezza la differenza tra i lati degli stessi due quadrati, CONFORMEMENTE ALL' APPLICAZIONE LETTERALE DEL PRODOTTO NOTEVOLE A al quadrato - B al quadrato = (A + B) (A - B)!!! [scusa per tutti questi punti esclamativi ma per me è assai entusiasmante aver finalmente trovato qualcuno che volesse sapere per filo e per segno come stanno davvero le cose!!!] Disegna ad ogni modo, trattenggiandolo, quel rettangolo grande R. Suddividilo, poi, in 4 rettangoli più piccoli e identici tra loro (r), ciascuno base 24 e altezza 18 quadratini. Prolunga, proiettandolo fino a toccare Q, il tratteggio PERPENDICOLARE alle basi di R ... Se giustamente e legittimamente ci si chiede CHI PER PRIMO E PERCHÈ MAI abbia suddiviso R in 4 r, e non in 8 r, o in chissà quanti altri rettangoli più piccoli e identici tra loro, ebbene la risposta inerente al PERCHÈ MAI [più arduo, ma non impossibile, sarebbe tentare di rispondere alla domanda sul PRIMUS REPERTOR; per il momento accantoniamola... farò del mio meglio per rispondere quanto più brevemente e puntualmente possibile in un successivo intervento] è questa: solo suddividendo R in 4 r, e dopo aver prolungato il tratteggio perpendicolare alle basi di R fino a toccare Q, all'interno di Q vedrai che verranno necessariamente a determinarsi due ulteriori quadrati: uno IN BASSO A SINISTRA, col lato di 24 quadratini, e un altro IN ALTO A DESTRA, col lato di 18 quadratini. Ora trascrivi, in forma aritmetico-algebrica, il disegno che hai ottenuto, come segue: 42 elevato al quadrato - 6 elevato al quadrato = = (42 + 6) × (42 - 6) = = 48 × 36 = = 2 × 24 × 2 × 18 = = 4 × 24 × 18... ... non assomiglia forse vagamenete, questo 4 × 24 x 18, al - 4 ac del DELTA della canonica formula risolutiva?!! Preaccuncio che è proprio quello!! Tornando al disegno, è cruciale osservare come PER CIASCUNO DEI DUE QUADRATI INTERNI A Q, debba essere impostato un ragionamento che suona a un dipresso: Quadrato - (sé stesso + r!!!) = = - r !!! e .... ... - r + r = 0!!! Trascrivendo in forma algebrica il regionamento che ho tentato di esplicitare come meglio ho potuto, avremo che: X alla seconda - 42 x + 432 = 0!!! È un'equazione diofantea (DIOFANTO.... do you remember???!!) che come tale, prospetterà due soluzioni intere positive, X con uno = 24 X con due = 18 che altro non sono che la base e l'altezza di ciascuno dei rettangoli piccoli (r) che "ti ho fatto disegnare" all'interno del grande (R), o se preferisci (ma tanto è lo stesso e sarà sempre così, almeno per ogni diofantea), IL PUNTO MEDIO DELLA BASE DEL RETTANGOLO GRANDE R, E IL PUNTO MEDIO DELL'ALTEZZA DEL RETTANGOLO GRANDE R. È INSOMMA COME SE LA DIOFANTEA CHIEDESSE: Qual è il medio della base di R equivalente a Q - q?!! E qual è il medio dell'altezza di R equivalente a Q - q?!!???? ... ED È COME SE LA CANONICA FORMULA RISOLUTIVA, COMPLESSIVAMENTE CONSIDERATA, RISPONDESSE X con uno = LATO + lato tutto fratto 2. X con due = LATO - lato tutto fratto 2. Che cosa significa quindi, almeno per ogni diofantea, quel benedetto DELTA = RADICE QUADRATA DI B AL QUADRATO - 4 ac ??!!! SIGNIFICA RADICE QUADRATA DI Q - R ma ... .... a sua volta, radice quadrata di quadrato grande (Q) - rettangolo grande (R) significa, e non può non significare, radice quadrata del quadrato piccolo (q) tra i due di partenza!!!! ... cioè LATO DEL quadrato piccolo (q) tra i due di partenza!! ... quello che nel nostro caso ha il lato di 6 quadratini! Spero che la spiegazione sia risultata pienamente soddisfacente, anche se prolissa e farraginosa. In ogni caso, per ulteriori e preziosissimi ragguagli, ti consiglio vivamente l'acquisto e un attento studio almeno di EUCLIDE, TUTTE LE OPERE A cura di Fabio Acerbi, testo greco a fronte, Bompiani, il Pensiero Occidentale, edizione 2014. (Costa parecchio, 60 €, ma in fondo è alla portata di chiunque: basta rinunciare a qualche birra e qualche maglia). E anche, e forse soprattutto, di LUCIO RUSSO, LA RIVOLUZIONE DIMENTICATA Il pensiero scientifico greco e la scienza moderna. Universale Economica Feltrinelli, nuova edizione accresciuta, 2019. L'edizione di Euclide dell'Acerbi, si apre con una sedicente "introduzione" che in realtà è un TRATTATO DI STORIA DELLA SCIENZA DELLA BELLEZZA DI 776 pagine, DI INESPRIMIBILE E INSUPERABILE ERUDIZIONE, che pur tenendo di volta in volta ferme, sempre pacatamente e mai volgarmente, le proprie opinioni e le proprie interpretazioni, lascia, proprio perché DOTTA come nessun'altra, AMPLISSIMI MARGINI DI DOCUMENTATO DISSENSO. Per quel che concerne il caso specifico delle proposizioni 1 - 8 del LIBRO SECONDO DEGLI ELEMENTI di Euclide, l'Acerbi ritiene che una loro interpretazione in termini di equazioni di secondo grado sia rozzamente modernizzante e, a suo dire, EQUIVALENZE D'AREE DI QUEL TIPO, DOVETTERO ESSERE "I FERRI DEL MESTIERE DEI MATEMATICI ANTICHI", ED È IN FONDO QUASI UN CASO CHE SIANO IVI STATE INSERITE, AL POSTO DI EQUIVALENZE CONSIMILI; ma a furia di dottissime e eruditissime citazioni, come ti dicevo, di un Diofanto di qua, di un Erone là e di un Gerardo da Cremona ancora più in là, e di un P. Tannery lì, al lettore vengono forniti amplissimi margini di riflessione e giudizio AUTONOMI E INDIPENDENTI sulla questione. Il trattato, m'è parso di capire, è connotato da UNA NETTA STRONCATURA DI TUTTO QUANTO AFFERISCA A PRESUNTE MATEMATICHE EGIZIE E/O ASSIRO-BABILONESI. Per parte mia la condivido appieno, perché sfido chiunque a DIMOSTRARMI E INDICARMI PUNTUALMENTE dove stia il PRESUNTO CONTENUTO MATEMATICO DI MAL RIDOTTE TAVOLETTE IN CUNEIFORME ITTITA E DI CIANFRUSAGLIE CONSIMILI. Spiccata invece, la valorizzazione di testi arabi che a ben guardare invece, a mio avviso, si riducono, in generale, a sia pur rispettabilissimime traduzioni dei testi dei TITANI GRECI IMMARCESCIBILI (Aristotele, Diofanto, Apollonio, Erone, Aristarco, Archimede ecc.), e segnatamente, a sia pur rispettabilissimimi commenti agli Elementi di Euclide. Diametralmente opposti i termini della questione del rapporto della MATEMATICA GRECA con tutto quel che la precede e la segue in Lucio Russo, che si sforza di avallare "tesi primitiviste" PRO EGITTO E PRO BABILONIA, in barba a un IMPIANTO POSITIVISTA DI RICERCA che per il resto, e altrove, Russo sempre e pedissequamente rispetta (detta brutalmente, Russo non indica mai i puntuali riscontri testuali di PRESUNTE DECIFRAZIONI di presunti teoremi egizi, o di presunte conoscenze scientifiche e matematiche assiro-babilonesi; si limita sempre a VAGHI E GENERICI RIMANDI A NON MEGLIO SPECIFICATE TAVOLE ASSIRO-BABILONESI, senza mai citare QUESTA o QUELLA SINGOLA TAVOLA). Ma ora basta con questa lunghissima sbrodolata con cui t'avrò di sicuro tediato!!! 😂😂😂 Ti lascio il piacere, se lo vorrai, di appurare personalmente, studiando quei testi, come stiano le questioni inerenti alle equazioni di secondo grado, alla loro formula risolutiva e ... e a presunte matematiche egizie, assiro-babilonesi e arabe! 😂😂

[@vipa7070]

@@biancogianbattista2157 Grande risposta!

[@biancogianbattista2157]

@@vipa7070 Grazie!!

[@biancogianbattista2157]

@@vipa7070 L'interpretazione dell'Acerbi secondo cui l' "algebra geometrica" sarebbe "rozzamente anacronistica, frutto di un accecamento storiografico durato quasi un secolo e che perdura tuttora tra gli interpreti di Diofanto" [opera già citata, pag. 335], mi è parsa fragilissima non tanto perché parecchi, tra scienziati antichi come Erone e Diofanto, esegeti medievali come Gerardo da Cremona, e studiosi moderni come P. Tannery, ZEUTHEN, Heath, Naugebauer, Gandz, van der Waerden, ed Heiberg, ne hanno corroborato la verifica (appellarsi a quanti illustri studiosi l'hanno avallata, nell'ambito di una scienza esatta come la matematica, lascerebbe il tempo che trova perché rievocherebbe l'obsoleto "principio d'autorità" aristotelico), quanto perché viziata dalla sua marchiana inconsistenza: in fondo, in riferimento a Euclide II. 5, l'Acerbi si limita a osservare che "la corrispondenza tra i lemmi lineari e le identità che dovrebbero rappresentarli non è univoca". [Ibidem, pag. 336] L'obiezione però è pretestuosa: l'ingegnosa configurazione euclidea, sia pur in modo forse un po' macchinoso, fa semplicemente sì che il celeberrimo prodotto notevole A al quadrato - B al quadrato = (A + B) (A - B) venga ineccepibilmemte dimostrato. Non sapendo a che Santo votarsi perché per sua stessa ammissione: "le identità non sono interscambiabili in quanto ognuna genera una ben precisa regola di sostituzione" [Ibidem, pag. 336], l'Acerbi ricorre all' "extrema ratio" di appigliarsi a una divagazione che non è il caso di citare testualmente ma che, comunque, lascia chiaramente intendere che altri lemmi lineari che compaiono altrove (in Diofanto e in Pappo) possono essere intesi solo in senso geometrico [Ibidem, pagg. 336 - 337].

[@noahkayar2872]

Se riesci a migliorare la voce sarebbe fantastico, sennò é un po' monotona

[@vipa7070]

Questo è stato il primo video che ho pubblicato su questo canale ed ammetto che potrebbe essere migliore sotto molti punti di vista (audio e grafica). Purtroppo ho un hardware ed un microfono molto vecchi che non mi permettono di fare molto più di questo. Comunque ritengo che i video successivi a questo siamo un po' migliori. Grazie comunque per la critica costruttiva.

[@sazz7406]

ascolta il mio prof di fisica o la mia prof di letteratura e cambi idea. Gran voce!